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1、4.3 解析函数的泰勒展式,1、泰勒(Taylor)定理2、幂级数和函数在收敛圆周上的状况3、一些初等函数的泰勒展式,问题的引入,前面我们证明了: 一个收敛半径为正的幂级数，在其收敛圆内收敛于一个解析函数。 反之，是否成立？,任一个解析函数能用幂级数来表示，即有,下面我们证明其逆也真。,(4.9),D,定理4.14 (泰勒定理) 设f(z)在区域D内解析,aD,只要K:|z-a|R含于D,则f(z)在K内能展成如下幂级数,(4.8),其中系数,且展式是唯一的.,1、泰勒(Taylor)定理,K,a,K,证:关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式:,(|u|1).,(4.10),总有一个圆周:,
2、 :|=(0),使点z含在,中虚线表).由柯西积分公式得, ,a,z,D,图4.1,的内部(图4.1, ,表示为一个含有z-a的正幂次级数.为此改写：,(4.11),我们设法将被积式:,由,时,由于,应用公式(4.10),我们有,右端的级数在 上(关于 )是一致收敛的.以 上的有界函数 相乘,仍然得到 上的一致收敛级数.于是(4.11)表示为 上一致收敛级数,由定理3.13知,最后得出,其中的系数cn由公式(4.9)给出.上面证明对于任意z均成立,故定理的前半部分得证.,下面证明展式是唯一的.设另有展式,由定理4.13(3)即知,(n=0,1,2,),故展式是唯一的.,注1 定义4.6 (4.
3、8)称为f(z)在点a的泰勒展式,(4.9)称为其泰勒系数,而(4.8)右边的级数,则称为泰勒级数.,注（2）由第三章的柯西不等式知若f(z)在|z-a|R内解析,则其泰勒系数cn满足柯西不等式,定理4.15 f(z)在区域D内解析的充要条件为:f(z)在D内任一点a的邻域内可展成z-a的幂级数,即泰勒级数.,注（3） 刻画解析函数的又一等价命题,定理4.16 如果幂级数,的收敛半径R0,且,则f(z)在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点,即不可能有这样的函数F(z)存在,它在|z-a|R内与f(z)恒等,而在C上处处解析.,证 假若这样的F(z)存在,这时C上的每一点就都是某圆O的中心
4、,而在圆O内F(z)是解析的.,z1,a,2、幂级数和函数在收敛圆周上的状况,K/:|z-a|R+内是解析的.于是F(z)在K/可开为泰勒级数.但因在|z-a|R中F(z)恒等于f(z),故在z=a处它们以及各阶导数有相同的值。因此级数,也是F(z)的泰勒级数,而它的收敛半径不会小于R+,这与假设矛盾.,根据有限覆盖定理,我们就可以在这些圆O中选取有限个将圆O覆盖了.这有限个圆将构成一个区域G,用0表示C到G的边界的距离(参看第三章定理3.3注).于是F(z)在较圆K大的同心圆,z1,z2,z3,z2,z5,z2,z6,z8,z9,z10,a,注 (1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛,其和函
5、数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点.,(2)这个定理,一方面建立了幂级数的收敛半径与此幂级数所代表的函数的性质之间的密切关系;同时还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄的完全明白.,思考题,161:（1）与（2）,3、幂级数的运算,(1).幂级数的有理运算,(2). 幂级数的代换(复合)运算,说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.,三、将函数展开成泰勒级数,常用方法: 直接法和间接法.,1.直接法:,由泰勒展开定理计算系数,例如，,故有,仿照上例 ,例2 求Ln(1+z)的下列解析分支在z=0的泰勒展式,解：已给解析分支在z=0的值为0，它在z=0的一阶导数为1，二阶导数为-1，n阶导数为
6、,ln ( 1+)= ln | 1+ + arg ( 1+ ( arg ( 1+),(1 ) (1)!,求多值函数(1+)以=1，为支点的各分支的展式为( ln ( 1+) ) =2+ 2 2 + 3 3 +(1 ) 1 +( 1;=0,1,2,),因此，它在z=0或在|z|1的泰勒展式是：,其收敛半径1。,从而,附: 常见函数的泰勒展开式,2. 间接展开法 :,借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更
7、为广泛 .,（1 ）利用已知级数求展式,四、典型例题,例1,同理可求 os 在 =0 的泰勒展开式.,例2,解,例3,解,重要结论：几何级数,重要结论：几何级数,例4,例5,解,（2）逐项求导法,上式两边逐项求导,例6,解,（3）逐项求积法,（4）利用级数的乘法（或柯西乘积）,例7,例7,解,即微分方程,对微分方程逐次求导得:,（4）利用级数的乘法（或柯西乘积）,五、小结与思考,通过本课的学习, 应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法, 能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.,一些初等函数的泰勒展式,奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?,思考题,奇函数
8、的泰勒级数只含 z 的奇次幂项, 偶函数的泰勒级数只含 z 的偶次幂项.,思考题答案,泰勒资料,Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, England,Brook Taylor,泰勒简介,泰勒在数学上多产的时期他的两本著作：正和反的增量法及直线透视(Linear perspective)都出版于1715年。它们的第2版分别出于1717和1719年。泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。泰勒用他的定理把函数展开成级数，得到如正弦函数及对数函数等的标准展式，并用这一方法求微分方程的通解他还用级数去解数字方程，得到根的近似值，尤其注意到去解根式方程和超越方程泰勒的工作受到了后人的赞扬例如，画法几何学的奠基人,
