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1、高等流体力学电子课件,上海电力学院能源与环境工程学院工程热物理学科,2.1 连续方程,方程建立的理论依据：质量守恒定理,系统的质量守恒：,控制体的质量守恒：,在流动过程中，流体系统的体积V的大小和形状可能会发生变化，但质量保持不变。,控制体的质量净流量等于控制体内流体质量的变化量,2.1 连续方程,一、连续方程推导方法之一,从拉格朗日系下出发，,流体系统的质量保持不变。,取一个流体系统，其体积为(t) ,流体系统的质量为：,故：,由雷诺输运定理，,注意：在使用输运公式时，已经用初始时刻与系统相重合的固定体积（控制体）替换了随时间变化的系统的体积(t),2.1 连续方程,一、连续方程推导方法之一
2、,上述积分的积分区域相对于整个流动区域来说是任选的，要使积分恒等于零，只有被积函 数等于零，,或,张量形式：,或,2.1 连续方程,二、连续方程推导方法之二,从欧拉系下出发，,控制体的质量净流入量 = 控制体内流体质量的变化量,1.笛卡尔坐标系下的连续方程,控制体的选取:,边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。,x轴方向流体质量的流进和流出,左面微元面积流入的流体质量：,右面微元面积流出的流体质量：,2.1 连续方程,二、连续方程推导方法之二,x轴方向流体的净流出量：,1.笛卡尔坐标系下的连续方程,y轴方向流体的净流出量：,z轴方向流体的净流出量：,2.1 连续方程,二、连续方程推导方法之二
3、,1.笛卡尔坐标系下的连续方程,微元六面体内密度变化引起的每秒的流体质量的变化量：,故：,2.1 连续方程,二、连续方程推导方法之二,2.正交曲线坐标系下的连续方程,控制体的选取:,边长为ds1，ds2，ds3的微元平行六面体。,2.1 连续方程,二、连续方程推导方法之二,2.正交曲线坐标系下的连续方程,圆柱坐标系：,球坐标系：,笛卡尔坐标系：,2.1 连续方程,三、连续方程的物理意义,流体系统的相对密度变化率,流体系统的相对体积变化率,单位体积的流体控制体的质量变化率,单位体积的流体控制体的质量净流出量,2.1 连续方程,四、其他形式的连续方程,1.定常流动,2.不可压缩流体,注意：不可压流
4、体各点的密度不变，但各点间的密度可能不同，即不要求密度场为均匀场。,但,例：,密度分层流动,在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。,均质不可压缩流体：,2.1 连续方程,四、其他形式的连续方程,3.有源、汇的连续方程,4. 积分形式的连续方程,定常流动：,不可压缩流体：,2.2 动量方程,方程建立的理论依据：牛顿第二定理或动量定理,系统的牛顿第二定理：,在流动过程中，流体系统的合外力等于系统质量乘于其加速度。,系统的动量定理：,系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的合外力。,2.2 动量方程,一、动量方程的推导,系统的动量定理：,系统的动量:,作用在系统上的质量力:,作用在系统上的表面
5、力:,由动量定理得积分形式的动量方程:,2.2 动量方程,一、动量方程的推导,将应力张量代入得：,由雷诺输运公式的简化形式得，,注意：在使用输运公式时，已经用初始时刻与系统相重合的固定体积（控制体）替换了随时间变化的系统的体积(t),利用高斯公式得，,2.2 动量方程,一、动量方程的推导,上述积分的积分区域相对于整个流动区域来说是任选的，要使积分恒等于零，只有被积函 数等于零，,张量形式:,或,守恒形式:,或,2.2 动量方程,二、动量方程的物理意义,方程左边表示单位体积流体的动量变化率： 第一项是密度与当地加速度项的乘积；由速度的不定常性引起； 第二项是对流加速度项，由速度分布的不均匀性引起
6、； 即使是定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度项是非线性的。 方程右边表示单位体积流体所受的力： 第一项是应力张量的散度，表示作用在单位体积流体上的表面力； 第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。,2.2 动量方程,三、N-S方程,本构方程：,故：,代入动量方程后得N-S方程：,矢量形式：,2.2 动量方程,三、N-S方程,通常，粘性系数和是温度的函数，,若流场中温度变化很小，则可认为二者在流场中是均匀的。,故：,和在流场中均匀时：,不可压缩流体：,理想流体：,2.3 能量方程,方程建立的理论依据：能量转换及守恒定理,系统的能量转换及守恒定理（热力学第一定律）：,在流动过程中，流体系统的
7、能量增加量等于外界对其做功及传入热量之和。,控制体的能量转换及守恒定理：,控制体能量的净加入量等于控制体内流体能量的变化量,2.3 能量方程,一、总能量方程的推导,任取流动系统，体积(t) ，外表面A (t) ，,根据能量守恒原理得积分形式的能量方程，,单位质量流体的内能：,质量力作功功率：,单位质量流体的动能：,表面力作功功率：,外界传入的热量：,2.3 能量方程,一、总能量方程的推导,由雷诺输运公式的简化形式得，,注意：在使用输运公式后，随时间变化的系统的体积(t)已经被初始时刻与系统相重合的固定体积（控制体）替换了。,2.3 能量方程,一、总能量方程的推导,利用高斯公式得，,得：,上述积
8、分的积分区域相对于整个流动区域来说是任选的，要使积分恒等于零，只有被积函 数等于零，,故微分形式的总能量方程为：,2.3 能量方程,一、总能量方程的推导,张量形式：,2.3 能量方程,二、动能方程的推导,动量方程,上述方程可看作在 i 方向的受力平衡式和速度作点乘，表示力的机械功功率，所以上式是机械能守恒方程。,两边同乘ui ，,2.3 能量方程,二、动能方程的推导,方程左侧是单位体积流体动能的变化率。,方程右侧第一项是表面力对单位流体的做功功率。,方程右侧第二项是质量力对单位流体的做功功率。,动能方程表明流体在流动过程中表面力和质量力作功，只能使流体动能增加，而对内能变化无贡献。,2.3 能
9、量方程,三、内能方程的推导,内能方程 = 总能量方程 动能方程,上两式相减得：,上式左侧表示单位体积流体内能的变化率。,上式右侧第一项表示由于表面力的作用引起的机械能向内能的转换功率，第二项则表示传热功率。,1.内能方程的推导,2.3 能量方程,三、内能方程的推导,由本构方程得，,上式第一项是外部压强所做的压缩功功率，该功率可逆转。,第二项是流体变形时粘性力所做的功率，不可逆转，称耗损函数，记为。,2.耗损函数,写成对称张量与反对称张量之和的形式。,2.3 能量方程,三、内能方程的推导,由本构方程,2.耗损函数,得：,代入sjj和sij的具体表达式，,耗散函数是流体变形时粘性应力的作功功率，它
10、不可逆转地转换成为热能，故始终为正值。,2.3 能量方程,三、内能方程的推导,3.传热项的导热形式,向流体的传热有多种形式：导热、辐射、化学反应等。,若只考虑导热，,2.3 能量方程,四、其它形式的能量方程,内能方程,连续方程,热力学关系式，,代入得，,2.3 能量方程,四、其它形式的能量方程,用熵和焓表示的能量方程，,2.4 牛顿流体的基本方程,基本方程组包括:(1)连续方程，(2)N-S 方程，(3)能量方程， (4)状态方程，(5)内能公式,(1)7个未知量uj, p, e, T，7个方程，方程封闭。,(3)通常只考虑重力,(2),k是p,T的函数。,(4)对于完全气体，,2.4 牛顿流
11、体的基本方程,当密度为常数时，上述连续方程和N-S方程共4个标量方程，未知量uj、p也是4个，形成一个封闭的方程组。也就是说，压强场和速度场只需求解以上方程组即可得到，然后再求解能量方程得到温度场，流体动力学问题和热力学问题可分开求解，能量方程和连续方程、N-S方程不再耦合在一起，使问题得到简化。,不可压缩流体（动力粘性系数为常数）,2.5 边界条件,流体力学微分方程组是描述流体运动的普遍适用的方程组，要确定某种具体的流体运动，也就是要找出方程组的一组确定的解，还需要给出定解条件。初始条件和边界条件。,1. 初始条件,在流体流动区域边界上方程组的解应该满足的条件。,一、定解条件,定解条件包括：
12、初始条件和边界条件。,初始时刻流体运动应该满足的初始状态，即t=t0时,2. 边界条件,2.5 边界条件,二、曲面上的弯曲压强,当液体分界面两边为不同介质时，界面上存在着表面张力，分界面两侧的压强不相等，凹面一侧的压强会大于凸面一侧的压强。,2.5 边界条件,三、液液分界面的边界条件,1.动力学边界条件,作用在界面两侧的表面力和表面张力相平衡，,上式中：(1) n 指向介质1， (2)R1、R2 的曲率半径中心在n指向一侧时取正值。 (3)(1) 、(2)分别是介质 1、2 的应力张量。 (4)是表面张力系数。,2.5 边界条件,三、液液分界面的边界条件,1.动力学边界条件,分界面两侧的切向应
13、力总是连续的；当界面曲率不为零时，表面张力会导致法向应力的一个突跃。,将上式分解为法向和切向分量，,2.5 边界条件,三、液液分界面的边界条件,2.运动学、热力学条件,运动学条件：,界面两侧介质运动速度相等（无滑移条件、粘附条件）。,热力学条件：,界面两侧温度和热流量相等,2.5 边界条件,四、液固分界面的边界条件,2.运动学条件,界面两侧介质运动速度相等（无滑移条件、粘附条件）。,3.热力学条件,界面两侧温度和热流量相等,1.动力学条件,固壁静止时，,通常，在固体边界上给定的条件是固壁的运动，而不是固体中的应力，故无动力学条件,2.5 边界条件,五、无穷远条件,物体在无界区域中运动时，需给出
14、无穷远处的边界条件。,坐标系取在运动物体上时，,2.5 边界条件,六、液气分界面的边界条件,由于气体密度和粘度都很低，它的运动一般不会对液体产生显著影响。,液气交界面通常称为自由面。,1.动力学条件,切向,法向,其中p0为大气压强，p为液气边界面上的液体侧压强，自由面曲率中心在气相一侧，液体的粘性可忽略时。,2.5 边界条件,六、液气分界面的边界条件,2.运动学条件,自由面的形状通常是待求的内容。自由面本身是运动和变形的，设其方程为:,假定在自由面上的流体质点始终保持在自由面上，则自由面流体质点的法向速度，应该等于自由面本身在该点的法向速度。,2.5 边界条件,六、液气分界面的边界条件,2.运动学条件,自由面上 p 点在 t 时刻的法向速度为:,设自由面上一点 p 在t 时刻的位置矢量为 ，在该点的法向单位矢量为 ， 经过t 时间后，p 点运动到点 ，则:,2.5 边界条件,六、液气分界面的边界条件,2.运动学条件,设t 时刻在 p 点的流体质点的速度为 ，则流体质点的法向速度，,自由面的运动学边界条件：,流体质点的法向速度等于自由面本身在该点的法向速度，,
