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1、1.1相关分析的基本思想及其初步应用(2),1：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。,复习回顾,3：最小二乘法,样本点的中心:,回归方程:,4：思考产生随机误差项e的原因,随机误差e的来源(可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响体重y 的因素不只是身高 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、是否喜欢运动、生长环境、度量误差等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高 x 的观测误差。,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变
2、量x只能解释部分y的变化。,在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量。,1.用相关系数 r 来衡量,2.公式：,求出线性相关方程后， 说明身高x每增加一个单位,体重y就增加0.849个单位,这表明体重与身高具有正的线性相关关系.如何描述它们之间线性相关关系的强弱呢?,、当 时，x与y为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系。、当 时，表示x与y存在着一定的线性相关，r的绝对值越大，越接近于1，表示x与y直线相关程度越高，反之越低。,3.性质：,相关系数,相关系数的性质: (1)|r|1 (2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0， 相关程度越弱,如何描述两个变
3、量之间线性相关关系的强弱？,问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？,显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。,在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率。,R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）。,如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。,总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。,表1-3,从表3-1中可以看出，解释变量对总效应约贡献了64
4、%，即R20.64，可以叙述为“身高解析了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。,为了回归的准确和计算的方便我们引入残差平方和(residual sum of squares)它代表随机误差的效应,求出了随机误差的效应后，我们就比较容易得到解释变量的效应了。同学们知道怎样求吗？,解释变量的效应总体偏差平方和残差平方和,回归平方和(regression sun of squares),我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。,表1-4列出了女大学生身
5、高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,使用公式 计算残差,残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。,身高与体重残差图,几点说明： 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,一般地，建立回归模型
6、的基本步骤为：,（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量。,（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。,（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.,（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。,（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。,基本步骤,抽取样本,采集数据,作出散点图,确定类型,求回归方程,残差分析,相关指数,判定拟合程度,某大学中随机选取8名女大学生，
7、其身高和体重数据如下表所示.,求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.并求相关指数的值？,案例1：女大学生的身高与体重,样本点呈条状分布，身高和体重有较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来近似的刻画它们之间的关系.,解：选取身高为自变量x，体重为因变量y， 作散点图：,由,得：,故所求线性回归方程为：,因此，对于身高172cm的女大学生，由线性回归方程可以预报其体重为：,是斜率的估计值，说明身高x每增加1个单位时，体重y就增加0.849个单位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系.,一般方法：,1.利用散点图观察两个变量是否线性相关,2.利用残
8、差来判断模型拟合的效果(残差分析),利用残差图来分析数据，对可疑数据(残差较大的数据)进行重新调查，有错误就更正，然后重新利用回归模型拟合，如果没有错误，则需要找其他原因。,非线性回归,红铃虫喜高温高湿,适宜各虫态发育的温度为 25 一32 ,相对湿度为80一100,低于 20 和高于35 卵不能孵化,相对湿度60 以下成虫不产卵。冬季月平均气温低于一48 时,红铃虫就不能越冬而被冻死。,1953年，18省发生红铃虫大灾害，受灾面积300万公顷，损失皮棉约二十万吨。,例2一只红蛉虫的产卵数y与温度x有关，现收集了7组数据，请建立y与x建德回归方程,解,1.制作散点图,2.观察模拟,样本点不能直
9、接利用线性回归,根据我们的函数知识,它应该是一个指数模型:y=c1ec2x其中c1c2为参数或二次函数模型,根据对数回归知识我们知道:令z=lny将其变换到样本点的分布直线z=a+bx,z=0272x-3.843,会求着条直线吗?,则:y=e0.272x-3.843,2.我们认为样本点集中在某二次函数y=c3x2+c4附近，c3c4为参数，则，令tx2则：y=c5t+c6其中c5c6为参数,y=0.367t-202.54,不适合利用线性回归,为什么这样说？,4.残差分析：,由图的对比可以看出，指数模拟优于线性模拟,小结,回归分析基本思想及其初步应用,基本思想,实际应用,回归分析,相关性方法分析,回归优劣分析,总偏差平方和,残差平方和,回归平方和,
