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1、题 目 生产计划安排 摘 要本文就企业机械设备优化配置和生产安排的问题，综合考虑利润最大化及实际约束条件等因素，在合理假设的基础上，提供了以利润最大化为目标的企业生产方案的模型。通过对模型的求解，得到最优的生产方案，从而有效地指导企业进行生产，以实现最大的收益。 在问题一中，我们根据“利润=售价产品销售数量生产成本库存费用”和“生产成本=原料成本+用电成本”为原理建立目标函数，并考虑到不同时段的生产成本、生产设备、产品的最大需求量以及供电功率等方面的限制，以此为依据限定约束条件，以此建立线性规划模型。并用LINGO软件，得到最优的的生产安排计划，以实现利润的最大化，得到最大利润为1457557
2、元。当原材料价格上涨10时，模型同样适用，将模型中的以代替，根据模型计算可得到此时的最大利润为1422862元,发现生产计划不用改变。对原料价格进行灵敏度分析后发现，当原料价格上涨或下降在12.43%以内时，生产计划不用改变。问题二是在维修计划未限制的情况下，要求合理安排生产及维修计划，实现利润的最大化。其中，我们发现六个月中每种设备可用的总台数不变。为此，我们在模型的基础上，目标函数不变，改变关于每种设配可用台数的约束条件，建立新的线性规划模型，即模型，求解出合理的维修和生产计划，得到此时的最大利润为1640789元。进行灵敏度分析后发现，当原料价格上涨或下降在7.6%以内时，生产计划不用改
3、变。问题三中由于供电紧张，5-6月仅供应50Kw的电力，所以需要对生产计划做出调整。为此，我们在模型的基础上，目标函数不变，在约束条件中，对5、6月份的用电功率限制做出修改，从而建立线性规划模型，以制定出新的生产计划，得到此时的最大利润为1456992元。关键词：整数线性规划 LINGO 最优解 生产方案 灵敏度分析一问题的重述已知某工厂要生产7种产品，以、来表示，但每种产品的单件利润随市场信息有明显波动，现只能给出大约利润如下:表1：产品IIIIIIIVVVIVII售价/元20016080801209060标准差/元504010152082原料成本/元40301210201514该厂有4台磨
4、床、2台立钻、3台水平钻、1台镗床和1台刨床可以用来生产上述产品。已知生产单位各种产品所需的有关设备台时如下表。表2：产品单位所需台时设备IIIIIIIVVVIVII磨床0.50.70.30.20.5立钻0.10.20.30.6水平钻0.20.80.6镗床0.050.030.070.10.08刨床0.010.050.05从1月到6月，维修计划如下：1月1台磨床，2月2台水平钻，3月1台镗床，4月1台立钻，5月1台磨床和1台立钻，6月1台刨床和1台水平钻，被维修的设备当月不能安排生产。若每台设备的功率如下：磨床，5 kw；立钻8kw；水平钻6Kw；镗床8kw；刨床12kw供电功率为70Kw； 电
5、价：0-8时0.8元/kwh；8-24时1.2元/kwh。又知从16月市场对上述7中产品最大需求量如下表所示：表3：IIIIIIIVVVIVII1月100015003003008002001002月80060020004003001503月400600005004001004月40050040050020001005月100200500100100030006月800400300300150050080每种产品当月销售不了的每件每月存储费为5元，但规定任何时候每种产品的存储量均不能超过100件。1月初无库存，要求6月末各种产品各储存50件。若该工厂每月工作30天，每天三班（0-8时；8-16时
6、；16-24时），每班8小时，要求：（1）该厂如何安排生产，使企业利润最大；若原材料价格上涨10%，如何安排生产。（2）若对设备维修只规定每台设备在16月份内均需安排1个月用于维修（其中4台磨床只需安排2台在上半年维修），时间可灵活安排。重新为该厂确定一个最优的设备维修计划。（3）由于供电紧张；5-6月仅供应50Kw的电力，如何调整计划。二问题的分析2.1问题一的分析问题一要求合理安排生产实现利润的最大化。问题中提供了生产设备方面的限制及产品的最大需求量，要求安排各月的生产计划，因此可以根据“利润=售价产品销售数量生产成本库存费用”和“生产成本=原料成本+用电成本”为原理建立目标函数，其中，“
7、原料成本=单件原料成本产品生产量”，而用电成本可分为0-8时的用电成本和8-24时的用电成本，即“用电成本=（0-8时的电价0-8时的生产量+8-24时的电价8-24时的生产量）单件产品的用电量”，而单件产品的用电量可以由题中的设备功率与生产单位各种产品所需的有关设备台时的乘积和得到，“库存费用=单件产品每月的储存费存储量”。考虑到问题中所要求的各种条件， 可建立一系列的约束条件，如销售量最大需求量，存储量100，本月存储量=上月存储量+本月生产量-本月销售量等。因此，以上述关系和约束可以建立整数线性规划模型。并用LINGO软件实现对目标函数和约束条件的编程和计算，便可以得到合理的生产安排计划
8、，以实现利润的最大化。对于原料价格上涨10%，将原料价格先进行预处理，即乘以1.1，则同样可以利用模型进行求解。最后，进行灵敏度分析，得到在生产方案不用改变的前提下原料价格可以上下浮动的范围。2.2问题二的分析问题二是在维修计划未限制的情况下，要求合理安排生产及维修计划，实现利润的最大化。可以发现，无论设备在哪个月或哪几个月维修，六个月中每种设备可用的总台数不变，即磨床、立钻、水平钻、镗床、刨床六个月的可用总台数分别为22台、10台、15台、5台、5台。因此，可以在模型的基础上，目标函数不变，只改变关于每种设配可用台数的约束条件，便可以建立新的线性规划模型，即模型，同样利用Lingo软件进行求
9、解，便可求解出最优的维修和生产计划。最后，也进行灵敏度分析，得到在生产方案不用改变的前提下原料价格可以上下浮动的范围。2.3问题三的分析问题三中由于供电紧张，5-6月仅供应50Kw的电力，生产计划有可能会受到影响，因此需要对生产计划做出调整需要分别对问题一和问题二进行重新求解。对问题一和问题二进行重新求解，只需要在求解时将每月的供电功率进行改变。因此，可以利用以上建立的模型和模型进行求解，便可得到供电紧张时的最大利润和最优的维修和生产计划。三模型的假设1.考虑生产成本时，只考虑电费和原料成本，不考虑其他的费用；2.假设生产过程中，除维修设备外，其余设备生产过程中不出现故障；3.忽略售价波动对生
10、产利润的影响；4.不考虑产品的生产流程，即只考虑产品对设备的使用时间而忽略使用步骤； 5.忽略设备维修成本所造成的损失；6.假设生产过程中未出现同一件产品跨班生产的现象；7.不考虑生产过程中的用工开支。四符号的说明-月份（=1.6）-产品种类（=1.7）-设备种类（=1.5）-第类产品的售价-第类产品的原料成本-第类产品第月每天0-8时的生产数量和-第类产品第月每天8-24时的生产数量和-第类产品第月月末的库存量-第类产品第月的市场最大需求量-第类产品第月的销售数量-第类产品使用第种设备生产所用台时-第种设备第月可用的数量-第种设备第月使用的数量-第种设备的功率-第种产品生产的单位用电量-该厂
11、拥有第种设备的数量-第月的供电功率-表示0-8时的电价-表示8-24时的电价-表示库存产品每件每月存储费注：如果表中没有的符号在文中会对应的注释五模型建立与求解5.1问题一的求解5.1.1 模型的建立问题一要求合理安排生产实现利润的最大化。问题中提供了生产设备方面的限制及产品的最大需求量，要求安排各月的生产计划，因此可以根据“利润=售价产品销售数量生产成本库存费用”和“生产成本=原料成本+用电成本”为原理建立目标函数。考虑到问题中所要求的各种条件， 便可建立一系列的约束条件。因此便可以建立线性规划模型。并用LINGO软件实现对目标函数和约束条件的编程和计算，得到合理的生产安排计划，以实现利润的
12、最大化。（1）确立目标函数：根据关系式：以及可建立目标函数：其中，表示0-8时的电价，表示8-24时的电价，表示库存产品每件每月存储费，表示第类产品的售价，表示第类产品的原料成本，表示第类产品第月的销售数量，表示第类产品第月每天0-8时的生产数量，表示第类产品第月每天8-24时的生产数量，表示第类产品第月月末的库存量。（2）确立约束条件：已知设备设备总数、设备维修计划、市场最大需求量、及生产单位各种产品所需的有关设备台时，且规定任何时候每种产品的存储量均不能超过100件。1月初无库存，要求6月末各种产品各储存50件。以上条件为依据，分别建立约束条件：（a）已知该工厂生产的各种产品的最大需求量，
13、因此，各产品的销售量需不超过各产品的最大需求量：(1)（b）由于题中规定，任何时候每种产品的存储量均不能超过100件,不妨以表示，1月无库存，6月末各种产品各存储50件，不妨以表示，所得公式如下： (2)(3)（c）由于该工厂每月工作30天，不妨以表示，每天三班，每班8小时。同时，由于各时段电费不同，不妨记0-8时的时间为，记8-24时的时间为，即，则生产的台时约束如下： 0-8时：(4)8-24时：(5)其中，表示生产第类产品使用第种设备所用台时，表示第种设备第月使用的数量。（d）根据关系式：，可得数学表达式如下：当时：(6)当时：(7)（e）由于每月的供电功率都为70KW，不妨用表示，记，
14、生产过程中设备用电不能超过负荷，所以：(8)（f）所得计划中，设备使用台数要小于等于设备可用数： (9)综上所述，建立如下模型：模型：目标函数：约束条件：5.1.2 模型的求解对已经建立好的线性规划模型，只要将相应的数据代入，就可以用数学软件Lingo编写语句进行求解。由表1可得到：由表2可得到：由表3可得到：由1月到6月的维修计划可知各月（行）各设备（列）可以用于生产的台数:由题中信息还可得到：编写Lingo语句进行模型的求解，Lingo语句见附录1，求得最大利润为1457557元，生产计划表、库存量表、销售量表以及设备使用情况如下各表：表1-1：各产品每月0-8时的生产数量产品月份1999
15、030030043520010025207001700500300030000040004400500400333200010051002006009911002671006850450034803340表1-2：各产品每月8-24时的生产数量产品月份 1115000036500 2380030000250 30000000 4000167000 500010330 6000202160表1-3：各产品每月的总生产数量产品品月份 110001500300300800200100 29007002000500300250 3000004000 44005004005002000100 51002
16、006001001100300100 6850450035005500表1-4：各产品每个月的销售量产品月份11000150030030080020010028006002000400300150310010000100400100440050040050020001005100200500100100030006800400503005050050表1-5：各产品每个月的库存量产品月份100000002100100001000100300000004000000050010001000100650505050505050表1-6：各设备每月使用台数设备月份磨床立钻水平钻 镗床刨床132311
17、2421113423014413115313116422105.1.3原材料价格上涨问题对于原材料价格上涨后怎样安排生产的求解，以上建立的模型同样适用。目标函数和约束条件同上，只需对原材料成本处理进行处理。在用Lingo软件求解时，在语句的计算段（calcendcalc段）中对进行了数据处理。若设表示上涨幅度，则。当原材料价格上涨10之后，根据模型计算可得到此时的最大利润为1422862元，并且发现生产计划没有发生改变，此处不再列出。5.1.4灵敏度分析 为了进行灵敏度分析，可以利用模型求解时的Lingo程序，在此基础上进行简单修改，修改后的Lingo程序见附录2。运行修改后的Lingo程序，
18、得到的结果见附录3（只列出了关于原料价格分析的那部分）。对运行结果进行以下处理：对于每个月的每种产品，即Z(1,1)Z(6,7),利用Excel先分别求出42组数据允许增大值（或减小值）对于原原料价格的增长率（减少率）。先对同一产品不同月份的增长率（减少率）找出最小值，再比较不同产品增长率（减少率），找出最小值。其中，增长率和减少率两值都为12.43%，这样便可得到生产计划不用作出调整时原料价格的变化范围，即-12.43%,12.43%。5.2问题二的求解5.2.1 模型的建立问题二是在维修计划改变的情况下，要求合理安排生产及维修计划，实现利润的最大化。其中，我们发现每种设备六个月中可用的台数
19、总和不变，例如，对于4台磨床，在6个月的使用中，无论其中的两台分别在哪个月用于维修，可用台数的6个月总和一定为。同理，可得到其它设备的可用台数总和，不妨记为。为此，我们在模型的基础上，目标函数不变，改变关于每种设配可用台数的约束条件，建立新的线性规划模型，即模型，求解出合理的维修和生产计划。模型：（1）确立目标函数（与模型的目标函数相同）（2）确立约束条件由于问题二中设备维修计划不确定，即每个月的可用设备数不确定，所以要重新考虑问题一约束条件中的的条件。我们发现虽然维修计划不确定，但是在六个月中每种设备需要维修的数量是一定的。在假设在设备不用维修的基础上，减去六个月内各设备要维修的数量，即可得
20、到对设备台数的约束条件：另外，对于每个月每种设备的使用量肯定不大于拥有的设备数量，即：其中，表示该厂拥有第k种设备的数量。综上所述，建立如下模型：模型：目标函数：约束条件：5.2.2 模型的求解由以上分析知：其它数据同模型求解时所用数据。编写Lingo语句进行模型的求解，Lingo语句见附录4，求得最大利润为1640789元，生产计划表、库存量表、销售量表、设备使用情况以及设备维修计划如下各表：表2-1：各产品每月0-8时的生产数量产品月份110002423002998003100280043620003993001503400600005004001004499472500600300010
21、05000003000665403393501549516130表2-2：各产品每月8-24时的生产数量产品月份 1012580101970 2016400100 30000000 4112800000 50000000 61964501101340表2-3：各产品每月的总生产数量产品品月份 110001500300300800200100 28006002000400300150 340060000500400100 45006005006003000100 5000003000 68504503503501550550130表2-4：各产品每个月的销售量产品月份11000150030030
22、08002001002800600200040030015034006000050040010044005004005002000100510010010010010030006800400300300150050080表2-5：各产品每个月的库存量产品月份10000000200000003000000041001001001001000050000000650505050505050表2-6：各设备每月使用台数设备月份磨床立钻水平钻 镗床刨床141311242211342211432311531300642211表2-7：各设备维修计划设备月份磨床立钻水平钻 镗床刨床101000200100
23、3001004100005110116001005.2.3灵敏度分析 同5.1.4中的方法，为了进行灵敏度分析，利用模型求解时的Lingo程序，在此基础上进行简单修改，修改后的Lingo程序见附录5。对运行结果进行以下处理：对于每个月的每种产品，即Z(1,1)Z(6,7),利用Excel先分别求出42组允许增大值比上当前系数（即原材料价格）和42组允许减小值比上当前系数，再对两个42组数据分别求出最小值，求得两值都为0.076，这样便可得到生产计划不用作出调整时原料价格的变化范围，即-7.6%,7.6%。5.3问题三的求解问题三中由于供电紧张，5-6月仅供应50Kw的电力，生产计划有可能会受到
24、影响，因此需要分别对问题一和问题二进行重新求解。对问题一和问题二进行重新求解，只需要在求解时将每月的供电功率进行改变。因此，可以利用以上建立的模型和模型进行求解，便可得到供电紧张时的最大利润和最优的维修和生产计划。5.3.1 对问题一的重新求解与问题一比较，问题三中只是将5、6月份的电力供应变为50kw，因此在利用模型进行问题一的重新求解时，只需在求解时将每月的供电功率改为，利用Lingo软件求解，求得最大利润为1456992元，生产计划、库存量、销售量、设备使用情况如下各表：表3-1：各产品每月0-8时的生产数量产品月份199903003004352001002520700170050030
25、0030000040004400500400333200010050129600100109930006850450035003330表3-2：各产品每月8-24时的生产数量产品月份 1115000036500 2380030000250 30000000 4000167000 5100710010100 6000002170表3-3：各产品每月的总生产数量产品品月份 110001500300300800200100 29007002000500300250 3000004000 44005004005002000100 51002006001001100300100 685045003500
26、5500表3-4：各产品每个月的销售量产品月份11000150030030080020010028006002000400300150310010000100400100440050040050020001005100200500100100030006800400503005050050表3-5：各产品每个月的库存量产品月份100000002100100001000100300000004000000050010001000100650505050505050表3-6：各设备每月使用台数设备月份磨床立钻水平钻 镗床刨床1323112421113423014413115212116421105
27、.3.2 对问题二的重新求解与问题二比较，问题三中只是将5、6月份的电力供应变为50kw，因此在利用模型进行问题二的重新求解时，只需在求解时将每月的供电功率改为，利用Lingo软件求解，求得最大利润为1639273元，生产计划、库存量、销售量、设备使用情况如下各表：表3-7：各产品每月0-8时的生产数量产品月份190025730030080020010028004362000399300150340060000500400100450060040060030001005000003000631011253501549173130表3-8：各产品每月8-24时的生产数量产品月份 11001243
28、00000 2016400100 30000000 4001000000 50000000 6540449225013770表3-9：各产品每月的总生产数量产品品月份 110001500300300800200100 28006002000400300150 340060000500400100 45006005006003000100 5000003000 68504504503501550500130表3-10：各产品每个月的销售量产品月份1100015003003008002001002800600200040030015034006000050040010044005004005002
29、000100510010010010010030006800400300300150050080表3-11：各产品每个月的库存量产品月份1000100050020001000500300010005004000100050050001000500600000500表3-12：各设备每月使用台数设备月份磨床立钻水平钻 镗床刨床142211242211342111442211511300631111六模型的评价6.1 模型的评价本文中，我们利用线性规划模型，建立了关于企业生产安排的数学模型。模型中，考虑到了，并在此基础上根据模型制定出科学合理的生产安排计划。以上得到的结果对该机械公司的机械资源安排
30、以及成本上涨条件下如何作出相应的调动有一定的指导作用。优点：1.模型的建立考虑到了企业实际生产中设备、销售、生产成本等方面的限制，对企业实际生产过程中的计划安排具有一定的实际指导作用；2.模型中的目标函数是根据企业利润的一般产生原理建立的，在不同的条件下具有一定的通用性；3.问题一中通过改变值，可以求出任何上涨幅度时的最优生产方案和最大利润；4.两个模型都可以通过改变、，进而可以求出任意电价和任意存储费用时的最优生产方案和最大利润；5.本文进行了灵敏度分析，得到生产方案不用改变情况下的原料价格的可浮动范围，这对企业的实际生产有重要指导意义。缺点：1.模型的求解，不一定可以得到最优解或者所有的最
31、优解；2.模型的建立过程中，没有考虑产品单件利润随市场信息波动对企业利润的影响； 3.进行灵敏度分析时要求为非整数线性规划模型，因此在分析时将生产量等变量为整数的约束条件去掉了，这样得到的灵敏度分析存在误差。3.由于假设同一产品的生产不存在跨班的现象，可能会对最大利润的计算造成影响。七参考文献1邬学军、周凯、宋军全，数学建模竞赛辅导教程，杭州：浙江大学出版社2009.82韩中庚，数学建模方法及其应用-2版，北京：高等教育出版社，2009.63张金旺，最优化方法在一类出版社资源优化配置中的应用，北京：2007.54欧立雄，企业多项目资源优化配置方法研究，西安：西安工业大学，2007.35孙卫佳，
32、加工制造业生产线资源优化配置研究，吉林：吉林大学，2004.11八附录附录1-模型的LINGO程序model:sets:month/1.6/:aa,power;product/1.7/:p,q,a;facility/1.5/:c;mode1(month,product):x,y,s,r,h;mode2(facility,product):b;mode3(month,facility):d,d1;endsetsdata:u=0.8;v=1.2;t=5;store_top=100;store_final=50;hour1=8;hour2=16;day=30;!以下两行语句必须有且只有一句有效;ri
33、se=0;!若有效则对应原料价格上涨10%前的情况,即问题一的第1小问;!rise=0.1;!若有效则对应原料价格上涨10%后的情况,即问题一的第2小问;!以下两行语句必须有且只有一句有效;power=70 70 70 70 70 70;!若有效则对应第一问(模型I)的求解;!power=70 70 70 70 50 50;!若有效则对应第三问中对问题一的重新求解;b=0.5 0.7000.30.20.5 0.1 0.200.300.60 0.2 00.80000.6 0.05 0.0300.070.100.08 0 00.0100.0500.05 ;d1=3 2 3 1 1 4 2 1 1
34、1 4 2 3 0 1 4 1 3 1 1 3 1 3 1 1 4 2 2 1 0;c=5 8 6 8 12;p=20016080801209060;q=40301210201514;h=1000 1500300300800200100 800 6002000400300150 400 600 00500400100 400 5004005002000100 100 20050010010003000 800 400300300150050080;enddatacalc:for(product(j):q=(1+rise)*q);endcalcmax=sum(mode1:p*s)-sum(mode1:q*(x+y)-u*sum(mode1:a*x)-v*sum(mode1:a*y)-t*sum(mode1:r);for(product(j):a(j)=sum(facility(k):b(k,j)*c(k);for(month(i):for(facility(k):d(i,k)=d1(i,k);for(month(i):aa(i)=sum(facility(k):d(i,k)*c(k);for(month(i):aa(i)=power(i);for(product(j):r(1,j)=x(1,j)+y(1,j)-s(
