LBM相变传热与流体流动数值分析ppt课件.ppt

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1、相变传热与流体流动数值分析(第11-14讲),格子Boltzmann方法Lattice Boltzmann Method,主要内容,13.1 LBGK模型 13.2 MRT模型 13.3 多相和多组分模型 13.4 LBM热模型概述,本章重点；LBM基本模型,连续Boltzmann方程,LBGK方程,BGK近似泰勒级数展开,Chapman-Enskog回归,上章回忆；理论推导,单相模型(D2Q9模型),多相和多组分模型（SC模型）,根据不同的划分规则，LBM 的模型包括：,格子 Boltzmann-BGK（LBGK）模型的演化方程：,13.1 LBGK模型,代表性的模型： Qian 等人199

2、2年提出的 DnQb 模型和 Guo 等人2006年提出的 DnGb 模型。 （n为空间维数，b是离散速度数）,Unfold,13.1 LBGK模型,DnQb模型,13.1 LBGK模型,碰撞过程：,迁移过程：,DnQb模型,平衡态分布函数:,这两个参数是决定 LBGK 模型的关键参数，其取值依赖于选用的格子类型。,DnQb模型,13.1 LBGK模型,D1Q3:,D1Q5:,DnQb模型,13.1 LBGK模型,格子速度,D2Q7:,D2Q9:,DnQb模型,13.1 LBGK模型,D3Q15:,DnQb模型,13.1 LBGK模型,D3Q19:,DnQb模型,13.1 LBGK模型,D3Q

3、19:,D2Q9:,DnQb模型,13.1 LBGK模型,通过和 Chapman-Enskog 展开方法类似的多尺度分析方法，对演化方程进行处理，可以得到 LBGK 模型对应的宏观方程,如果流体的密度变化不大，即r r0，上式就是标准的不可压N-S方程。,Note：,在推导过程中，假设 Mach 数充分小，因次 LBGK 模型的上述结果仅限于低 Mach 数流动（Ma0.3）。,DnQb模型,13.1 LBGK模型,对于宏观物理量，可由以下方程得到,实际上, LBGK 方法势求解不可压 N-S 方程的一种人工压缩方法。,DnQb模型,13.1 LBGK模型,压力入口 压力出口,D2Q9模型-P

4、oiseuille flow,13.1 LBGK模型,多松弛模型和单松弛模型的主要区别在于它的碰撞过程包含多个松弛时间（Multiple-Relaxation-Time）。,MRT 模型含有更多的可调参数，剪切黏性和体黏性都是可调的； MRT 可以克服普通 LBGK 模型的明显不足，如不受因单松弛参数影响 而保证Prandtl数固定不变的限制； MRT模型有更好的稳定性，并且在粘性较高时可减小人工压缩性的影响。,优点：,缺点：,公式复杂，计算量较大。,碰撞矩阵,13.2 MRT模型,（13.2.1）,13.2 MRT模型,关键问题：确定碰撞矩阵,13.2 MRT模型,13.2 MRT模型,13

5、.2 MRT模型,Multi- Component Multiphase,Miscible Fluids/Diffusion (No Interaction),Immiscible Fluids,Single Component Multiphase,Single Phase(No Interaction),Number of Components,Interaction Strength,Nature of Interaction,Attractive,Repulsive,13.3 多相和多组分模型,颜色模型（Chromodynamics model）,自由能模型（Free energy m

6、odel）,伪势模型（SC model，pseudo-potential model),基于动理学理论的 LBM 模型,13.3 多相和多组分模型,Gunstensen 等人于1991年提出的第一个多组分多相模型。基于 Rothman 和 keller 提出的 LGA 两相流模型。Grunau 等又将此模型推广到密度和粘性变化的两相流系统中。,用不同颜色区分不同相态的流体；不同流体之间的相互作用通过引入颜色梯度来实现，并根据它来调整流体粒子的运动趋势，实现流体的分离或混和。,特点：,13.3.1 颜色模型,以两相流为例：引入两个分布函数 ，分别表示红色相和蓝色相流体。混和流体的分布函数 的演化

7、方程为,其中， 表示由流体粒子之间碰撞引起变化，可以用BGK模拟，而 表示界面张力引起的扰动。,每相和混和流体的宏观流动变量为,13.3.1 颜色模型,13.3.1 颜色模型,确定了 后，混和分布函数在每一个时间步内根据方程（13.3.1）进行演化，红蓝两相的分布函数则通过重新标色（Recoloring）过程来获得。这一过程是求解下面的极大化问题,13.3.1 颜色模型,综上，Gunstensen等人的颜色模型可分为三步进行演化：1. 单相碰撞：a) 计算混和分布函数 ； b) 计算 和平衡态分布函数 ； c) 按照单相碰撞规则计算碰撞后分布函数 。2. 两相碰撞： a) 将表面张力扰动加入碰

8、撞后分布函， ； b) 对 重新标色，得到 。3. 迁移：,NOTE,上述模型演化过程中的碰撞对象是混和分布函数！,13.3.1 颜色模型,其中 分别为每一相的碰撞算子，采用 BGK 模型,颜色模型的改进： Grunau 等提出了改进的颜色模型，允许不同颜色的分布函数参与碰撞过程，其演化方程为：,其中平衡态分布依赖每相的密度 。,13.3.1 颜色模型,仍然是表面张力引起的扰动，形式为,其中 是与表面张力相关的参数， 是与模型相关的常数。,重新标色过程如下： 首先通过极大化 ，使红色流体的动量 与颜色梯度方向尽可能一致；之后，令蓝色流体的分布函数为 , 其中 是重新标色前的混和分布函数。,13

9、.3.1 颜色模型,局限性：,表面张力与界面走向相关（各向异性）；在相界面处附近会产生非物理现象；“颜色能量”的极小化过程的计算量较大；不容易考虑热动力学影响；,13.3.1 颜色模型,1993年和1994年，Shan 和 Chen 提出了一种能直接地刻画粒子之间相互作用的LBE模型。,13.3.2 伪势模型,单组分多相模型(SCMP)(e.g. H2O, liquid and vapor),多相多组分模型(MCMP)(e.g. H2O and oil),SCMP模型,13.3.2 伪势模型,The principal distinguishing characteristic of sing

10、le component multiphase LBMs is the incorporation of an attractive force between fluid particles.,理想气体状态方程：,P is pressure (ATM)V is volume (L)n is number of molsR is gas constant (0.0821 L atm mol-1 K-1)T is temperature (K),if 1/Vm (mol L-1) is density, cs2 = RT,a term due to attractive forces betwe

11、en molecules atm L2 mol-2b term due to finite volume of molecules L mol-1,van der Waals EOS:,13.3.2 伪势模型,van der Waals gas law (EOS):,Vm is the volume occupied by one mole of substance.,SCMP模型,CO2: P-V Space,13.3.2 伪势模型,SCMP模型,Liquid-Vapor Coexistence:CO2, P-V Space,13.3.2 伪势模型,SCMP模型,Including Dire

12、ctional H-Bonds:Water, 298K: P- r Space,SCMP模型,13.3.2 伪势模型,An attractive force F between nearest neighbor fluid particles is induced as follows:,13.3.2 伪势模型,SCMP模型-D2Q9 Fluid-Fluid Interaction,假设流体粒子之间存在非局部的相互作用，相应的势函数为：,根据相互作用势的定义，可以得到两相间的作用力为,G is the interaction strengthY is the interaction poten

13、tial: Y0 and r0 are arbitrary constantsG 0 for attraction between particles.Force is stronger when the density is higher,wi is 1/9 for i = 1, 2, 3, 4 and is 1/36 for i = 5, 6, 7, 8,若只考虑相邻节点间的作用力,13.3.2 伪势模型,SCMP模型-D2Q9 Fluid-Fluid Interaction,13.3.2 伪势模型,SCMP模型-D2Q9 Force implementation,Non-ideal Co

14、mponent,13.3.2 伪势模型,SCMP模型-D2Q9 Pressure expression,Realistic EOS for water: Follows ideal gas law at low densitycompressibility of water at high density,No repulsive potential in LB model,13.3.2 伪势模型,SCMP模型-D2Q9 Pressure expression,13.3.2 伪势模型,SCMP模型-D2Q9 Surface adhesion (adsorption),http:/www.hdm

15、-stuttgart.de/projekte/printing-inks/b_sel42.jpg,http:/psii.kist.re.kr/Teams/psii/research/Con_4.jpg,润湿性,Martys等提出,Gw is the interaction strength. “” or “”s is a switch that takes on value 1 if the site at x + eiDt is a solid and is 0 otherwiseWe seem to have flexibility in the choice of the pre-sum

16、 factor; the papers cited use r or Y,13.3.2 伪势模型,SCMP模型-D2Q9 Surface adhesion (adsorption),13.3.2 伪势模型,SCMP模型-D2Q9 Surface adhesion (adsorption),如果有外力作用，如重力等,13.3.2 伪势模型,SCMP模型-D2Q9 Phase separation,13.3.2 伪势模型,SCMP模型-D2Q9 Young-Laplace equation(1805),SCMP模型-D2Q9 Surface Tension measurement),13.3.2

17、伪势模型,其中，k 表示不同的组分。,伪势模型中假设流体粒子之间存在非局部的相互作用，相应的势函数为,其中 为Green函数，决定了组分 之间相互作用的强度。,与组分的密度有关，表示组分 k 的有效密度。不同的表达方式，所得的状态方程不同。,13.3.2 伪势模型,MCMP模型,参数 的绝对值决定了组分 之间相互作用的强度，符号决定了两者之间是相互吸引还是相互排斥，即负值是吸引力而正值为排斥力。,同样地，若只考虑临近格点的影响，例如，在 D2Q9 中,根据相互作用势，可得到 k 类流体粒子受到的粒子间的作用力为,13.3.2 伪势模型,13.3.2 伪势模型,MCMP模型,同样的，通过改变平衡

18、态速度 来实现 的影响，即,混合流体的速度 混合流体的密度,随后，Shan 和 Doolen 对基本模型进行了改进，重新定义了保证没有作用力时碰撞过程动量守恒，即,13.3.2 伪势模型,13.3.2 伪势模型,MCMP模型,在Shan-Doolen模型中，混合流体的速度为,宏观流体变量，可由下面方程确定,压力,黏度,13.3.2 伪势模型,13.3.2 伪势模型,MCMP模型,参数 的绝对值决定了组分 和壁面之间相互作用的强度。符号决定了作用力是吸附还是排斥，即负值是吸引力，表明壁面对流体时润湿的，而正值为排斥力，表面壁面对流体而言是非润湿壁面。 s 为壁面指数，当格子特性为固体时，其值为1

19、，当格子特性为流体时，其值为0。,13.3.2 伪势模型,13.3.2 伪势模型,MCMP模型-壁面润湿性,同样地，在D2Q9中,壁面吸附力 的影响，也通过改变平衡态速度 来实现。当有外力作用在流体上时，eg. 重力 ，同样可以通过改变平衡态速度的方法来实现,13.3.2 伪势模型,13.3.2 伪势模型,MCMP模型-D2Q9 force implementation,不同时刻的两组分的分离过程,参数选择：,13.3.2 伪势模型,MCMP模型-D2Q9 Phase separation,13.3.2 伪势模型,MCMP模型-D2Q9 Phase separation,液滴在不同时刻的形状演

20、变,模拟条件：流体2被流体1环绕；不考虑外力；密度比和黏度比均为1；,13.3.2 伪势模型,MCMP模型-D2Q9 Young-Laplace Law,处两组分沿 x轴密度分布图,处两组分沿 x轴压力分布图,压力差与曲率的关系,界面张力与相间力参数的关系,13.3.2 伪势模型,MCMP模型-D2Q9 Young-Laplace Law,相间力参数对最大的伪速度和互溶密度的影响,时，稳态时速度分布图,相间力参数的取值实际上受两方面的约束:伪速度越小越好，互溶密度越小越好!,13.3.2 伪势模型,MCMP模型-D2Q9 Young-Laplace Law,Laplace Law,13.3.2

21、 伪势模型,MCMP模型-D2Q9 Interfacial tension (as opposed to surface tension between a liquid and its own vapor),13.3.2 伪势模型,MCMP模型-D2Q9 Poiseuille,解析解,流体2,66132个格子；半步长反弹格式、周期边界；恒定的体积力；密度均为1；运动黏度均为 0.16；,数值解与解析解的比较,13.3.2 伪势模型,MCMP模型-D2Q9 Poiseuille,优点：,自动实现相分离，界面自动生成跟踪； 直接对微观相互作用力进行描述，能够反映多相/多组分流体动力学的物理本质，

22、应用比较很广泛。,缺点：,当相互作用力中的有效密度函数取指数形式时， 该模型才与热力学相关理论一致。 无法模拟具有大密度比和大粘度比的流体系统。（有研究者 指出改变有效密度的表达方式，可以模拟密度比为1000的情 况，但 是大粘度比（M10）的流体系统仍然无法模拟）。,13.3.2 伪势模型,颜色模型和伪势模型都是基于界面现象的唯象模型，含有一些人为的假设。1995年，Swift 等人直接从多相/多组分流体的自由能理论出发，构造了与热动力学理论一致的多相和多组分流体模型。,基本思想：根据自由能函数构造 LBE 的平衡态分布函数，通过引入一个非理想流体的热力学压力张量，使得系统的总能（包括动能、

23、内能和表面能）守恒得以满足。,单组分非理想流体模型,两组分非理想流体模型,13.3.3 自由能模型,根据 van der Waals 理论，对于包含相界面的单组分非理想流体系统，当处于局部平衡时，其自由能泛函为,单组分非理想流体模型,其中， 是体相区自由能密度函数， 是与表面张力相关的由密度梯度诱导的自由能。一个常用的密度梯度自由能形式为,其中， 是与表面张力相关的一个参数。,13.3.3 自由能模型,（13.3.2）,根据自由能泛函定义一个非局部压力,单组分非理想流体模型,其中， 是状态方程， 表示变分运算。,由此可得包含界面贡献的热力学压力张量,这里的 不包含黏性应力部分 。,NOTE,1

24、3.3.3 自由能模型,（13.3.3）,13.3.3 自由能模型,根据限定条件式（3.3.5），可以确定平衡态分布函数的参数,单组分非理想流体模型,流体宏观速度为,13.3.3 自由能模型,经过 Chapmann-Enskog 分析可得式（13.3.4）对应的宏观方程为,单组分非理想流体模型,其中,动量方程右端最后一项在单相区为0，此时方程为一般的 N-S 方程。但是在相界面附近，密度梯度大，该项不能忽略。,13.3.3 自由能模型,13.3.3 自由能模型,平衡态分布函数 和 都包含流体的非均匀特性。 仍然满足约束条件（13.3.5），但此时密度 和速度 都是混合流体的密度和速度。,13.

25、3.3 自由能模型,13.3.3 自由能模型,双组分非理想流体模型,其中,根据这一自由能泛函，可得化学势差和热力学压力张力的张量表达式,13.3.3 自由能模型,13.3.3 自由能模型,13.3.3 自由能模型,基于上述平衡态分布函数，可得 FHP 模型对应的宏观方程为,双组分非理想流体模型,其中 和 由式（13.3.4）给出（ 用 演化方程中的松弛时间 代替）。方程中的输运系数是 。 是 演化方程中的松弛时间。,13.3.3 自由能模型,局限性： 当界面附近存在较大密度梯度时，不满足伽利略不变性，会 导致一些非物理现象。例如，在一个匀速运动的流场内，一个最初是圆形的液滴或气泡会随着时间的推

26、移变成椭圆形。-Swift 等人，采用两个可调参数来改变平衡态分布函数的二阶距，可以部分克服这一局限性。-Inamuro 等人基于渐进分析方法，建立了一个满足伽利略不变性的 D2Q9 自由能模型。-Kalarakis 等人在 Swift 等人提出的7速模型基础上，通过修正平衡态分布函数系数，得到满足伽利略不变性的自由能模型。,13.3.3 自由能模型,局限性： 无法模拟具有大密度比的流体系统-Inamuro 等人提出了改进的方法，可以模拟流体密度为1000的流体系统。主要思想是采用近似 C-H(Cahn-Hilliard) 方程的扩散方程来追踪相界面。-Zheng 等人基于自由能模型也提出了改

27、进方法，可以模拟大密度比的流体系统。他们采用近似的 C-H 方程去追踪和定义界面，在界面的定义上没有人工的剪切。这在物理背景比其他方法更接近朗道的平均场理论。,13.3.3 自由能模型,13.3.4 基于动力学的LBM模型,基于 Enskog 方程的 Luo 模型,简单流体的LBE模型可以从 Boltzmann 方程得到。同样，从多相或多组分流体的介观动理学出发，也可得到相应的 LBE 模型。,多组分单相流体的LBE模型,单组分多相流体的LBE模型,基于有效作用力的 He-Shan-Doolen 模型,不可压多相流体的 He-Chen-Zhang 模型,基于 Sirovich 理论的两组分 L

28、BE 模型,基于拟平衡态理论的多组分 LBE 模型,基于 Hamel 理论的两组分 LBE 模型,多组分非理想气体的LBE模型,基于Enskog理论的两组分多相LBE模型,LBM 成功的被应用到很多等温领域，但是在实际情况中，温度的变化是不能忽略的。 虽然自1993年开始，很多学者们就一直在探索能够反映热流动基本特征、算法结构简单、数值稳定性好、计算精度和效率都较高的 LBE 模型，但是到目前为止，LBM 热模型发展的尚未成熟。,13.4 LBM热模型,现存 LBM 热模型（Thermal LBM, TLBM）可以分为三类： 多速（Multi-speed, MS）模型 双分布（Double-D

29、istribution Function, DDF）模型 混合（Hybrid）模型,13.4 LBM热模型,多速（Multi-speed, MS）模型 MS 模型是等温模型的直接推广。密度、速度和温度均是由速度分布函数fi的速度矩得到的。为了得到关于温度的宏观演化方程，MS模型需要使用比等温模型更多的离散速度，存储成本和计算成本比较高； 一般来说，MS 模型的格子是复杂格子，即由某个基本格子（如正方形、正六边形、立方体）经旋转、放大、叠加而构成的。所以多速模型的额格子可以分解成若干个子格子，每个子格子的长度相同，但不同格子的连线程度是不同的；,13.4 LBM热模型,多速（Multi-spee

30、d, MS）模型同时，与等温模型相比，MS 模型的平衡态分布函数往往包含更高的速度阶； 早期的 MS 模型 Prandtl 数是不可调的，因为只求解一套演化方程，速度场和温度场共用一个松弛时间；后来，一些学者从不同的家度提出了Pr数可调的MS模型，但是能量方程中的黏性耗散项的输运系数是不正确的；此外，MS模型的另外一个不足就是数值稳定性较差，严重限制了该模型的使用。,13.4 LBM热模型,双分布（Double-Distribution Function, DDF）模型DDF 模型求解两套分布函数，分别用于速度场和温度场。Pr数可调，数值稳定性较好，有效的克服MS模型的两个限制；DDF 模拟的温度场范围比MS模型范围大，同时格子结构较MS模型简单；,13.4 LBM热模型,局限性：但是，DDF又出现了一个新的问题，即状态方程与温度场无关，因为温度无法通过压力反馈到速度场中。,混合（Hybrid）模型 Hybrid 模型与 DDF 模型类似，对能量方程也是单独处理，只不过是使用差分方法求解的。 这样的处理方法使得 Hybrid 模型具有一个优点：温度场可以是速度场耦合起来。,13.4 LBM热模型,The End,Thank you for your kind attention throughout the presentation!,