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1、微分计算及练习题,二、可微与可导的关系,一、概念,三、微分近似计算,四、微分运算法则,五、复合函数的微分,六、理解举例,一、概念,1、引入实例 正方形边长改变时面积的改变量,2、微分,1. 定理 : 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,二、可微与可导的关系,定理 : 函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,2.微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的
2、微分,记作,记,三、 微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,例1,解：,例2,解：,的近似值 .,解: 设,取,则,例3. 求,的近似值 .,解:,例4. 计算,例5. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,( g ),用铜多少克 .,估计一下, 每只球需,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,四、微分运算法则,依微分与导数的关系及求导法则，我们有,五、复合函数的微分,1、法则,注： 上述结论中的等式,称为一阶微分的形式不变性，即对于一阶微分来说，不管是对于自变量，还是中间变量，微分的形式是一样的，都有,六、理解举例,例7 （参数方程函数求导法则） 设参数方程,解：,例8,解：,解：,解：,解：,微分计算练习题,1. 已知,求,解：因为,所以,方程两边求微分, 得,已知,求,解：,2.,3. 设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,4.,解,5.,解,复合函数的微分,6. 求椭圆 在点 处的切线方程。,解 将方程两边同时微分，得,可得,所以切线斜率为,所以，所求切线方程为,即,利用微分的形式不变性求隐函数的导数更为方便。,
