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1、高一数学 必修2 第四章 圆与方程,4.4.1 轨迹问题,【答】线段AB的垂直平分线。,复习引入,【思考1】平面内到一定点A的距离等于定长的点M的轨迹是什么？,【思考2】平面内与两定点A、 B距离相等的点M的轨迹是什么？,r,M,|MA|=r,|MA|= |MB|,【答】以定点A为圆心，定长r为半径的圆。,【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,y,x,o,A,B,M,典型例题,【分析】设M(x,y),因为M是AB的中点，,(4,3),(x,y),(x0,y0),所以,解得,又因为点A在圆(x+1)2+y2=4上，
2、,所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,A(x0,y0),相关点法,【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,y,x,o,A,B,M,【小结】这种求轨迹方程的方法叫相关点法。,【分析】设M(x,y),因为M是AB的中点, B(4,3) ，,(4,3),(x,y),所以点A的坐标为,又因为点A在圆(x+1)2+y2=4上，,所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,(2x-4, 2y-3),(2x-4, 2y-3),也叫动点转移法，或叫代入法。,注意：求轨迹方程，第一步往往设所求动点坐标为(x,y).,【练习】
3、已知线段AB的端点B的坐标是(4,0),端点A在圆x2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,y,x,o,A,B,M,典型例题,(x-2)2+y2=1,(x,y),(2x-4, 2y),【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,y,x,o,A,B,M,C,典型例题,D,M的轨迹是以D为圆心，1为半径的圆,【分析2】,【反思】定义法，相当漂亮！,【变式】过点P (4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同两点A、B ，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状。,y,x,o,A,B,M,典型例题,P,P,
4、y,x,o,A,B,M,典型例题,【变式】过点P (4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同两点A、B ，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状。,P,y,x,o,A,B,M,典型例题,【变式】过点P (4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同两点A、B ，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状。,(x-2)2+y2=4,(0 x 1),P,y,x,o,A,B,M,典型例题,【变式】过点P (4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同两点A、B ，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状。,(x-2)2+y2=4,(0 x 1),轨迹是圆(x-2)2+y2=4夹在圆x
5、2+y2=4内的圆弧。,C,【反思】与垂直有关的问题，可考虑勾股定理或斜率关系，或利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”这个性质（注意讨论特殊情形）。,典型例题,【例2】已知动点M与两定点P (8,0)、 Q(2,0)距 离之比为2，求点M的轨迹方程。,【分析】设M(x,y),由|MP|=2|MQ|得,化简得,直译法,【变式】已知两定点A,B间距离为6，动点M与A,B距离之比为2，求点M的轨迹方程。,典型例题,注意：建系不同，答案不同，因此建系要恰当，考虑对称、尽量多落在标轴上.,【拓展】已知两定点A,B间距离为6，动点M与A,B距离之比为2，则MAB面积的最大值为？,典型例题,反思：坐标
6、法思想，秒！,12,小结：,1.求轨迹方程时，一般应数形结合，即充分运用几何图形的性质将形的直观与数的严谨有机结合起来。,2.求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等。,3.求轨迹方程的步骤：建系设点（x,y）; 列式代入； 化简检验.,(P124,B1)等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.,解:设另一端点C的坐标为(x,y),依题意,得:|AC|=|AB|,由两点间距离公式得,平方整理得,(x-4)2+(y-2)2=10.这是以点A(4,2)为圆心,以 为半径的圆,但ABC
7、为三角形的顶点,ABC三点不共线.当B与C重合时,C(3,5),当BC为直径时,C(5,-1),端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10( ).故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心, 为半径的圆,但要除去(3,5)和(5,-1)两点.如下图所示.,规律技巧:在求轨迹方程时,必须考虑C点是三角形的一个顶点,故ABC不能共线,这一点容易造成失误,应引起高度重视.,解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合,由两点间的距离公式，得,化简得x2+y2+2x30这就是所求的曲线方程把方程的左边配方，得(x+1)2+y24所以方程的曲线是以C(1，0)为圆心，2
8、为半径的圆.,x,y,M,A,O,直译法,(P124,B3) 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线.,B,A,M,2.定义法;,轨迹的常用求法:,1.直译法;,【课堂练习】,1.已知RtABC中，A(-1,0),B(3,0),(1)求直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程。,x2+y2-2x-3=0(y0),(x-2)2+y2=1(y0),知识探究二：圆的直径方程,思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如何求以线段AB为直径的圆方程？,思考2:一般地，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆方程如何？,例5.已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1) 、B(x2，y2). 证明：圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,C, P,解法一：,求圆心、求半径,解法二：,相关点法,P点满足PAPB,即,举例,1、（作书上） P123练习：1，2，3.2、（作业本） P124习题4.1 A组：4. B组：2，3.,【作业】,
