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1、平行四边形的性质：,边,平行四边形的对边平行,平行四边形的对边相等,角,平行四边形的对角相等,平行四边形的邻角互补,对角线,平行四边形的对角线 互相平分,温故知新,问题一,我们知道：“平行四边形的两组对边分别相等”，那么一个四边形中有两组边相等 ，这个四边形是否是平行四边形？,问题二,已知：四边形ABCD中， AO=OC，BO=OD，那么四边形ABCD是平行四边形吗？ 你的根据是什么？,根据平行四边形的判别，对角线互相平分的四边形是平行四边形,大显身手,例1：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形,D,O,A,B,C,E,F,证明：
2、作对角线BD，交AC于点O。 四边形ABCD是平行四边形 AO=CO，BO=DO AE=CF AO-AE=CO-CF EO=FO 又 BO=DO 四边形BFDE是平行四边形,问题三,已知：四边形ABCD中， ABCD， AB=CD 那么四边形ABCD是平行四边形吗？你的根据是什么？,根据平行四边形的判别，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,感悟,2.从角与角的关系:,3.从对角线的相互关系:,1.从边与边的关系:,知识运用,方法一:利用两三角形全等,方法二:利用平行四边形对边相等,实践应用,例2:如图，在 ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE=CF，连结CE和AF，试说明四
3、边形AFCE是平行四边形。,O,BF=ED,OE=OF,例3：已知点D、E、F分别在 ABC的边BC、AB、AC上，且DE AF，DE=AF，G在FD的延长线上，DG=DF。求证：AG与ED互相平分。,1、下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）A、A=C，B=DB. A=B=C=90 C.A+B=180 ，B+C=180 D.A+B=180 ，C+D=180 ,D,练习一,1.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是 平行四边形吗？,2,几种容易产生误判的命题:,2.有两组边相等的四边形是平行四边形吗?,3.对角线相等的四边形是平行四边形吗?,4.有两组邻角互补的四边形是平行四
4、边形吗?,5.有一组对角相等的四边形是平行四边形吗?,6.有两组角相等的四边形是平行四边形吗?,7.一条对角线平分另一条对角线的四边形 是平行四边形吗?,8.一组对边相等,一组对角相等的四边形是 平行四边形吗？,3:如图，ABC中，D是AB的中点，E是AC上的一点，EFAB，DFBE(1)猜想：DF与AE间的关系是 (2)请对你的猜想说明原因,4、已知在平行四边形ABCD中，E、G分别在AB、CD上，H、F在对角线上，且AHCF，AECG ， 求证：四边形EFGH为平行四边形,1,2,5、已知：AD为ABC的角平分线，DEAB ，在AB上截取BFAE。求证：EFBD,1,2,3,6、已知 平行
5、四边形 ABCD中，直线MN / AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。求证：PM=QN。,温故知新,定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,ACB=90AD = BDCD = AB,四个角都是直角,对边平行且相等,互相平分且相等,中心对称图形,轴对称图形,对角线相等的平行四边形是矩形。,已知：平行四边形ABCD，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。,证明:,平行四边形ABCD AB=CD BC=BC AC=BD, ABC DCB（SSS）, AB/CD ABC+DCB=180, ABC=DCB=90 又 四边形ABC
6、D是平行四边形,四边形ABCD是矩形, ABC=DCB,判定定理1,有三个角是直角的四边形是矩形,证明： A= B= C=90 A + B = 180 B + C = 180 ADBC， ABDC 四边形ABCD是平行四边形 A=90 四边形ABCD是矩形,矩形判定定理2,有一个角是直角的平行四边形是矩形。,矩形的判定：,定义,有三个角是直角的四边形是矩形。,矩形判定定理1,对角线相等的平行四边形是矩形。,矩形判定定理2,考考你,对角线相等的四边形是矩形。对角线互相平分且相等的四边形是矩形。有一个角是直角的四边形是矩形。四个角都是直角的四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。对角线相等且有一
7、个角是直角的四边形是矩形。对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。,例1 已知ABCD的对角线AC、BD交于O，AOB是等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积.,应用新知,例: 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形,已知：如图矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形,平行四边形ABCD,E是CD的中点,ABE是等边三角形,求证:四边形ABCD是矩形,D,A,B,C,E,对角线垂直的任意四边形的中点四边形是矩形,A,B,C,D,E,F,G,H,ABC中，点O是AC边上一动点，
8、过O点作直线MN/BC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F，（1）试说明EO=OF的理由。（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论。,M,N,B,C,D,E,O,F,A,复习与回顾：,1.菱形的定义：,2.菱形的性质：,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。,对边平行四边相等,对角相等,对角线互相平分、互相垂直且平分每一组对角,对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,证明：, ABCD是菱形,又 AC BD;,四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,BA=BC,数学语言,四边形ABCD是平行四边形; AC BD;, ABCD是菱形,O,(线段垂直平分线上的
9、点到线段两个端点的距离相等),(有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形).,思考：它有几个已知条件？分别是什么？,猜想： 有四条边相等的四边形是菱形。,数学语言,四边形ABCD是平行四边形,已知：在四边形ABCD中，,AB=BC=CD=DA,求证：四边形ABCD是菱形,证明:,四边形ABCD是菱形,(有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形), AB=BC=CD=DA,四边形ABCD是菱形,AD=BC AB=CD,又AB=AD,归纳,菱形常用的判定方法：,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.,对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,有四条边相等的四边形是菱形.,判断下列说法是否正确？为什么？(1)对角线互相垂
10、直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等 的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形,请你动脑筋,把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？,A,C,D,B,思考:,已知，如图， ABC中， ACB= 900,BF平分 ABC，CD垂直于AB于D，和BF交于点G ， GE CA.求证：CE和FG互相垂直平分。,一组邻边相等,对角线互相垂直,四条边相等,五种判定方法,四边形,菱形的判定方法：,小结：,矩形与菱形,有一角是直角的平行四边形叫做矩形.,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
11、,平行四边形的性质,性质,边,角,对角线,四个角都是直角,相等,互相垂直且平分每一组对角,判定,有一角是直角的平行四边形,对角线相等的平行四边形,三个角都是直角的四边形,有一组邻边相等的平行四边形,对角线互相垂直的平行四边形,四条边都相等的四边形,四条边都相等,如图，已知在ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，且AE=AB=BF，证明:CEDF.,例：如图，RtABC中，ACB=900，BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。,二已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PDAC，PCBD，PD、PC相
12、交于点P。,(1)猜想：四边形PCOD是什么特殊的四边形？,(2)试证明你的猜想。,（3) PO与CD有怎样的关系？,四边形PCOD是菱形。,PO与CD互相垂直且平分,例：如下图在ABC中，BAC90，ADBC于D，CE平分ACB，交AD于G，交AB于C，EFBC于F，四边形AEFG是菱形吗?,如图448，CD为RtABC斜边AB上的高，BAC的平分线交CD于E，交BC于F，FGAB于G求证：四边形EGFC为菱形,如图，ADBC，BD垂直平分AC，四边形ABCD一定是菱形吗？若是，请说明理由。,思考题:,) 1,2 (,提示: AODCOB（角边角）,AD=BC,如图，已知AD平分BAC，DE
13、/AC，DF/AB,AE=5.（1）判断四边形AEDF的形状？（2）它的周长为多少？,练习：,如图在菱形ABCD中,CEAB,CFAD. 则CE与CF相等吗？说明理由。 BE与DF呢？,1 正方形的定义,由正方形的定义可知， 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形。如图(1)。,有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。,平行四边形,矩形,菱形,正方形,请画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图,正方形性质: 边: 对边平行 四边相等 角 ：四个角都是直角,对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。,0D:我的文档左信举j2040600.swf,练习1
14、已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且ABacm，如图(2)。,求：AC的长及正方形的面积S。,练习2已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC6 cm，如图求：正方形的面积S。,例1如图(6)，ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：CEAABG,分析：欲证CEAABG，大家想一想证明两个角相等的方法，你有办法了吗？通过自己的努力，看能不能解决问题？,证明：四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。AEABAGAC1290又EAC1BAC90BAC BAG2BAC90BACEACBAGAECABG(SAS) CEAABG,例：下列正
15、确的是,. 四边相等的四边形是正方形四角相等的四边形是正方形对角线垂直的平行四边形是正方形对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,例2如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，,分析：要证明BMCN，大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等 ?,MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，,求证：BMCN。,你能完成证明吗?,ABBC，1245 条件够吗？,还需要的条件是 AMBN,ABMBCN,你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件?,由正方形可以得到的条件有：,例2如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BMCN。,证明：四边形
16、ABCD是正方形 OAOB ,12345 又MNAB OMN13ONM45 OMON OAOMOBON 即AMBN,下面大家自己完成证明,例：在正方形中，点，分别在，上，且.四边形是正方形吗？为什么？,例3已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线 上一点，CEAF于E，交AD于M， 求证：MFD45,分析：欲证MFD45，由于MDF是直角三角形,只须证MDF是等腰三角形,即只要证 _=_,要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等?,CMDADF,例3已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CEAF于E，交AD于M，求证：MFD45,证明：CEAF ADCAEM90
17、 又CMDAME 12又CDAD，ADFMDCRtCDMRtADF(AAS) DM=DF,下面的证明请大家完成,练习如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证：(1) ACFDCB (2) BHAF,（8）如图1：正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上的一点，连接EB，过点A作AMBE，垂足M，AM交BD于点F,如图2所示，若点E在AC的延长线上，AMEB的延长线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由,求证OE=OF；,练习：在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.1)试说明:DE=DF2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法,
