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1、 5.2 解析函数的孤立奇点,1、孤立奇点的分类,2、孤立奇点的性质,3、 Schwarz引理,4 、Picard定理,定义5.2 如果f(z)在点a的某一去心邻域K-a:0|z-a|R(即除去圆心a的某圆)内解析,点a是f(z)的奇点(见定义2.3),则称a为f(z)的孤立奇点.,1、孤立奇点的分类,如a为f(z)的孤立奇点,则f(z)在a的某去心邻域K-a内可以展成罗朗级数,则称,为f(z)在点a的正则部分(解析部分),为f(z)在点a的主要部分.,而称,(1)如果f(z)在点a的主要部分为零,则称a为f(z)的可去奇点.,则称a为f(z)的m阶(级)极点.一级极点也称为简单极点.,设为,
2、定义5.3 设a为f(z)的孤立奇点.,(2)如果f(z)在点a的主要部分为有限多项,(3)如果f(z)在点a的主要部分有无限多项,则称a为f(z)的本性奇点.,定理5.3 a为f(z)的可去奇点，则以下三条等价,2、孤立奇点的特征,(2),(1)f(z)在点a的主要部分为零;,(3)f(z)在点a的某去心邻域内有界.,证 只需证(1)(2);(2) (3);(3)(1) (1)推出(2)：由(1)知,于是,2.1.可去奇点,(2)推出(3):即例1.27.,|f(z)|M(M0).考虑f(z)在点a的主要部分,(3)推出(1):设当aK-az| 0|z-a|a 时, = 1 2 () ( )
3、 +1 (=0,1,2,), : = (0),注：a为可去奇点时，补充 f(z)=c0,则a就成为f(z)的解析点了。,2.2 极点的特征,定理5.4 如果f(z)以a为孤立点,则a为f(z)的m阶极点 ,(1)f(z)在a点的主要部分为,(2)f(z)在点a的某去心邻域内能表成,其中(z) 在点a邻域内解析,且(a)0,以a为m阶零点,(可去奇点a要当作解析点看,只要令g(a)=0).,证 (1)(2): 设在点a的某去心邻域内有,其中：,显然在点a的邻域内解析,且,(2) (3):设在点a的某去心邻域内有,其中,在点a的某去心邻域内解析,且,因此a为g(z)的可去奇点,作为解析点来看,只要
4、令g(a)=0,a就为g(z)的m级零点.,其中 在此邻域内解析,且 .这样一来,因1/(z) 在点a某邻域内解析(例1.28),则可展成泰勒级数，设为：,于是f(z)在点a的主要部分就是,定理5.5 f(z)的孤立奇点a为极点的充要条件是,例2,求函数,的所有有限奇点，并确定他们的类型.,求下列函数,例1,的所有有限奇点，并确定他们的类型.,定理5.6 f(z)的孤立奇点a为本性奇点,2.3 本性奇点的特征,证明：(反证法),若a不是f(z)的本性奇点,a是f(z)的可去奇点,a是f(z)的极点,a是f(z)的可去奇点, a是f(z)的极点,定理5.7 若z=a为f(z)之一本性奇点,且在点
5、a的充分小去心邻域内不为零,则z=a亦必为,的本性奇点.,证 （反证法）,若z=a为(z)的可去奇点(解析点),都与假设矛盾,若z=a为(z)的极点,a为f(z)的可去奇点,a为f(z)的可去奇点,a为f(z)的极点,例5.8：,0是函数 的本性奇点，不难看出不存在。,解：当z沿正实轴趋近于0时， 趋近于,当z沿负实轴趋近于0时， 趋近于0；,当z沿虚轴趋近于0时， 极限不存在。,14,2022/12/26,奇点,孤立奇点,非孤立奇点,支点,可去奇点,极点,本性奇点,（单值函数的）,（多值函数的）,注：就本书所遇到的奇点情况来看，可以列表如下：,席瓦尔兹(Schwarz)引理 如果函数f(z)
6、在单位圆|z|1内解析,并且满足条件 f(0)=0,|f(z)|1(|z|1),则在单位圆|z|1内恒有|f(z)|z|,)且有 |f (0)|1.,3、Schwarz引理,如果上式等号成立,或在圆|z|1内一点z00处前一式等号成立,则(当且仅当)其中为一实常数.,定理5.8 如果a为f(z)的本性奇点,则对于任何常数A,不管它是有限数还是无穷,都有一个收敛于a的点列zn,使得,4、Picard(毕卡)定理,证 (1) 在 A的情形,定理是正确的.因为函数f(z)的模在a的任何去心邻域内都是无界的.,否则,a必为f(z)的可去奇点,Weierstrass定理,(2)现在设,.这样,由定理5.
7、7,函数,在K-a内解析,且以a为本性奇点(因a为f(z)的本性奇,由此推出,可能有这种情形发生,在点a的任意小的邻域内有这样一点z存在,使f(z)=A.定理得证,因此,我们可以假定,在点a的充分小去心邻域K-a内f(z)A,点).根据前面(1)段的结果,必定有一个趋向a的点列zn存在,使得,(3) Weierstrass定理等价表述,在本质奇点的无论怎样小的去心领域内，函数f(z)可以取任意接近于预先给定的任何数值（有限的或无穷的）。,用下列例子来验证定理5.8成立,例1,A=,A,例2,A=,A=0,A0, A,定理5.9(毕卡(大)定理) 如果a为f(z)的本性奇点,则对于每一个A,除掉可能一个值A=A0外,必有趋于a的无限点列zn使f(zn)=A (n=1,2,).,或 解析函数在一个本性奇点的邻域内无穷多次地取到每个有限值，至多除去一个例外值.,
