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1、专题六二次函数压轴题,纵观近几年东营地区的中考试题，在试卷的最后一题都是以二次函数为载体的题目，难度较大，是考生最易失分的题目试题由三个小问题组成，第一问求解二次函数解析式，第二问和第三问一般都是求动点的坐标，而题目中的动点可能在抛物线上，也可能在坐标轴或者直线上；设问一般与角、三角形、四边形、圆有关，考查直角的判定、三角形全等或相似、特殊四边形的判定、三角形的面积等知识，综合性强，考查知识面广,东营市中考试题中每年都会出现考查二次函数的压轴题目例如：2017年第25题考查解直角三角形、二次函数的解析式、三角形周长的最大值；2016年第25题考查二次函数的解析式、三角形的面积和特殊四边形的判定
2、；2015年第25题考查二次函数的解析式、三角形面积和直角的判定,类型一 面积类问题 与二次函数有关的面积问题中，一般先根据动点所在的位置(如抛物线上、直线上或坐标轴上等)设出动点的坐标，再根据两点之间的关系求出线段的长度(含未知数)，利用已知条件列出含有未知数的等式，求出未知数，从而得到动点坐标,例1 (2016丹东)如图，抛物线yax2bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交x轴于点H.,(1)求抛物线的解析式；(2)直接写出点C的坐标，并求出ABC的面积；(3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP的面积为6时，求出点P的坐标
3、；(4)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN的面积,【分析】(1)利用待定系数法求二次函数的解析式；(2)根据二次函数的对称轴x2写出点C的坐标为(3，3)，根据面积公式求ABC的面积；(3)因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标(m，m24m)，利用差表示ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；(4)分别以点C，M，N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算,【自主解答】(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入yax2bx，抛物线解析式为yx
4、24x.,(2)点C的坐标为(3，3)又点B的坐标为(1，3)，BC2.SABC 233.,(3)过P点作PDBH交BH于点D.设点P(m，m24m)，根据题意，得,BHAH3，HDm24m，PDm1，SABPSABHS四边形HAPDSBPD，即6 33 (3m1)(m34m) (m1)(3m24m)，3m215m0，m10(舍去)，m25，点P的坐标为(5，5)(4)CMN的面积为 或5或17.,1(2016潍坊)如图，已知抛物线y x2bxc经过ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(9，10)，ACx轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式；(2)过点P且与y轴平行
5、的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；,(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由,解：(1)把点A(0，1)，B(9，10)的坐标代入y x2bxc， 所以抛物线的解析式是y x22x1.,(2)ACx轴，A(0，1)，由 x22x11，解得x16，x20.C(6，1)设直线AB的解析式是ykxb(k0)，则直线AB的解析式是yx1.,则直线AB的解析式是yx1.设点P的坐标为(m， m22m1)，则点E的坐标为(m，m1)，EPm1( m22
6、m1) m23m.ACEP，AC6，S四边形AECPSAECSAPC ACEF ACPF AC(EFPF) ACPE 6( m23m),m29m(m )2 .又6m0，则当m 时，四边形AECP的面积的最大值是 ，此时点P的坐标是,(3)由y x22x1 (x3)22，得顶点P的坐标是(3，2)，此时PFyFyP3，CFxFxC3，则在RtCFP中，PFCF，PCF45.同理可求EAF45，PCFEAF，在直线AC上存在满足条件的Q，如图CPQ1ABC或CQ2PABC.可求ABAB9 ，AC6，CP3 ，,当CPQ1ABC时，设Q1(t1，1)， 当CQ2PABC，设Q2(t2，1)， 综上，
7、满足条件的点Q有两个，坐标分别是Q1(4，1)或Q2(3，1),类型二 平行四边形类问题 在求解与平行四边形有关的二次函数问题时，一般也是先根据动点的位置设出动点的坐标，利用两点之间的距离或两条直线之间的位置关系列出相应的等式，通过解方程得出未知数的值，从而使问题得以解决,例2 (2016襄阳)如图，已知点A的坐标为(2，0)，直线y x3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线yax2bxc过A、B、C三点(1)求出B、C两点的坐标、抛物线的解析式及顶点D的坐标；,(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，
8、若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标,【分析】(1)分别令y0和x0，将得到的x，y分别代入y x3即可求出B和C的坐标，然后设抛物线的交点式，最后把C的坐标代入抛物线解析式即可求出抛物线解析式和顶点D的坐标；(2)当四边形DEFP为平行四边形时，DPBC，设直线DP的解析式为ymxn，则m ，求出直线DP的解析式后，联立抛物线解析式和直线DP的解析式即可求出P的坐标,【自主解答】(1)令x0代入y x3，y3，C(0，3)令y0，代入y x3，x4，B(4，0)设抛物线的解析式为ya(x2)(x4)，,把C(0，3)代入得8a3，a ，抛物线的解析式为y x2 x3，顶点D的坐标为(1
9、， ),(2)当DPBC时，此时四边形DEFP是平行四边形设直线DP的解析式为ymxn，直线BC的解析式为y x3，m ，y xn.把D(1， )代入y xn，得n ，,直线DP的解析式为 联立 解得x3或x1(舍去)把x3代入 点P的坐标为(3， ),2(2017泰安)如图，是将抛物线yx2平移后得到的抛物线，其对称轴为x1，与x轴的一个交点为A(1，0)，另一交点为B，与y轴的交点为C.(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点N为抛物线上一点，且BCNC，求点N的坐标；,(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y 的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P，Q是否存在？若存在，分
10、别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由,解：(1)由题意，设抛物线的解析式为y(x1)2k.A(1，0)在抛物线上，0(11)2k，k4，抛物线的解析式为y(x1)24x22x3.,(2)当x0时，y(01)243，点C(0，3)，OC3.又B(3，0)，BOC为等腰直角三角形，OCB45.如图，过点N作NHy轴，垂足为H，NCB90，NCH45，NHCH，,HOOCCH3CH3NH，则设点N为(a，a22a3)，a3a22a3，解得a0(舍去)或a1，N(1，4),(3)四边形OAPQ是平行四边形，则PQOA1，且PQOA，设P(t，t22t3)，则Q(t1，t22t3)将点Q(t1，t22t3)代入 得t22t3 (t1) ，整理得2t2t0，解得t10，t2 .,t22t3的值为3或 .点P，Q的坐标为(0，3)，(1，3)或,
