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1、4.1.2圆的一般方程,学 科网,教学重难点,重点：1.圆的一般方程的形式特征。 2待定系数法求圆的方程。,难点：坐标转移法求轨迹方程。,【学习目标】1掌握圆的一般方程及其条件，能进行标准方程与一般方程的互化，理解圆的一般方程与标准方程的联系。2初步掌握求点的轨迹方程的思想方法。3进一步掌握配方法和待定系数法,圆的标准方程,x,y,O,C,M(x,y),圆心C(a,b),半径r,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：,标准方程,复习引入,圆心 (2, 4) ，半径,(1) 圆 (x2)2+ (y+4)2=2,(2) 圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2,圆心 (1, 2) ，半径|m|,（m0
2、）,分别说出下列圆的圆心与半径,复习引入,圆的方程一般代数形式是什么特点呢,展开得,任何一个圆的方程都是二元二次方程,- a,- b,r2,-2ax,-2by,+a2+b2-r2=0,思考,结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：,结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：,x2 y 2DxEyF0,探究：是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程表示 的曲线是圆呢？,配方得,不一定是圆,以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆,配方得,不是圆,思考,圆的一般方程,（1）当 时，,表示圆，,（2）当 时，,表示点,（3）当 时，,不表示任何图形,【排忧解惑】,圆心,思考:当D=0，E=0或F=0
3、时，圆 的位置分别有什么特点？,D=0,E=0,F=0,练习1:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找出圆心和半径.,点( 0 , 0 ),半径:,圆心:,半径:,圆心:,学科网,圆的方程,一般方程:,标准方程:,圆心:,半径:,圆心:,半径:,练习2.将下列圆的标准方程化成一般方程:,典例探究,例1、求过三点A(2,4),B(1,3),C(2,6)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。,典例探究,例1、求过三点A(2,4),B(1,3),C(2,6)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。,圆心(0,5),半径,练习:求过点 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心.,解:设圆的方程为
4、:,因为 都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即,所以,圆的方程为:,练习2:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径长.,3,解:设圆的方程为:,因为A,B,C都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即,圆的方程:,即:,圆心:,半径:,求圆方程的步骤:,1.根据题意,选择标准方程或一般方程.,若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程;,若已知圆经过两点或三点,通常设为一般方程;,2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F的方程组.,3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.,(待
5、定系数法),例2 方程表示的图形是一个圆，求a的取值范围.,解由方程表示圆得，D2E24F12224(a1)94a0，解得a ，即a的取值范围是 .,典例探究,例2、 已知线段AB的端点B的坐标是（-4，3）,端点A在圆 上运动，点M满足 ，求点M的轨迹方程.,变式、 已知线段AB的端点B的坐标是（-4，3）,端点A在圆 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,坐标转移法,练习3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.,解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 .,由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以,即:,因为点A在圆上
6、运动,所以A的坐标满足圆的方程,即:,点M的轨迹方程,轨迹方程求法,解设动点P的坐标为(x，y)，则点P(x，y)满足 ，即 ，化简得x2y22x30.即(x1)2y24，所以动点P的轨迹是以点(1,0)为圆心，以2为半径的圆,求轨迹方程的方法:,若生成轨迹的动点 随另一动点 的变动而有规律地变动,可把Q点的坐标 分别用动点P的坐标x, y 表示出来,代入到Q点满足的已有的等式,得到动点P的轨迹方程,关键:列出P,Q两点的关系式.,求动点轨迹的步骤:,1.建立坐标系,设动点坐标M(x, y);,2.列出动点M满足的等式并化简;,3.说明轨迹的形状.,课本P134 6/平面直角坐标系中有A(0,
7、1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一圆上?,分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有,A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定的圆的方程为同一方程,求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐标满足圆的方程.,例5 已知点P（5，3），点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和最小值.,课后作业：,3平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？,，,课后作业：,4、 已知A（0，2）,动点B在圆 上运动，点M满足 ，求点M的轨迹方程.,小结：求圆的方程,几何方法,求圆心坐标 （两条直线的交点）（常用弦的中垂线）,求 半径 （圆心到圆上一点距离）,写出圆的标准方程,待定系数法,列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组,解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）,
