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1、“问题是数学的心脏,数学是思维的体操” 数学教学实际上就是伴随着解题（载体）来提高学生的思维能力的！,对初中数学解题教学的认识与思考,著名数学家和数学教育家项武义先生说，教数学要教给学生“大巧”通性通法，要教学生“运用之妙，存乎一心”，以不变应万变，不讲或少讲只能对付一个或几个题目的“小巧”.,但思维能力的提高不能拘泥于一招一式,应该讲“一般有用的方法”,小巧固不足取，大巧也确实太难. 对于大多数学生，还要重视有章可循的招式。由小到大，以小御大，小题做大，小中见大.,对初中数学解题教学的认识与思考,一、解题教学必须让学生“知其然，更知其所以然！”,五、充分提高例（习）题的教育价值,二、教师应加
2、强对波利亚解题思想的理解,四、提高学生解题能力的要素分析,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,六、解题错误分析,案例1：老师，你该告诉我们你是怎么想到的？,问题:已知：如图，H为ABC内任意一点，连结AH并延长交BC于D，连结BH并延长交AC于E，连结CH并延长交AB于F，求证：DH/AD+EH/BE+HF/CF=1.,H,一、要让学生“知其然，更知其所以然！”,H,变证为猜！猜DH/AD+EH/BE+HF/CF=?,一般问题特殊化方法类比思想回归特殊问题一般结论,一、要让学生“知其然，更知其所以然！”,案例2：这样的启发有用吗？,问题：如图1，已知ABC中，AB=AC,P是ABC内部任意一
3、点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使QAP=BAC，连结BQ，CP，则BQ=CP”小亮是一个爱动脑筋的同学，他通过分析证明了ABQACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移动到等腰ABC外，原题中的条件不变，发现BQ=CP仍然成立，请你就图2给出证明。,A,B C,P,Q,图1,A,B C,Q,P,图2,（教师把题目朗读了一遍后，便引导学生进行分析）,一、要让学生“知其然，更知其所以然！”,教师：如图2，AQ是由AP旋转得到的，因此它们之间的关系是怎样的呢？学生1：相等。教师：由QAP=BAC可得QAP+BAP=BAC+BAP,于是有QAB=PAC，题中还有一个已知条件是AB=AC，那么能否得到
4、ABQACP呢？为什么？学生2：能得到，根据SAS定理。教师：这样我们便知BQ=CP仍然成立。,案例2：这样的启发有用吗？,一、要让学生“知其然，更知其所以然！”,这种“以教师的读题来代替学生对问题的自主阅读”的教学现象和“以为教师对问题已经理解便认为学生也就能明确问题所提供的条件信息和目标信息”的教学观念，在日常的课堂教学中实在比较常见。但学生是否“明确了问题所提供的条件信息和目标信息，并在头脑里建立起问题的表象”了呢？这些都是学生进行数学问题解决的第一步，也是至关重要的一步。否则学生扮演的无非是教师的“同声筒”角色，这样的教学，是无法产生理想的教学效果的。实验表明，对于数学题而言，教师的有
5、声读题在引起学生注意力水平上低于学生默读。因此，本例应让学生默读问题，自主分析题中信息，并尝试用自己的语言解释题目中的信息。,一、要让学生“知其然，更知其所以然！”,教学中教师常发出信息：你们都听懂了吗？收到学生回复的信息也常是：听懂了。于是教师便以为学生真的懂了。其实，“听懂”与“真懂”之间仍有着明显的差距。“听懂了”仅表明学生能在他人的解题思路的引领下，了解到问题的解答思路。但数学问题的关键是寻找解题思路和突破解题的难点。若学生不能真正领悟解题思路的获得过程，那么，除了当时在解题思路上相互之间产生共鸣的学生外，对于其他学生，尤其是对于那些理解能力较弱的学生，当他们面对相似的甚至同一个问题时
6、，仍然难以顺利解决。因此在教学中，教师除了要帮助学生理解他人解题的思路外，还应针对不同学生的思维特点和能力，通过个别辅导或同伴互助等方式，帮助他们能从自身的思路出发获得解决问题的策略，或帮助他们分析其思路受阻的原因，进而领悟问题解决的策略。故此，问题解决后，教师应组织学生反思思维的探索过程，评价同伴的解题方法，并从中进行分析、归纳、比较和选择，以提高数学解决问题与数学思考的能力。,一、要让学生“知其然，更知其所以然！”,一、要让学生“知其然，更知其所以然！”,案例4：解题贵在揭示本质,如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点C落在点E处，BE交AD于F，连结AE。求证：AEBD.,B C
7、,A D,E,F,解出习题并不是学习数学的全部或最终目的，应通过反思活动，去挖掘题目背后的本质，若对图形的几何本质没有实质性的揭示，各种证明方法只能是同一水平的简单重复。,一、要让学生“知其然，更知其所以然！”,l1,l2,数学教学中要关注过程，是指在数学教学中应展现基本概念的抽象与概括过程，基本原理的归纳与推导过程，解题思路的探索与形成过程，基本规律的发现与总结过程。数学教学中要揭示本质是指教学中要沟通数学知识的内在联系，提炼数学思想方法，把握基本数学规律，体验数学理性精神。,ABC中，CHAB,A=2 B,说明：AH+CA=BH,案例5：教师的作用在哪里？,教师在讲解这样一个例题（如图）
8、题目：P是ABC内一点,PEAB,PFBC,EPF = 60,求BMN +CNM.教师运用的是启发发现法，想突出学生的主体地位，在充分调动着学生的思维积极性：师:只知道一个角的大小,但有两个平行关系,如何来求解呢？问题不难，学生的水平又不错,于是一个个解法被学生们发现了!每一个提出了新解法,为我们的发现学习添砖加瓦也作了贡献的学生,当教师夸奖他并叫他坐下时,自得的心情溢于言表.于是,课堂的气氛十分活跃！生1：我利用同旁内角BMN =180-MPE，CNM =180-NPF BMN +CNM =180-MPE +180-NPF =180+EPF =240,A,B E F C,M,N,P,一、要让
9、学生“知其然，更知其所以然！”,案例5：教师的作用在哪里？,教师在讲解这样一个例题（如图） 题目：P是ABC内一点,PEAB,PFBC,EPF = 60,求BMN +CNM.,A,B E F C,M,N,P,师：很好！表述也简明，谁还有好解法？(从启发的角度看，这纯粹是一句废话!)生2：我利用同位角：BMN =EPN，CNM =FPM相加得 BMN +CNM =EPN +FPM =180+EPF =240 师：不简单，这样的同位角，老师一时还看不大出来呢！(好谦虚!)，还有新解法吗？(教师总是期望着她的“得意门生”，一个接一个的能不断的站出来助她一臂!而她自己则已“启发乏术”了呢!？),一、要
10、让学生“知其然，更知其所以然！”,案例5：教师的作用在哪里？,教师在讲解这样一个例题（如图） 题目：P是ABC内一点,PEAB,PFBC,EPF = 60,求BMN +CNM.,A,B E F C,M,N,P,生3：我利用外角定理 BMN =A +ANM，CNM =A +AMN。相加得BMN +CNM = 180+A ，延长EP交AC 于K ，易得A=EPF=60 BMN +CNM = 240生4：我利用四边形的内角和定理 在四边形BMNC中，BMN +CNM = 360-B-C = 180+A = 240生5：我利用内错角生6：我利用平角关系教师得意的心情，清晰的反映在她的笑脸上了，轻松活跃
11、的课堂，一个接一个的“好”解法，她的心花能不怒放吗？然而，我恰陷入了沉思中!,K,一、要让学生“知其然，更知其所以然！”,案例5：教师的作用在哪里？,A,B E F C,M,N,P,K,案例分析：1.有多少学生参与了这一“伟大的”发现活动？我一次次环顾四周,作着粗略的统计.举手的,在嘀咕的,合起来不超过60.也就是对于这一不错的班级来说,也有约40的学生,一直在做着这发现过程的陪客!对于他们来说,这纯然是一个超负荷超速度的灌输!始终享受不到发现的乐趣.2.关鍵时刻教师启导了什么关鍵语？他的作用体现在哪里？纵观全过程，给人的唯一的深印象是：教师缺乏启发的好点子，总是一句“谁还有好解法？”，依赖优
12、生是她的法宝。这是我们可以经常见到的“发现教学”中的现象!应该提醒学生：“这里有些什么图形?”（平行线;三角形;四边形;）,“可能可以利用哪些几何结论？”等,总之,教师课前要想好关鍵性的启导语!,一、要让学生“知其然，更知其所以然！”,案例5：教师的作用在哪里？,A,B E F C,M,N,P,3.这多个解法难道不是在低水平上的一种同语反复？!(利用内错角；利用同旁内角),为什么没出现令人惊异的好解法?是真的没有么? 增加条件得来的解法:比如令 BMN = 100, 可得CNM =A +AMN = 60+（180-100）= 140BMN +CNM = 100+140=240这样的解法，特别适
13、用于填空题、选择题。它的一般化便是 代数解法:令 BMN = t,则CNM =A +AMN = 60+（180-t） BMN +CNM = t + 60+（180-t）= 240这一解法难道不妙么?但它明显地是基于对某角取特殊值的增加条件得来的解法.它们是有一般意义的！,一、要让学生“知其然，更知其所以然！”,案例5：教师的作用在哪里？,A,B E C(F),M,P(N), 由极端情形引出的解答：当P点无限接近于AC边时,结论仍然成立；当P点在AC边上时,按极端原理,结论也能成立,是这样吗？这时P点与N点重合,PF与NC重合,BMN +CNM =BMN +CPM = BMN +EPM +CPE
14、 = 180+CPE= 240当P点无限接近于A点时,结论仍然成立;当P点与A点重合时,按极端原理,结论也应能成立,是这样吗？这时,P点与A点重合,E点与B点重合,F点与C点重合.BMN +CNM =MAC+NAB= 180+BAC = 240这样的思想方法与思路,的确是独具匠心、发人深省的呵！我们认为,发现教学的价值,就在于它的启发提问,它的过程的一般性、普遍适用性.,A(P),M,N,B,C,一、要让学生“知其然，更知其所以然！”,二、加强对波利亚解题思想的理解,对于数学解题方法，美籍匈牙利数学教育家波利亚进行了毕生的研究，著有世界名著“怎样解题”一书，他集数十年的教学和科研经验，在书中归
15、纳了一张“怎样解题表”。表中以提问的形式列出了如何“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”、“回顾反思”四部分。虽然这张表不是万能的，但在解决问题时确实可起到“启发与指导的 作用”。可以说到现在为止是我们在指导学生解决数学问题时最有效的启发指导法。著名的现代数学家瓦尔登在1952年月2日瑞士苏黎世世界数学教育家大会的致词中就曾说过”每个大学生，每个学者,特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”,对这本书给予了高度的评价.今天,人们公认,在数学解题研究方面,波利亚是一面旗帜,他作出了划时代的贡献.,波利亚说:我们把工作分为四个阶段。首先，我们必须了解问题；我们必须清楚地看到要求的是什么?其次，我
16、们必须了解各个项之间有怎样的联系?未知数和已知数据之间有什么关系?为了得到解题的思路，应该制定一个计划。第三，实现我们的计划。第四，我们回顾所完成的解答，对它进行检查和讨论。波利亚的例题 一个作图题:在给定三角形中作一正方形。正方形的两个顶点在三角形的底边上，另二个顶点分别在三角形的另两边上。他是这样启发引导的：,二、加强对波利亚解题思想的理解,“未知的是什么?”“一个正方形”“已知数据是什么?”“一个给定的三角形，其它没有。”“条件是什么?”“正方形的四个角在三角形的边线上，两个在底上，其余两边每边上有一个。”“是否可能满足条件?”“我想如此，但不太有把握。”“看起来，你解此题并不太容易。如
17、果你不能解决所提问题，首先尝试去解决某个与此有关的问题。你能满足部分条件吗?”“你说部分条件是什么意思?”“你看，条件与正方形的所有顶点有关，这里有几个顶点?”“四个。”,二、加强对波利亚解题思想的理解,“所谓部分条件涉及的顶点数应当少于四个。请仅仅保持部分条件而舍去其余部分。什么样的部分条件容易满足?”“两顶点在三角形边线上，甚至三个顶点都在三角形边线上的正方形，是容易画出来的!”“画张图!”学生画出图2。“你仅仅保留了部分条件，同时你舍去了其余条件。现在未知的确定到了什么程度?”“如果正方形只有三个顶点在三角形的边线上，那么它是不确定的。”“好!画张图。”学生画出图3。“正象你所说的，保持
18、部分条件不能确定正方形、它会怎样变化呢?”,图2 图3,二、加强对波利亚解题思想的理解,“你的正方形的三个角在三角形的边线上，但第四个角还不在它应该在的地方。正象你说的，你的正方形是不确定的，它能变化；第四个角也是这样，它怎样变化?”“如果你希望的，你可以用实验的办法试试看。按照图中已有的两个正方形的相同办法，去画出更多的三个角在边线上的正方形。画出小的正方形与大的正方形。第四角的轨迹看起来象是什么?它将怎样变化?至此,教师已把学生带到非常接近于解答的地方了。如果学生能猜到第四个角的轨迹是一条直线，他就得到这个主意了。波利亚认为,学生除必须掌握逻辑分析方法外,还必须掌握探索性思维方法,波利亚致
19、力于探索解题的一般规律,将他自己数十年的教学与科研集中具体地表现在怎样解题表上.,二、加强对波利亚解题思想的理解,对于波利亚的解题表及有关作，人们从不同的角度阐发了他解题的思想本质、真谛和核心。归结煨个要点：1、程序化解题系统。解题表，就“怎样解题”、“教师应教学生做些什么”等问题，设计了一个4步骤的程序弄清问题。2、启发式的过程分析。波利亚就其本人在学生时代解决问题过程的体会，结合教学实际，对典型例题进行了符合思维实际的启发。3、开放型的念头诱发。念头就是开展积极有效的思维活动。4、探索性的问题转换。问题转换也叫“变化问题”、“题目变更”，它揭示了探索解题思路的途径与实质。,二、加强对波利亚
20、解题思想的理解,米山国藏指出: 在学校学的数学知识,毕业后若没什么机会去用,一两年后,很快就忘掉了.然而,不管他们从事什么工作,唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等,却随时随地发生作用,使他们终生受益.,M劳厄尔也指出：教育的真谛是“所有学会的东西都忘却了以后仍然留下来的那些东西”,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,数学思想是指人们对数学理论和内容本质的认识，数学方法是数学思想的具体表现形式。两者的本质是相同的，差别只是所站的角度不同。通常称为“数学思想方法”。数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用
21、的数学方法, 在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。常见的数学思想为：转化（化归）、分类讨论、数形结合、归纳、类比、整体、模型思想等,而基本方法则涉及配方法,待定系数法,换元法,面积法,图形变换,反证法等等.数学思想方法一般具有内隐的特点，因此，教学时需要以问题为载体，设计出一条内隐到外显的逻辑通道。,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,1、教师对数学思想方法的内涵要有深入的理解,认识到数学思想在解题中的定向功能、联想功能、构造功能和模糊延伸功能;2、在解决问题的过程中，教师要有渗透思想方法的意识;3、在解法上,把精力要花在诱导学生怎样去想，怎样确定解题路径上，置数学思想
22、方法的运用于解题的核心位置;4、在具体的解法上要注意通性通法的运用,要注意回顾和总结.5、要使学生把数学思想方法内化成自己的观点并应用它来解决问题.作为教师，首先要弄清楚教材内容，特别是例、习题中所蕴含的数学思想方法以及它与数学相关知识之间的联系，并适时作出归纳和概括。在具体的教学活动中，以恰当的方式和时机揭示数学思想方法，使学生能体会、感悟,逐渐的理解、领会、内化，并进行正确的运用。,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,一、关于配方法配方法就是利用完全平方公式对代数式进行恒等变形，再利用非负数的特性进行解题的方法.它在计算代数式的最值、确定代数式的取值范围与解方程中都有很重要的应用。请思考
23、下列问题：1、为什么要配方，理由是什么？2、什么问题可用配方法解决？3、用配方法解决问题时要注意什么问题？,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,一、关于配方法基本功能1：变换形式。即保持恒等而改变数学式的形状与结构，就是为着期望的目标去转换信息，改变情境，促使隐蔽的条件明朗化，把问题的本质暴露出来。如：求值、解方程、因式分解等。基本功能2：在实数范围内产生非负数。如：已知x2+xy+y2=19,求x2+y2的最大值、最小值。19=3(x2+y2)/2-(x-y)2=(x2+y2)/2,.38/3,38,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,案例：有一次听
24、一个老师讲八下“一元二次方程的解法（2）”（用配方法解一元二次方程），例3.用配方法解下列一元二次方程: （本课只有一个例题） (2)讲解配方法的一般程序和归纳之后，然后是同类题操练,掌握用配方法解一元二次方程的技能.教学内容结束时还有约15分钟时间,老师补充了下列问题:(1)多项式 的最小值为 .(2)怎样的整数满足不等式a2+3b2+62ab-8b.(3)说明代数式2x-2x2-1的值恒小于0.老师对这些问题给出了解答,但是没有说明为什么这些问题可以用配方法解决?配方法能解决此类问题的依据是什么？这样的教学从思想方法的渗透上来说是不够的，学生灵活应用配方法解决问题的迁移能力得不到提高.,二
25、、关于待定系数法有些数学题中,涉及的几个量具有确定的结构式,这时可以根据题意假设结果的结构式,再根据已知条件,求出这个结构式的未知系数,使问题得以解决.其中待确定的系数叫待定系数,这种解决问题的方法叫做待定系数法.初中阶段涉及到的函数学习中要确定函数的解析式,所以待定系数法就有广泛的应用.但具体在函数的教学中，不能只为教方法而教方法。k,a,b,c等系数的意义一定要使学生有深刻的理解。,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,案例：我这样教待定系数法(八上一次函数)某地区从1995年底开始,沙漠几乎每年以相同的速度增长.据有关报道,到2001年底,该地区的沙漠面积已从1998年底的100.6万公
26、顷扩展到101.2万公顷.(1)可选用什么数学方法来描述该地区的沙漠面积的变化?(2)如果该地区的沙漠化到不到治理,那么到2020年底,该地区的沙漠面积将增加到多少万公顷?分析:这个问题中涉及的量有:1995底的沙漠面积, 每年以相同的速度增长的沙漠面积,1995年到2020年经历的年数,2020年底的沙漠面积.它们应满足的关系是: 2020年底的沙漠面积（y）= 每年以相同的速度增长的沙漠面积（k）1995年到2020年经历的年数（x）+1995底的沙漠面积（b）,即y=kx+b.也就是说,可选用一次函数来描述该地区沙漠面积的变化.,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,问题:如图1,两摞相
27、同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上,图1请根据图中给的数据信息,解答下列问题：(1)可选用什么数学模型来反映整齐摆放在桌面上饭碗高度(cm)的变化情况？(2)把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时,这摞饭碗的高度是多少？,图1,T:同学们,上节课我们通过分类比较,概括了一次函数的一般形式,哪一般形式是什么?S1:y=kx+b(k0,且k,b均为常数）.T:很好.但对于具体的每个一次函数而言,它的都应该是惟一确定的.那么如何根据条件来确定它们呢?请首先看一个问题,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,S2:饭碗的高度随着碗的只数的变化而变化,应该用函数模型来反映.T:哪应该是什么函数呢？你能求出它的函数解析式
28、吗？S3:饭碗的高度就是一个碗的高度+碗叠放后增加的高度,好像应该是一次函数.S4:一个碗的高度+每加一个碗的增长高度(碗的总只数-1).T:那这两个常数能求出来吗? 如果设饭碗的高度为y,饭碗的只数为x(只),你能写出函数解析式吗?S5:这容易. 每加一个碗的增长高度就是(15-10.5)3=1.5(cm),则一个碗的高度就是10.5-31.5=6(cm),所以y=1.5(x-1)+6.T:同学们都明白了吗?既然经过分析,我们确定了这个函数是一次函数模型,那么对照一次函数的一般形式,在这个问题中分别是指什么呢?S6:k是指每加一个碗的增长高度,b指的是一个饭碗高度.,三、解题教学要渗透与提炼
29、数学思想方法,T:在此问题中,我们对赋予了实际意义,有助于大家能更深刻理解的作用.但刚才是利用的实际意义直接计算出它们的值,用的是算术方法.那么,是否还有别的方法可以求出这两个未知系数?S7:可以利用列方程组求解.即当时x=4,y=10.5; 当x=7时,y=15,代入到解析式, 有4k+b=10.5,7k+b=15.解得k=1.5,b=4.5，所以y=1.5x+4.5.T:S7同学的方法是把这个问题中待确定的两个常数看作两个未知数,从而运用条件构建二元一次方程组求解的方法,我们称之为“待定系数法”.当然,运用这种方法需要先明确所求函数是哪一类函数,这样才能设出相应的函数解析式.请一个同学概括
30、一下这种方法的一般步骤.(余略),三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,例.甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1v2)，甲前一半的路程使用速度v1、后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v2，后一半的时间使用速度v1。 （1）甲、乙二人从A地到达B地的平均速度各是多少（用v1和v2表示)？（2）甲、乙二人谁先到达B地?为什么？ （3）如图是甲从A地到达B地的路程s与时间t的函数图像，请你在图中画出相应的乙从A地到达B地的路程s与t时间的函数图像.,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,方法1:如图1,联结BD并延长与过点A且平行于DF
31、的直线相交于点E,再过点E作AD的平行线,则折线AEG即为所求.,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,G,F,E,D,F,方法2:如图2, 过点A作DF的平行于AE,过点D作横轴的垂线与AE交于点I,取线段DI的中点H,作直线AH与过点B的直线相交于点G,再过点G作AD的平行线与AE交于点E,则折线AEG即为所求.,从广义上理解，待定系数法的本质就是先寻求问题中的几个量应该满足的关系.然后再利用条件进行求解。因此，从这个意义上讲，代数学区别于算术方法的本质就在于此。,算术方法：,几个 已知量,求,未知量,直接求解着眼于求,几个 已知量,代数方法：,未知量,沟通关系：列方程、不等式，函数,间接
32、求解着眼于找,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,例1：江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台.这个问题中的几个量应该具有的关系式是: 被抽走的水量=涌出的水量+原有的水量.即：抽水时间(t)抽水机的台数(x)=抽水时间(t)每分钟涌出的水量(a)+原有的水量(p).即:tx=ta+p,例2.(1)如果多项式x2-(a+5)x+5a-1能分解成两个一次因式(x+b)与(x+c)的乘积(b,c为整数),则a值应为多少?(2)设(3x2+3x-7
33、)100=a0+a1x+a200 x200,求s0=2(a0+a2+a198+a200)的值,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,例（07年杭州市中考）三个同学对问题“若方程组 的解是 ，求方程组 的解。”提出各自的想法。甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”。参考他们的讨论，你认为这个题目的解应是 。,三、换元法,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,四、转化（化归）思想学数学本质上就是学转化遵循陌生熟悉；复杂简单原则如：高次低次；多元一元；方程、不等式与函数互化
34、；数形互化；不规则图形规则图形；分散条件聚集条件等等,例1、求方程 的解的个数。,例2、求方程 的正整数解.,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,五、数形结合思想 （华罗庚）数缺形时少直观,形少数时难入微; 数形结合百般好,隔离分家万事休！,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,y x+0.50.5y1,0 x0.5Y=2x+M-4,最大值5，最小值4,例、若2x+y1，试求函数w=y2-2y+x2+4x的最小值。（数学通讯1988年第1期P.10)分析：若用纯代数的配方、消元等方法求解，显然是繁杂的。注意到2x+y1为坐标平面内的一个区域，所求即为(x+2)2+(y-1)2=w+5.数形结
35、合法,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,五、数形结合思想 例. 已知x,y为正数，当x+y=12时,求 的最小值。,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,1,4,x,y,六、分类思想,分类研究世界的基本方法,分类：为什么要分类？怎么分类？数：正数，0，负数运算律；方程、不等式、函数确定类型，用相应性质解决图形形状及位置的不同明确图形分类的方法：1、相称性：把分类对象明确地分为若干类,使被分对象中每一个对象都属于且只属于其中的一类;2、同一性.即不重不漏.,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,例2.设x1,x2,x3, ,x2006是整数，且满足下列条件： -1xn2，n=1，2，3，20
36、06；x1+x2+x2006=200；x12+x22+x20062=2006.求 x13+x23+ +x20063的最小值和最大值.,例1.已知二次函数y=2x2-4ax+a2+2a+2.（1）通过配方，求当x取何值时，y有最大或最小值，最大或最小值是多少？（2）当-1x2时，函数有最小值2.求a所有可能取的值。,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,例3. 已知等腰三角形ABC,高AD恰好等于BC的一半.求BAC的度数.,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,例4.如图，已知ABC中，C=90 ，AC=6cm，BC=8cm，点P在斜边AB上移动.当ACP是等腰三角形时,求BP的长,三、解题教
37、学要渗透与提炼数学思想方法,圆，圆，中垂线！,例5.（08浙江）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA10厘米，OC6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米秒（1）设点Q的运动速度为0.5厘米秒，运动时间为t秒，当CPQ的面积最小时,求点Q的坐标；当COP和PAQ相似时,求点Q的坐标（2）设点Q的运动速度为a厘米秒，问是否存在a 的值,使得OCP与PAQ和CBQ 这两个三角形都相似？若存在，请求出a 的值，并写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由,三、解
38、题教学要渗透与提炼数学思想方法,七、从特殊到一般思想（归纳推理或合情推理） 寻求解题思路的基本策略,例1.（河内塔问题）如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片。按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。每次只能移动1个金属片，且较大的金属片不能放在较小的金属片上面。试推测：把4个金属片从1号针移到3号针最少需要移动 次，把10个金属片从1号针移到3号针最少需要移动 次。,三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法,7,2n-1,四、提高学生解题能力的四要素,建立明确的基本概念； 形成常用的基本技能；学会正确的思维方法； 养成良好的反思习惯。,例1.有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7
39、件，丙1件，共需315元;若购甲4件，乙10件，丙1件，共需410元，现购买甲、乙、丙各一件，共需多少元？,解：设甲、乙，丙的单价分别是x,y,z元，则由题意得，,四、提高学生解题能力的四要素,例2.（一道经典几何题）,四、提高学生解题能力的四要素,例2的拓展：向外作矩形，AB=kAH,AC=kAF,试探究HE与EF的数量关系？,四、提高学生解题能力的四要素,例3.已知x1,x2是实系数二次方程x2-2mx+m+2=0的两根；（1）m为何值时，x1=x2;（2）m为何值时，x12+x22有最小值，且最小值为多少？,两种思维水平的处理： 水平一、把问题（1）看成判别式的应用=4（m+1)(m-2
40、)=0把问题（2）看成是韦达定理及判别式的应用即x12+x22=4（m-1/4)2-17/4，由0，得m-1或m2;水平二、把问题（1）看成m的应用题，为解应用题需要列方程，为找等量关系，才用判别式=0（并非必须） 等量关系：(m)=0;方程4（m+1)(m-2)=0 ；解方程； 把问题（2）看做是函数的最值问题，为求最值，需求定义域；为找关系用韦达定理；为找定义域，用到了方程的判别式非负。,分析：对比这两种思维水平，所用到的知识相同，结果也都正确。但水平一仍停留在感性概括和简单应用的阶段；水平二则抽象到较为恰当的程度，由于水平二把这两个具体问题归纳到中学阶段最重要的知识体系：方程与函数上，运
41、用方程与函数的观点去解决问题，既如鱼得水，又势如破竹。随着学习内容的增加，学习难度的增大，两种思维水平的差距将明显拉开。,四、提高学生解题能力的四要素,例1. 命题：任何三角形都是等腰三角形,A,B C,O,D,E,k,M,N,画准确图形的重要性！,五、充分提高例（习）题的教育价值,思维发展应该具有：“深刻性、广阔性、灵活性、敏锐性、创造性、批判性”。因此，例题讲解时要做到“一题多解，多题归一”，防止“熟能生笨，熟能生厌”（李士錡,数学教育学报,1999(3)(4).,1、多讲背景联系（来龙去脉）、少掐头去尾烧中段；2、多启发通性通法，少灌输技巧技法；3、多挖掘本质特征，少进行题海训练；4、多
42、注意变式引申，少一些简单重复。,中国数学界的有效经验华人如何学数学,江苏教育,2005(10) 记忆通向理解；速度赢得效率； 严谨形成理性；重复依靠变式。,五、充分提高例（习）题的教育价值,1、讲背景、多联系,F,五、充分提高例（习）题的教育价值,（3）引例 如图1所示,有一块锐角三角形余料ABC,它的边BC=12,高线AD=8,现要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.问加工成的正方形边长为多少?,例1 已知ABC中,BC=12,BC边上的高AD=8,若并排放置的2个相等的小正方形组成的矩形,内接于ABC(如图2),则小正方形的边长为多少? 并排放置3
43、个小正方形呢?如图4,若并排放置小正方形有n个,则这时小正方形的边长又为多少?,图4,五、充分提高例（习）题的教育价值,例2 如图5,已知ABC中,BC=12,BC边上的高AD=8,四边形PQMN为ABC的内接矩形.(1)设PQ=x,你能求出PN的长吗?(用含x的代数式表示）(2)记矩形PQMN的面积为S,求S的最大面积.,例3 如图6,在锐角ABC中,BC=12,ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动点（D不与A,B重合）,且保持DEBC,以DE为边,在点的异侧作正方形DEFG.(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长.(2)设DE =x,ABC与正方
44、形DEFG重叠部分的面积为s,试求s关于x的函数关系式及的取值范围,并求出的最大值.,五、充分提高例（习）题的教育价值,例4 如图9,锐角ABC中,BC=12,AHBC点H,且AH=8,点D为AB边上的任意一点,过点D作DEBC,交AC于点E,AH于F.设AF为(0 x8),以DE为折线将ADE翻折,所得ADE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y(点A的对称点A落在AH所在直线上）.请问当x取何值时,y的值最大?最大值是多少？,点评：1 谋篇布局,构思精巧 高效的课堂源自于有效的教学设计.纵观本节课,王老师以“相似三角形对应高之比等于相似比”这一重要性质的应用为主要认知线索,以教材中的范例(求三
45、角形的内接正方形边长)为原型,并精心选择了与此相关联的四个变式问题展开研究,层层深入,变化有度,衔接自然.其中,从水平变式到垂直变式的渐变,突出了过程体验,强化了对基本图形的本质理解.而从几何到代数的综合,从方程到函数模型的构建,从静态图形到动态图形的变化,从图形的平移到折叠变换,则能使学生完善认知网络,丰富图形认知,促进方法理解,提高思维能力.这样的设计,较好地遵循了学生的学习规律,为达成本课的学习目标创设了适切的载体,也有利于促进学生主动的学习,彰显了教师的教学智慧.,五、充分提高例（习）题的教育价值,2 方法为先,思维为本数学不仅仅是一种重要的“工具”和“方法”,更重要的是一种思维模式.
46、因此,增强学生的数学概括和抽象能力,提升其思维能力是数学教学的重要任务.就本课而言,较好的体现了这一点.一是学生亲历了问题的发生与发展过程,对基本图形本质及其作用的理解是在充分的体验过程中得以逐步领悟的,这些数学思维活动留给学生的感受是非常深刻的,对于学生今后深入理解图形性质,关注图形之间联系,从复杂图形中分离基本图形,提高图形分析能力等都会带来积极的影响;二是在具体解决问题的过程中,有机的渗透从特殊到一般,分类讨论,数形结合,方程及函数等思想方法,让学生在必要的观察、猜想、类比、推理与交流中感悟这些思想方法的概括与内化过程,对于唤醒学生的认知内驱力,促进他们的思维发展,进而形成有效的思维策略
47、有着显著的效果,也充分体现了数学教育的价值. (具体见中数参2012年第9期）,五、充分提高例（习）题的教育价值,解法的多样性 如图1所示,有一块锐角三角形余料ABC,它的边BC=12,高线AD=8,现要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.问加工成的正方形边长为多少?,解法1.根据”相似三角形对应高的比等于相似比”,建立以正方形的边长为未知数的一元一次方程.解法2.利用面积相等关系,构造以正方形边长为未知数的方程求解.,解法3.将正方形的边长EF转化到边BC上,利用相似三角形的对应边成比例求解.,五、充分提高例（习）题的教育价值,进一步研究:应用这个图
48、形的基本模型 拓展1.如图,设边BC=a,高AD=h,可得x=ah/a+h,所以,如图正方形SRPQ的边长为x=a(h/a+h)2.,拓展2.当三角形的三边长不相等时,内接于最短边上的正方形面积最大,内接于最长边上的正方形面积最小.(江苏省数学竞赛题),五、充分提高例（习）题的教育价值,案例1：从最简单的情形开始“用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图1所示.这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？” （最少10，最多16）两位老师用了两种不同的教法：第一位老师的启发简单实用：“根据这两个图形，先搭一下模型 ! 谁上台来操作？”一位同学上讲台完成了
49、搭模型的任务，笑咪咪的下去了。“还有另外的搭法吗？”“那么，最少要用几块？最多又要用几块呢？”只要再动手搭一下即可。这是基于动手操作的教法，学生也乐于动手，答案也最容易得到。但对学生思维能力的要求偏低；对学生思维训练、培育发展的影响也较少。第二位老师则是这么教的：“同学们，你们能根据主视图和俯视图填出一个带数字的俯视图来吗？”-这倒是个好主意!，美中不足的是，这主意是由老师提示的，而不是学生们自己想到的。这是基于视图的规律性与一定的抽象思维的教法。,2、讲通性通法一般有用的方法,五、充分提高例（习）题的教育价值,学生要懂得规律性，或能在自己的头脑中想得起模型，才填得出带数字的俯视图。过程中要完
50、成部分抽象思维操作，对学生思维发展的要求自然就较高了，就方法来说渗透着把整体分解用局部来体现整体的局部与整体的转化思想。主视图有种种填法，不同的填法间进行比较后，这题也就讲好了。按“局部与整体的转化思想”，下面的思路，或许更能强化实现这一目标呢？“先滿足其中一个条件，再滿足另一个条件。比如，先滿足主视图，那么，模型将会是怎样的呢？”这还是一个开放题，答案有很多。你可以“从少到多”，六个小方块就可以搭成滿足主视图的模型了；然后，一块一块的加上去，直至也滿足俯视图而止。这不是一个很有趣的游戏吗？也可以“从多到少”，十八个小方块，搭成滿足主视图的有三层的模型；然后，再一块一块的减去，使滿足俯视图而止
