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1、初中数学圆,A,B,O,P,圆的基本性质,基本知识,概 念,在同一平面内，线段OP绕它的一个固定端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆，记作“O”，读做“圆O”。,O,P,弧,圆心,定点O,由圆引出,的概念,半径,弦,线段OP,连接圆上任意两点的线段,直径,经过圆心的弦,圆上任意两点间的部分,半圆,圆的任意一条直径的两个端点分成的两条弧,劣弧,小于半圆的弧，记作 ,优弧,大于半圆的弧，记作 ,等圆,半径相等的两个圆,相等的弧,能够重合的圆弧,A,B,C,点与圆,r,O,dr，则点在圆内,d=r，则点在圆上,dr，则点在圆外,点与圆的位置关系,P”,P,P,不在同一直线上的三个点确定一
2、个圆,三角形的外接圆,圆的内接三角形,O,r,三角形的外心,三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆,三角形的外心：这个外接圆的圆心，是三角形三条垂直平分线的交点,图形的旋转,经过旋转所得的图形和原图形全等,对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的弧。,O,A,B,C,D,E,已知条件：O为圆心，CE为过O的直径，CEAB,结论：1、AD=BD， = ， = ,2、 = ， = （E为 的中点，D为 的中点）,r,弦心距：圆心到圆的一条弦的距离（OD的长是弦AB的弦心距）,定理1 平分弦（不是直径）的
3、直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。,定理2 平分弧的直径垂直平分弧所对应的弦,两条定理,据垂经定理及推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧。上述五个论断中的任何两个作为条件都可推出其他三个结论。,圆 心 角,在同圆或等圆中，相等的圆心角所对应的弧相等，所对的弦也相等。,圆心角定理,推 理,在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。,O,A,B,C,M,N,R,AOB=MONOC=OR = AB=MN,AOB与MON是圆心角OC与OR是
4、所对应的弦心距 与 是所对应的弧AB和MN是所对应的弦,任一对相等，另外三对也相等,圆 周 角,圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。,圆周角,圆心角,O,A,B,C,AOB=2ACB,圆周角定理,推 论,半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等,A,B,C,圆内接四边形,如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。,O,A,B,C,D,圆内接四边形的对角互补（A+C=180， B+D=180 ）,任意一个正多边形都有一个外接圆,弧长与扇形面
5、积,弓形面积公式：S弓形=S扇形S,弧长公式：l= n 180,扇形面积公式：S= n2 360 = 1 2 lR,n,l,弓形,案例分析,题1：如图，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，以点C为圆心，CA为半径画弧交AB于D，求AD的长。,M,【分析】首先需要搞明白AD是圆的弦，且已知条件中有直角三角形存在。所以应首先考虑弦心距。,解：作CMAB，则有AM= 1 2 AD, AC=6cm，BC=8cm，ACB=90 AB=10cm （勾股定理） SABC= 1 2 ABCM= 1 2 ACBC CM= 24 5 AM= 18 5 （射影定理 AC2=AMAB） AD=2AM=7.2cm
6、,圆中涉及半径、弦、弦心距的有关计算，往往作弦心距构造Rt，利用勾股定理求解。,1、射影定理的线段选择,易错点,1、弦长的计算2、射影定理3、直角三角形构造,考点,题2：已知，点A在O上，A与 O相交于B，C两点，点D是A上一点，直线BD与O相交于点E。 1）如图1，当点D在O外时，试判断CED的形状，并证明你所得结论； 2）如图2，当点D在O内时，上述结论是偶还能成立？并说明理由。,B,C,D,A,E,B,C,D,A,E,D,【分析】点D是一个动点，要判断CED的形状，可以让D点在A上转动，并在特殊位置进行观察。,O,O,图1,即，我们将BD绕B点旋转，使D落在O的外面。此时，当BD经过A时
7、，为特殊位置。,因为A为圆心，所以AC=AD，则CED为等腰三角形,1）证明：连接BA，交A于点D，并连结CD、AC, CEB=CAB （等弧的圆周角相同） CED=CAD D=D ECD=ACD ACD ECD AC=AD CE=DE CED是等腰三角形。,2）与1）类似，找出特殊位置。添加与1）一样的辅助线,D,CAB+E=180， CDB+D=180（为什么）, E=CAD，EDC=D ACD ECD从而，可得到ED=EC，CED是等腰三角形。,1、圆周角定理2、圆内接四边形中角的关系3、图形的运动思想的运用4、从特殊位置找到结论，再进行推理的解题技巧,考点,解法二：CED=CAB=2D
8、CED=D+DCED=D D=DCE,题3：如图，已知M为 的中点，以AM为直径的半圆交AB于N，D为 上任一点，连结AD交 于C。求证：AC=CD+DB,E,【分析】一条线段与另两条线段的长度和做比较，应把两条线段之和建构成等效的一条线段。或者在一条线段上截取与另两条中的一条相等的线段。即做“图形重建”。,由已知条件可知，N是中点，若建构CN是三角形的中位线，则C也是三角形上一边的中点。,证明：并延长AD于E，使DE=DB，连接CN、BE、MB, AM是半圆的直径 MNAN M是 的中点 AM=BM AN=BN,证N为中点, DE=DB E=DBE ADB=2E ADB=AMB=2AMN A
9、MN=ACN CAN=E CNBE,证C为中点, AC=CE=CD+DE（中位线定理）,1、圆心角与圆周角定理2、弦长、弧长与对应角间的关系,考点,题4：如图，已知ABC的垂足三角形为DEF，O为ABC的外心，求证：OAEF,A,B,C,E,D,F,O,外心：三角形三条边的垂直平方线的交点，三角形外接圆的圆心。,【分析】OA是半径，要证明EFOA，只要证明EF平行于OA的切线即可。,证明：作AMOA，垂直为A,由题意，得：BFC=CEB=90 B、C、F、E四点共圆 AEF=ACB, MAB=ACB （为什么） MAB =AEF EF/MA,M, OAEF,1、圆的直径、半径和切线之间的关系。
10、2、切线与弦夹角等于对应圆周角,考点,半径或直径与圆内的某条直线垂直，可以转化为与切线的垂直。, 1+4=3+4=901=3 2=3， 2B=2+3 3=B 1=B,题5：如图，OQAB，求证：OA2=OPOQ,OA2=OPOQ,转换成比例关系,OA OP = OQ OA,是否有对应三角形,有：OAQ OPA,AOQ=POA（成立）,待证：1=Q,1,2,3,AOF=3（圆周/心角）2=BPF=QPC,AOF=1+23=Q+QPC, OQAB OQ垂直平分AB,题目给定的唯一条件是OQ垂直AB，而在圆中，过圆心的弦所对应的角是直角，所以可以构建一条直径，来找圆中角的关系。,D, CD过圆心O，
11、 CAD=90 B=D（同圆共弧） OCA=BPF OCA=OAC 2=BPF 2=OAC (使两相似的条件）,下面从相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等。)试试。,1,2, 1= 1 2 =2 QCP=POB QCP BOP PC PB=PQ OP, PC PB=PG PE =(OA-OP)(OA+OP) =OA2-OP2,OP OQ=OP (OP+PQ) =OP2-OP PQ =OP2- PC PB,弦 相 交 定 理,A,B,C,D,P,圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。即：在O中；弦AB，CD相交于点P，那么PAPBPCPD,M,N,若弦MNDC，
12、且DC是过圆心的直径，则有PM2=PC PD,连接BD、AC，则B=C，A=D PBD PBA PAPBPCPD,题6：如图，A,B外切于点P，它们的半径分别为R和r，CD是它们的外公切线，切点分别为C，D且 的弧长为l。 1）求证：S阴影= 1 2 l +CD 2）当R=6cm，r=2cm时，求S阴影,A,B,C,D,E,P,【分析】阴影部分面积是梯形减去一个扇形组成的。,S梯形= 1 2 （r+R）CDS扇形= l 2 R2= lR 2 S阴影= 1 2 （r+R）CD- lR 2 = 1 2 (CD-l) R + r CD,2）当R=6，r=2时，AE=4cm，AB=8cm ABE=30
13、 BE=4 3 ，CAB=60 l=2 R6= 2 代入，可得： S阴影= 16 3 -6,1、两圆的公切线2、图形的分割与组合,考点,题7：如图， O1与O2交于A、B，过A作O2的切线交O1于C，作O1的切线交O2于D。若CAB=45，DAB=30， O2的半径为5 2 ，求图中阴影部分的面积。,【分析】因为AD、AC分别是O1、O2切线，所以连接AO1 、AO2 ，于是有CAA O1 ，DAA O2 。要求得阴影部分的面积，需要得到O1的半径。又AB是公共弦，所以连接BO1 、BO2 构建两个过圆心的三角形，通过公共弦与两圆的半径关系求解。,解：连接AO1 、AO2 、 BO1 、BO2
14、, CA切O2于点A CA O2 =90 CAB=45 BA O2 =45 且BO1C=90 A O2 =B O2 = 5 2 AB O2 =45 A O2 B=90 AB=10, DA切O1于点A DAO1 =90 DAB=30 BAO1 =60 ABO1是等边三角形 O1的半径为10, S阴影=S扇形-SBCO1 = 1 4 102- 1 2 102=25-2,1、圆的切线、公共弦与半径关系2、圆周角与圆心角3、勾股定理,考点,当出现切线时，往往可以考虑添加过切点的半径或直径。 切线与弦的夹角等于该弦对应的圆周角。,题8：如图，已知ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一
15、点，且BED=2CED=BAC。求证：BD=2CD,A,B,C,D,F,E,已知：AD平分BAC结论：S1:S2=AB:AC=BD:DC（等高模型）,【分析】从图中我们可以看出，角与角之间的等量关系，应该是解决这个题目的关键。而在圆中找角的等量关系，圆心角和圆周角能够与线段和弧发生关系。所以，找出等弧或等弦的圆心角或圆周角，往往是一种辅助手段。,根据分析，添加辅助线,找出各等量角,ACB=AFB=AFC=ABC(等弧对应等圆周角）BED=2CED=BAC（已知）BFC+BAC=180（内接四边形对角互补）,条件中存在“两角互补”，且2倍关系,2 EFC+ 2CED=180,ECF=90,作BE
16、F的平分线,EGBF，且EGFECF,G,作BEF的平分线,CF=GF=GB= 1 2 BF,BF:FC=BD:DC,三角形中角平分线割成的两个三角形的边的关系如下图,BD=2CD,题9：如图，已知过O的弦BC的中点A作二弦PQ,RS,连结PS，RQ分别交BC于点M,N。求证：AM=AN,【分析】这是一个蝴蝶模型，有很多证法。下面我们利用圆的对称性，通过构造轴对称图形的方法来证明。,证明：过点S作SHOA的延长线于点H，并延长SH交圆于点K，连接AK、NK、QK,K,H, A是BC的中点，且O为圆心 OABC 且AS=AK（垂径定理）,5,1,6,1,4,3, 4=5=6=NAK R、S、K、
17、Q四点共圆 5+RQK=180 RQK+CAK=180 A、K、Q、N四点共圆 2=3 1=3 1=2 AMSANK AM=AN,1、圆的特点轴对称图形2、垂径定理3、圆周角,考点,请考虑用其它方法来解决,题10：在波平如镜的湖面，高出半尺的地方长着一朵红莲，它孤零零地直立在那里，突然被狂风吹倒一边，有一位渔人亲眼看见，它现在有两尺远离开那生长地点。请你来解决一个问题，湖水在这里有多少深浅？,O,A,B,C,0.5,2,【分析】根据题目意思画出示意图，如左图。OC为水深，OA为直立的红莲，AC为水面上的部分。,解：设OC=x，则OA=x+0.5 A到B是荷花扫过的圆弧 BCO=90 x2+22
18、=(x+0.5)2 解得：x=3.75尺,题11：平面上有100个点P1, P2, P3, P99, P100,试说明，可以画一个圆，使得圆内恰有k个点，另外100-k（1k100）个点均在该圆外部。,【分析】对于给定的圆（0，r）。若一点P到O的距离OPr，则P在（0，r）内。若一点Q到O的距离OQr，则Q在（0，r）外。,解：过P1, P2, P3, P99, P100中每两点都作它们的垂直平分线，这样画出的垂直平分线有有线条。在平面上任取一点O，不在上述所画的直线上。根据中垂线的性质知：OP1,OP2,，OP100两两不等，不妨从小到大排成一个顺序，就有： OP1OP2 OP100,取
19、r= k+k+1 2 ，则OP1OP2 OPk r P1,P2,，Pk都在（0，r）内而rOPk+1OP100，故OPk+1， OPk+2， ， OP100，这100-k个点均在（0，r）外。,按照这样的要求，就可以做出符合要求的圆。,题12：如图，直线AB经过O的圆心，且与O相交于A，B两点，点C在O上，且AOC=30，点P是直线AB上一个动点（与点O不重合），直线PC与O相交于点Q，问是否存在点P，使得QP=QO?如果存在，那么这样的点P共有几个？并相应求出OCP的大小；如果不存在，请说明理由。,【分析】由题目可知，P、Q分别是由绕点C旋转的一条直线与直线AB和圆相交的动点。因为Q在圆上，
20、所以OQ=r（半径）。下面，我们来演示CP旋转的过程。,首先，令Q与C点重合，此时PQr。使PC绕C点旋转，直至P、Q、A三点重合。,这个过程，PQ逐渐减小至0,继续旋转，PQ逐渐增大。当Q点转至与D点重合时，PQr。说明在这个过程中，存在PQ=r=OQ。（设图1位置PQ=OQ),接着旋转，PQ由增大到变小。当P点与O重合时，PQ=OQ（但已知条件P与O不重合，不符）,接着P旋转至B处，P、Q重合，即PQ=0。而待转至CQAB时，CP为无限长。所以，在这区间，必定存在PQ=OQ的过程（设图2位置PQ=OQ),继续旋转，P在OA的延长线上。PQ由无限长，逐渐变小，直至回到切线方向时，PQr。所以
21、，此处必定存在着一点P，使PQ=OQ（设图3位置）,图1,图2,图3,解：如图1.设PQ=OQ，则QOP=OPQ=PCO+AOC又 OC=OQ， Q=PCO Q+ OPQ+ QOP=180即： PCO+ 2（PCO+30）=180 OCP=40,如图2.设PQ=OQ，则QOP=P OC=OQ， C=CQO=P+QOP又 COA=30=C+P= 3 2 C OCP=20,如图3.设PQ=OQ，则QOP=P OC=OQ， OCQ=Q=30+P Q+P+QOP=180， 即：30+P+2P=180 P=50 OCP=180-50-30=100,1、用动态的分析方法，进行定性分析； 2、用数形结合的方
22、法，定量计算数值的大小。, 存在3个符合条件的点。且OCP分别为20、40和100。,经典练习,练习1：如图，直线上按顺序有四个点A，B，C,D，且AB:BC:CD=2：1：3，分别以AC，BD为直径的O1，O2两圆交于E，F，求ED:EA的值。,练习2：如图AOX=90，OX/AY,OA=1cm， 是A的一部分，求阴影部分的周长和面积。,练习3:如图， O1与O2外切于P，Q是过P的公切线上任一点，QAB和QDC分别是O1与O2的割线，P在AB、AD和DC上的射影分别为E，F，G，求证：BPC=EFG.,练习4：如图，在半径为1的O中引两条互相垂直的直径AE和BF，在 上取点C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q。求证：四边形APQB的面积是1.,怎样才能非得更高,
