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1、2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,1/120,第四章 信道编码与调制技术,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,2/120,数字电视广播的目的是要将图像、声音和数据等信息快速、实时、高质、可靠地传输至接收端，供用户满意地收看、收听。其系统组成框图如图所示。,信源,信源编码,信道编码,调制,解调,信源解码,信宿,信道解码,传输通道,噪声干扰、多径衰落,信道编码与调制技术,2022/1
2、2/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,3/120,1. 随机性差错：差错是随机的且相互之间是独立出现。通常由高斯白噪声引起；12位错误。2. 突发性差错：由脉冲性干扰引起,在短暂的时间内出现连续的差错，而这些短暂时间之后却又存在较长的无误码区间。,一、差错类型,4.2 差错控制原理及信道编码的分类,3. 混合性差错：既存在随机差错又有突发性差错。,以上两种错误性质不同，可采取不同措施处理 ！,2022/12/28,College of Telecommunications & Information
3、EngineeringNJUPT,4/120,二、差错控制方式,比较：译码复杂性、实时性和占用传输链路(单向还是双向),发送端发送有纠错能力的码（纠错码），接收端收到这些纠错码后，译码器自动地纠正传输中的错误。,上述两种方式的结合。发端发送的码既能检错、又有一定的纠错能力。收端译码时若发现错误个数在码的纠错能力以内，则自动进行纠错；若错误个数超过了码的纠错能力，但能检测出来，则通过反馈信道告知发方重发。,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,5/120,三、差错控制的基本原理,在信息码元之
4、后附加一些监督码元。信息码元：又称信息序列或信息位，是发送端由信源编码给出的信息数据比特。监督码元：监督码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联，接收端按照既定的规则检验出关联关系，如这种规则受到破坏，将会发现错误，乃至纠正错误。,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,6/120,检错与纠错原理,0:晴,1:雨若10,01。收端无法发现错误,00晴,10,01,11,00,11雨,禁用码组,插入1位监督码后具有检出1位错码的能力,但不能予以纠正。,许用码组,许用码组,2022/12/28
5、,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,7/120,检错与纠错原理,000晴,010,001,111,000,111雨,晴,在只有1位错码的情况下,可以判决哪位是错码并予以纠正,可以检出2位或2位以下的错码。,100,011,101,110,雨,许用码组,许用码组,禁用码组,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,8/120,检错与纠错原理,最大似然译码：将接收到的码字译码为与它差别最小的许用码字,并且认为这
6、个许用码字就是它所对应的发送码字,从而在码字的纠错能力内实现自动纠错。纠错编码之所以具有检错、纠错能力,是因为在信息码元之外加入了监督码元。监督码元不载信息，只是用来监督信息码在传输中有无差错。纠错编码所提高的可靠性,是以牺牲信道利用率为代价换取的。监督码元引入越多，检错、纠错能力越强，但信道的传输效率下降也越多。,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,9/120,结论：最小码距决定检错和纠错能力,2022/12/28,College of Telecommunications & Inf
7、ormation EngineeringNJUPT,10/120,五、差错控制编码的效用,假设在随机信道中发“0”和发“1”的概率相同，在码长为n的码组中恰好发生 r 个错误的概率为：( p为误码率 ),结论：采用差错控制编码，即使仅能纠正（或检测）12个错误，就能使误码率下降几个数量级。,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,11/120,五、纠错码的分类,2022/12/28,College of Telecommunications & Information Engineering
8、NJUPT,12/120,五、纠错码的分类,1. 分组码与卷积码：分组码：将信息码元分组，为每组信息码元后面附加若干位监督码元，且监督码元仅监督本码组中的信息码元。,卷积码：卷积码也是先将信息序列分组，后面附加监督位，但是监督位不但与本码组的信息位有关，还与前面码组的信息位有关，或者说监督位不仅监督本码组的信息位还监督其它码组的信息位。,k,010 101 010 001 110,010 xxxx 101xxxx 010 xxxx,r,n,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,13/120
9、,六、纠错码的分类,2.系统码与非系统码,系统码: 就是信息位在前，监督位在后的码字。非系统码: 信息位与监督位之间无特定的位置关系。,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,14/120,1.奇偶校验码,9.低密度校验码(LDPC),8.Turbo码,7.分组交织和卷积交织,2.线性分组码,3.循环码,4.BCH码,5.RS码,6.卷积码和维特比(Viterbi)译码,4.3信道编码技术,2022/12/28,College of Telecommunications & Informat
10、ion EngineeringNJUPT,15/120,4.3.1 奇偶校验码,设信息位每组长度为n-1位，增加一位监督位，n位编码构成以下约束关系,接收端计算校正子,奇偶校验可以用来检测单个或奇数个错误,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,16/120,纵向奇偶校验（LRC）用于检测突发错误,11100111 11011101 00111001 10101001,11100111110111010011100110101001,纵向排列,原始数据,11100111 11011101 0
11、0111001 10101001 10101010,接收方检验是否满足LRC,交织编码： 针对突发性错误,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,17/120,信 息 码 元 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 监督码元 0 0 1 1 1 0 0 0
12、 0 1 0,监督码元 1 0 0 1 0 1 1,水平垂直奇偶校验,它能发现某一行或某一列上所有奇数个错误以及长度不大于行数（或列数）的突发错误,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,18/120,4.3.2 线性分组码,定义：信息位和监督位之间的关系是由线性方程组约束的编码称作线性分组码，即监督码元是由信息码元的线性组合而产生。,奇偶校验码就是一种效率很高的线性分组码。,这里S称为校正子，若S0，表示无错，S1表示有错误，由于只用了一位监督位a 0 ，因此只能表示有错与无错。 若监督位
13、增加到2位，就可增加一个监督方程式，接收时就可计算2个校正子S1和 S2 ，共有四种可能，除了00表示无错以外，其余3种就可以表示一位错码的的具体位置了。,对于二进制编码，知道了错误的位置，就可以实现纠错了,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,19/120,设分组码中（n，k）中k4，为了纠正一位错误，则 ，取r3，则n7，用 表示，用 表示由3个监督方程式计算得到的校正子，并假设这3个校正子与误码对应的关系如下表所示：,对于纠正t 个错误,一、线性分组码的构成：,纠正1个错误,2022
14、/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,20/120,因此接收端计算下面3个校验关系，可确定误码的位置,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,21/120,发送端构成偶校验关系,由此监督位可以由信息位的线性组合得到：,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,22/120,二、线性分组码的生成和
15、监督矩阵,1. 监督矩阵,即,其中：,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,23/120,2. 生成矩阵,对于所有的编码与信息位的关系：,P为 阶矩阵， 为 阶单位阵，具有 形式称为典型形式的监督矩阵；,线性代数理论告诉我们，典型形式的监督矩阵各行一定是线性无关的，非典型形式的监督矩阵可以通过矩阵的初等变换化为典型形式。,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,24/120,其中,202
16、2/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,25/120,则,全部码字由信息位与生成矩阵G相乘得到,Q为K r 阶矩阵。I k为k 阶单位阵,具有典型化形式 的生成矩阵称为典型生成矩阵,它与典型化形式 的关系为：,结论： 1). 由典型化的生成矩阵产生的是系统码组；,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,26/120,例：若线性分组码的生成矩阵为：,典型阵为：,监督矩阵,三、线性分组码的特性：,1
17、) 任意两个许用码组之和仍为许用码组封闭性2) 码的最小距离等于非零码的最小重量。,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,27/120,四、线性分组码的伴随式译码,设发送的码组为A，接收的码组为R，,设E为传输错误图样，,则：RAE,计算校正子,或者,对于前面（7，4）码的例子，一位错误图样为： (1000000) , (0100000)， (0010000)，(0001000)， (0000100)，(0000001), (0000001),2022/12/28,College of T
18、elecommunications & Information EngineeringNJUPT,28/120,.,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,29/120,例：若接收的码组为1001101,计算伴随式 ：,最后一位有错，译码得：1001100,校正子S只与E有关，若接收码字R中第I 位有错，那么导出的伴随式 恰好是矩阵H的第i 列相同的位置。利用伴随式不仅可以判决接收码字中是否有错，而且可以指出差错的位置。,2022/12/28,College of Telecommunica
19、tions & Information EngineeringNJUPT,30/120,4.3.3 循环码,一、特点：循环码是一种具有循环移位特性的线性分组码，这类码除了具有线性分组码的一般性质外，还具有循环性质带来的其它性能和特征，并可以用不太长的码长来实现，循环码本身的特性使编译设备比较容易实现。,1. 码多项式：,若 是一个码字,则C的每次循环移位都是一个码字,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,31/120,序号 信息码 (7.3)循环码 移位次数 码多项式,0 000 0000
20、000 001 0011101 0 011 0111010 13 111 1110100 2 110 1101001 3 101 1010011 4 010 0100111 57 100 1001110 6,例 ：(7，3)循环码,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,32/120,按模运算规则：模n运算下，一整数m等于其被n除得到的余数,模运算中，,一般的讲，若一整数m可表示为：,则： （模n）,对于多项式:,2. 按模运算,2022/12/28,College of Telecommu
21、nications & Information EngineeringNJUPT,33/120,结论：可以证明在循环码中, 若 是一个码长为n的许用码组多项式，则 在模 运算下亦是许用码组，即若有：,则 也是一个许用码组。,前面的（7，3）1110100码多项式为,左移一位的多项式,1110100左移一位的码组1101001对应的多项式,显然,多项式除法：,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,34/120,二、循环码的生成多项式 对于线性分组码来说只要找到它的生成矩阵就可确定所有的编码码
22、字，而它的生成矩阵的每一行都是一个许用码组，循环码的某一个码字循环移位可得到它的码字。只要找到这个码字就可以得到生成矩阵。这个码字称为生成多项式（码字）。,生成矩阵可写为：,对于线性分组码，其生成矩阵由K 行线性无关的码字组成,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,35/120,2. (n，k)循环码的生成多项式g (x)是 的因式；,定理：1. 在一个(n，k)循环码中，存在一个唯一的最低次码多项式， 其次数为 r = n - k，且常数项必须为，即生成多项式：,3. 若是一个(nk)次
23、多项式，且是 的因式，则 一定能生成一个(n，k)循环码。,4. 所有码多项式必定能被整除，即,就是说阶数小于(n-1)能被 整除的每个多项式都是循环码的许用码组，或必是的倍式,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,36/120,结论：(1) 一个(n，k)循环码的每一个码多项式也必然是按模 运算后某个余式，即一个(n，k)循环码的所有码字都可以通过k 个许用码多项式循环移位得到。,(2) 循环码完全由其码组长度n及生成多项式 g (x)决定.,2022/12/28,College of
24、Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,37/120,例：一个(7，4) 循环码，则由生成多项式,构成的生成矩阵为：,典型阵为：,监督矩阵,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,38/120,三、循环码的系统码的编码实现,系统码组中的最左边的k位是信息码元，随后是nk位的监督码元，即码多项式为：,因此：,有：,2022/12/28,College of Telecommunications & Information Engine
25、eringNJUPT,39/120,系统循环码的编码步骤：,1.将信息元多项式m(x)乘以xn-k成为xn-km(x)；,2.将xn-km(x)除以生成多项式g(x)得到余式r(x)，该余式就是校验元多项式，从而得到码字多项式 c(x)xn-km(x)r(x),2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,40/120,例：已知 (7，4) 循环码的生成多项式为若信息码为1001 ，求编码码字,因此：,解：,即编码码组为： 1001011,2022/12/28,College of Telecom
26、munications & Information EngineeringNJUPT,41/120,反馈 e=S21+m0,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,42/120,输出,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,43/120,接收端接收到码组R(x)时，要达到解码和检错纠错的目的。由于任一码组的码元多项式T(x)都应被码元多项式g(x)整除，因此接收端可将接收码组R(x)用原始
27、生成多项式g(x)相除。如果传输中未发生误码，接收码组与发送码组相同，即R(x)T(x)，则R(x)必能被g(x)整除，无余项；如果发生误码，R(x)T(x)，则R(x)被g(x)相除时会有余项出现，即,四、循环码的译码,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,44/120,监督矩阵,对于最高位错误，校正子为:,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,45/120,节拍 输入 a b c
28、与门 缓存 译码 1 0 0 0 0 输出 输出 输出 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 1 1 0 0 5 0 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 0 1 1 8 0 0 0 0 1 0 1,节拍 输入 a b c 与门 缓存 译码 1 1 1 0 0 输出 输出 输出 2 1 1 1 0 3 0 0 1 1 4 1 0 0 0 5 0 0 0 0 6 1 1 0 0 7 1 1 1 0 8 0 0 1 1 0 1 1 9 0 0 0 0 1 1 0,2022/12/28,College of Telecommunications & Information Engineeri
29、ngNJUPT,46/120,用以上除法电路作为校正子计算电路时，用了一个重要的性质：某码组循环移位 i 次的校正子等于原码组校正子在除法电路中循环移位 i 次所得的结果。即：,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,47/120,(7.4)循环码完整译码器,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,48/120,1.引言2.有限域3. BCH码简述4. BCH码的编码5. BCH码的译码,
30、4.3.4 BCH码,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,49/120,1. 引言,BCH码是一类最重要的循环码，能纠正多个随机错误，它是1959年由Bose、Chaudhuri及Hocquenghem各自独立发现的二元线性循环码，人们用他们的名字字头命名为BCH码。在前面的讨论中，我们所做的只是构造一个码，然后计算它的最小距离，从而估计出它的纠错能力，而在BCH码中，我们将采用另外一种方法：先说明我们希望它能纠错的个数，然后构造这种码。,2022/12/28,College of Te
31、lecommunications & Information EngineeringNJUPT,50/120,2. 有限域,运算自封：一个集合中的元素经过某种运算（例如加减乘除）后仍为集合中的元素时，称为运算自封。域：运算自封元素的集合叫做域F（Field）。有限域：当域中元素为有限数p时，称为有限域或p元域。有限域理论是由数学家伽罗华（Galois）所创立的，因此又称为伽罗华域，并记为GF(p)。普通代数中全体有理数的集合叫有理域，全体实数的集合叫实数域。全体复数的集合叫复数域。它们都是无限域。,2022/12/28,College of Telecommunications & Infor
32、mation EngineeringNJUPT,51/120,有限域中运算满足交换律:a+b=b+a, ab=b a结合律:(a+b)+c=a+(b+c), a(bc)=(ab) c分配律:a (b+c)=a b+a c经常用到的有限域是二元域GF(2)，它有两个元素“0”和“1”，其加法和乘法分别为：,加法乘法0+000*000+110*101+011*001+101*11,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,52/120,系数在GF(2)中的多项式叫做二元域上的多项式。二元域上多项式
33、的加减乘除等运算在原理上和普通代数多项式的运算相同。例如：对码字多项式C(x)=cn-1xn-1+ cn-2xn-2+ c1x+ c0有xi+ xi0, ci+ ci0, ci2=ci . cici并且减法就是加法。加法符号为“”或简记为“+”。既约多项式 又称不可约多项式，它不能分解为次数更低的多项式的乘积。例如，x2 +x + 1和x4 +x +1为不可约多项式；而x2+1不是既约多项式，因为(x+1)2= x2 +x+x + 1= x2 +1,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,5
34、3/120,和普通代数一样，对于多项式f(x),如果f(a)=0,则称a为多项式的根，例如(x+1)2的根为1。显然，既约多项式的根不能在二元域内，但是可以像实数根扩展到复数根那样，将既约多项式的根在二元域的扩展域中表示出来。以二次既约多项式1+x+x2为例，可以把二元域中的元“0”和“1”扩充一位，表示成0(00)，1=(01)。如果a是1+x+x2的根，则可令a=(10)。再由1+a+a20，可得a21+a=(01)+(10)=11，这样就得到一个具有两位数字的扩展域GF(4)，它包含0、1、a、 a2四个元。,2022/12/28,College of Telecommunication
35、s & Information EngineeringNJUPT,54/120,可以将GF(p)延伸为一个含有pm个元素的域，称为GF(p)的扩展域，表示为GF(pm)，m是一个非零正整数。注意：GF(p)是GF(pm)的子集。二元域GF(2)是扩展域GF(2m)的一个子域，类似于实数域是复数域的一个子域一样。除了数字0和1之外，在扩展域中还有特殊的元素，用一个新的符号a表示。GF(2m)中任何非0元素都可由a的幂次表示。,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,55/120,有限元素的集合
36、GF(2m)，只能含有2m个元素，并且对乘法封闭，其约束条件为：根据这个多项式限制条件，任何幂次等于或超过2m-1的域元素都可降阶为下述幂次小于2m-1的元素：这样，GF(2m)的元素可表示为：,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,56/120,扩展域GF(2m)中的加法,在GF(2m)中，将每个非0元素用多项式ai(x)表示，其系数至少有一个不为0。对于i=0,1, 2,2m-2，有： ai = ai(x) = ai,0+ai,1x+ai,2x2+ai,m-1xm-1考虑m=3,有限域
37、表示为GF(23),下表为上式描述的基本元素x0,x1,x2映射为7个元素ai和一个0元素。表中的各行是二进制数字序列，代表上式中的系数ai,0、ai,1、ai,2的取值。,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,57/120,多项式为f(x)=1+x+x3的GF(8)的元素与基本元素之间的映射,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,58/120,有限域中两个元素的加法定义为两个多项式中
38、同幂次项系数进行模2加，即 ai+aj=(ai,0+aj,0)+ (ai,1+aj,1)x+ +(ai,m-1+aj,m-1)xm-1有限域的本原多项式：因为这些函数用来定义有限域GF(2m)。 一个多项式是本原多项式的充要条件：一个m阶的不可约多项式f(x)，如果f(x)整除xn+1的最小正整数n满足n=2m-1，则该多项式是本原的。,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,59/120,例：本原多项式的辨别 (1) p1(x)=1+x+x4 (2) p2(x)=1+x+x2+x3+x4
39、分析: (1)通过验证这个幂次为m=4的多项式是否能够整除 ,但不能整除1n15范围内的xn+1，就可以确定它是否为本原多项式。经反复计算，p1(x)是本原多项式，p2(x)不是，因为它能整除x5+1。,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,60/120,部分本原多项式,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,61/120,考虑一个本原多项式定义的有限域的例子,选择p(x)=1+x+x3
40、，多项式的幂次为m=3,所以由p(x)所定义的域中包含了2m=23=8个元素。求解p(x)的根就是指找到x使p(x)=0。我们所熟悉的二进制数0和1不能满足，因为p(1)=1,p(0)=1 (运用模2运算)。由基本代数学理论知道，对于幂次为m的多项式必然有m个根。对于这个例子，p(x)=0有3个根，由于这3个根不可能位于与p(x)系数相同的有限域中，而是位于扩展域GF(23)中。用扩展域的元素a来定义多项式p(x)的根，可写成如下形式：p(a)=0。,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,
41、62/120,即 1+a+a3=0 a3=1+a 这意味着a3可以表示为更低阶a项的加权和。类似地有：a4=a*a3=a*(1+a)=a+a2a5=a*a4=a*(a+a2)=a2+a3=1+a+a2a6=a*a5=a*(1+a+a2)=a+a2+a3=1+a2a7=a*a6=a*(1+a2)=a+a3=1=a0所以，有限域GF(23)的8个元素为0,a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,63/120,这8个元素中哪些是p(x)=0的3个根呢？我们
42、可通过枚举找到！p(a0)=1, a0不是p(a1)=1+a+a3=0, a1是 p(a2)=1+a2+a6=1+a0=0, a2是p(a3)=1+a3+a9=1+a3+a2=1+a5=a4, a3不是p(a4)=1+a4+a12=1+a4+a5=1+a0=0, a4是 同理可计算p(a5)、p(a6)都不等于0，所以 p(x)=1+x+x3的3个根是a, a2, a4,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,64/120,(x)=1+x+x3, GF(8)加法运算表,2022/12/28,
43、College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,65/120,(x)=1+x+x3, GF(8)乘法运算表,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,66/120,如果GF(p)上的所有元素(除0外)都可表示为某元素a的幂，则a称为GF(p)上的本原元。例：考虑GF(5)，因为p=5是个素数，模算数可以进行。考虑该域上的元素2， 20=1(mod 5)=1, 21=2(mod 5)=2 22=4(mod 5)=4, 23
44、=8(mod 5)=3 因此，所有GF(5)上的非零元素，即1,2,3,4都可以表示成2的幂，故2是GF(5)上的本原元；大家可以验证，3也是GF(5)上的本原元。,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,67/120,GF(pm)中，在模p(x)运算下的扩域上，x所表示的元素是本原元。例如: 用本原多项式p(x)=1+x+x3 来构造GF(8)，设GF(8)上的本原元为a, 通过将a的幂模p(a)得到GF(8)上的所有元素。,2022/12/28,College of Telecommun
45、ications & Information EngineeringNJUPT,68/120,定理:设b1,b2,bp-1为GF(p)上的非零域元素，则xp-1+1=(x+b1)(x+b2)(x+bp-1)从循环码知识知道，为了找到分组长度为n的循环码的生成多项式，首先分解xn+1,因此xn+1可以表示为多个因子的乘积，即 xn+1=f1(x)f2(x)fw(x)在扩展域GF(pm)中，n=pm-1,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,69/120,例：考虑GF(2)和它的扩展域GF(8
46、)。这里p=2,m=3,对x7+1进行分解x7+1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) 同时我们知道，GF(8)中的非零元素为1, a , a+1, a2, a2+1, a2+a, a2+a+1,因此我们可以写为x7+1=(x+1)(x+a)(x+a+1)(x+a2) (x+a2+1)(x+a2+a)(x+a2+a+1) =(x+1)(x+a)(x+a2)(x+a2+a) (x+a+1)(x+a2+1)(x+a2+a+1)而在GF(8)上，有x3+x+1= (x+a)(x+a2)(x+a2+a)x3+x2+1=(x+a+1)(x+a2+1)(x+a2+a+1),2022/12/28,
47、College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,70/120,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,71/120,3. BCH码简述,若循环码的生成多项式具有如下形式： g(x)=LCMm1(x),m3(x),m2t-1(x) 其中LCM表示最小公倍式，t为纠错个数，mi(x)为素多项式，则由此生成的循环码称为BCH码，其最小码距 (d0称为设计码距)，它能纠正t个随机独立差错。BCH码的码长n=2m-1或是n=2m
48、-1的因子,本原BCH码,非本原BCH码,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,72/120,4. BCH码的编码,对一个分组长度n=pm-1、确定可纠t个错误的BCH码的生成多项式的步骤：（1）选取一个次数为m的素多项式并构造GF(pm)（2）求ai,i=0,1,2,n-2的极小多项式fi(x)（3）可纠t个错误的码的生成多项式为 g(x)=LCMf1(x),f2(x),f2t(x) 用这种方法设计的码至少能纠t个错误，在很多情况下，这些码能纠多于t个错误！因此d=2t+1称为码的设计距
49、离，其最小距离d* 2t+1。 注意：一旦确定了n和t，我们便可以确定BCH码的生成多项式。,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,73/120,2022/12/28,73,例：考虑GF(2)上的本原多项式p(a)=a4+a+1，我们将以此来构造GF(16),设a为本原元。GF(16)上以a的幂表示形式的元素及它们对应的极小多项式为：,2022/12/28,College of Telecommunications & Information EngineeringNJUPT,74/120
50、,我们希望确定纠单个错的BCH码的生成多项式，即t=1且n=15。一个BCH码的生成多项式由LCMf1(x),f2(x),f2t(x)给出，利用前面的表我们可获得极小多项式f1(x)和f2(x)，于是有： g(x)=LCMf1(x),f2(x) =LCM(x4+x+1), (x4+x+1) =x4+x+1 因为deg g(x)=n-k，可得n-k=4，所以k=11,于是得到纠单个错误的BCH(15,11)码的生成多项式。该码的设计距离为d=2t+1=3，可以计算该码的实际最小距离d*也是3。,2022/12/28,College of Telecommunications & Informat
