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1、第二章 方阵的行列式习题课,2.1 n阶行列式的定义2.2 方阵行列式的性质2.3 展开定理与行列式的计算,1.n阶行列式的定义,(1)n阶行列式是n！项的代数和.(2)n阶行列式的每一项都是取自n阶行列式的不同行和不同列的n个元素的乘积，称为均匀分布项.如果行标按标准顺序排列，列标记为 ,一般项记为(3)n阶行列式的每一项的符号由列标排列的奇偶性决定:若列标排列为奇排列,则此项的符号为负,若列标排列为偶排列,则此项的符号为正.即符号可表示为且正项和负项各占一半.(4)由于n级排列共有n!个,所以n阶行列式共有n！项.(5)一般的，n阶行列式是一个数.,解：,3.设排列,的逆序数为m, 且,中
2、小于,的有s个,求排列,的逆序数.,解,在n级排列,中，比,小的数共有,个.,设排列,中,右边比,小的数有,个,则该排列中,左边比,小的数有,个.,(1)先求排列,的逆序数.,该排列中在,右边比,小的数有,个,(i=1,2,-,n).,于是,(2)求排列,的逆序数.,在排列,中将,排到第一位, 由于,中小于,的有s个, 故当把 排到第一位时,增加了s个逆序, 减少了n-1-s个逆序, 故,2.行列式的性质,行列式与它的转置行列式相等.,互换行列式的两行(列)，行列式变号.,某行(列)有公因子可以提到行列式的外面.,某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变.,若行列式中某一行(列)的所有元素
3、均为两元素之和. 则该行列式可拆成两个行列式的和.,某两行(列)的对应元素成比例，则行列式等于0.,某行(列)的元素全为0，则行列式等于0.,几个重要的公式,3.设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则,4.设A,B为n阶方阵,注意,两行列式相加与两矩阵相加的不同,两行列式相等与两矩阵相等的不同,数乘行列式与数乘矩阵的不同,(第2列的-2倍加到第3列上，第2列-3倍加到第4列上）,5.行列式按行(列)展开定理及其推论,6.Laplace定理,定义 设D是一个n阶行列式，在D中取某K行(或列), 则含于此k阶行(或列)中的所有k阶子式与其代数余子式的乘积之和恰好等于D.即,是D的被选定的k行(或列)所含
4、的K阶子式,其中,分别是它们的代数余子式.,7.计算行列式,解 作辅助函数,将上式按最后一列展开，则f(x)为x的一个4次多项式，且x的3次幂的系数为D,于是可以通过考察多项式f(x)来求D.,从上式易知，多项式f(x)的三次幂项系数为,故,8. 计算,解,按第一列展开,9. 计算,解,各行减第一行,箭形行列式,10. 用Laplace定理计算,解 取D的第1，2行，D含有第1，2行的不为0的2阶子式有3个,相应的代数余子式为,11.设abc0，试证,证第一列乘(a+b+c)加到第三列,12.计算,解,一般采用按行(列)展开,得到递推公式,然后由递推公式推出结果.,三对角行列式,按第一行展开,按第一列展开,(1),(2),(n-1),又,得,(3),相加得,
