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1、,22.2二次函数与一元二次方程,第二十二章 二次函数,优 质 课 件,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（RJ） 教学课件,学习目标,1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.(难点）2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.（重点）3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.,导入新课,情境引入,问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系： h=20t-5t2，考虑以下问题：,讲授新课,（1）球的飞行高度
2、能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？,15,1,3,当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.,解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t2=3.,你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？,h=20t-5t2,（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？,你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？,20,4,解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.,当球飞行2秒时，它的高度为20米.,h=20t-5t2,（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？,你能结合图形指出为什么球不能
3、达到20.5m的高度?,20.5,解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4 4.10,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5米.,h=20t-5t2,（4）球从飞出到落地要用多少时间？,0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0,t2=4.,当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.,即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.,h=20t-5t2,从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?,一般地，当y取定值且a0时，二次函数为一元二次方程.,如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.,所以二次函数与一元二次方程关系密切,例如
4、，已知二次函数y = x24x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程x24x=3（即x24x+3=0）,反过来，解方程x24x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x24x+3 的值为0，求自变量x的值,思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.,观察图象，完成下表：,0个,1个,2个,x2-x+1=0无解,0,x2-6x+9=0，x1=x2=3,-2, 1,x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
5、,知识要点,有两个交点,有两个不相等的实数根,b2-4ac 0,有两个重合的交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系,例1：已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0)(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值,(1)证明：m0，(m2)24m2m24m48m(m2)2.(m2)20，0，此抛物线与x轴总有两个交点；,(2)解：令y0，则(x1)(mx2)0，所以 x10或mx20
6、，解得 x11，x2 .当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数所以正整数m的值为1或2.,例1：已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0)(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值,变式：已知：抛物线yx2axa2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线yx2axa2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值,(1)证明：a24(a2)(a2)240，不论a取何值时，抛物线yx2axa2与
7、x轴都有两个不同的交点；(2)解：x1x2a，x1x2a2，x1(2)x2(2)(x1x2)22x1x2a22a43，a1.,例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？,解 （1）由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.,（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？,（2）
8、铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？,（2）由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位 置的水平距离是3m.,（3）由抛物线的表达式得 即 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到3m.,（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？,一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.,例3：求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）.,分析：一元二次方程 x-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
9、,解：画出函数 y=x-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.,先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：,观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1-0.4.同理可得另一近似值为x22.4.,一元二次方程的图象解法,利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似
10、根.,(1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；,(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；,由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);,(3)确定方程2x2+x-15=0的解;,由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1-3,x22.5.,例4:已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则一元二次方程ax2bxc0的近似根为()Ax12.1，x20.1 Bx12.5，x20.5Cx12.9，x20.9 Dx13，x21,解析：由图象可得二次函数
11、yax2bxc图象的对称轴为x1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，x20.5；又对称轴为x1，则 1，x12(1)0.52.5.故x12.5，x20.5.故选B.,B,解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确,问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=0的根是 _ _;不等式ax2+bx+c0的解集 是_;不等式ax2+bx+c0的解集 是_.,y,x1=-1， x2=3,x3,-1x3,合作探究,拓广探索：,函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx
12、+c=2的根是 _;不等式ax2+bx+c2的解集是_;不等式ax2+bx+c2的解集是_.,3,-1,O,x,2,(4,2),(-2,2),x1=-2， x2=4,x4,-2x4,y,问题2：如果不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有_ 个交点，坐标是_.方程ax2+bx+c=0的根是_.,1,(2,0),x=2,2,O,x,问题3：如果方程ax2+bx+c=0 （a0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有_个交点；不等式ax2+bx+c0的解集是多少？,0,解：（1）当a0时, ax2+bx+c0无解；,（
13、2）当a0时, ax2+bx+c0的解集是一切实数.,3,-1,O,x,试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:(1) -x2+x+2=0; -x2+x+20; -x2+x+20; x2-4x+40; -x2+x-20.,x1=-1 , x2=2,1 x2,x1-1 , x22,x2-4x+4=0,x=2,x2的一切实数,x无解,-x2+x-2=0,x无解,x无解,x为全体实数,知识要点,有两个交点x1,x2 （x1x2）,有一个交点x0,没有交点,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系,y0，x1xx2.y0，x2x或xx2 .,y0，x1xx2.y0，x2
14、x或xx2.,y0.x0之外的所有实数；y0，无解,y0.x0之外的所有实数；y0，无解.,y0，所有实数；y0，无解,y0，所有实数；y0，无解,判断方程 ax2+bx+c =0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3 x 3.23 B. 3.23 x 3.24 C. 3.24 x 3.25 D. 3.25 x 3.26,C,1.根据下列表格的对应值:,当堂练习,2若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；,-1,3.一元二次方程 3x2+x10=0的两个根是x1=2 ，x2= ，那么
15、二次函数 y= 3x2+x10与x轴的交点坐标是 .,(-2，0) ( ，0),4.若一元二次方程 无实根，则抛物线 图象位于（ ）A.x轴上方 B.第一、二、三象限C.x轴下方 D.第二、三、四象限,A,5.二次函数ykx26x3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()Ak3 Bk3且k0Ck3 Dk3且k0,D,6.已知函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，求k的取值范围,解：当k3时，函数y2x1是一次函数一次函数y2x1与x轴有一个交点，k3；当k3时，y(k3)x22x1是二次函数二次函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，b24ac0.b24ac224(k3)4k16，4
16、k160.k4且k3.综上所述，k的取值范围是k4.,7.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米 (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？,解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0， )，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点设二次函数关系式为ya(xh)2k，将点A、B的坐标代入，可得y (x4)24.将点C的坐标代入上式，得左边3，右边 (74)243，左边右边，即点C在抛物线上所以此球一定能投中；,(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？,(2)将x1代入函数关系式，得y3.因为3.13，所以盖帽能获得成功,8.已知二次函数 的图象，利用图象回答问题： （1）方程 的解是什么？ （2）x取什么值时，y0 ？ （3）x取什么值时，y0 ？,解：（1）x1=2,x2=4;,（2）x4;,（3）2x4.,x2,x1,x,y,O,O,0,0,0,x1 ; x2,x1 =x2b/2a,没有实数根,xx2,x x1的一切实数,所有实数,x1xx2,无解,无解,课堂小结,
