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1、第七章 最优化计算方法,一、实验目的：,第一节 线性方程组的应用,1、了解线性规划问题及可行解、最优解的概念 ；,2、掌握Matlab软件关于求解线性规划的语句和方法。,二、实验原理和方法：,在生活实践中，很多重要的实际问题都是线性的（至少能够用线性函数很好的近似表示），所以我们一般把这些问题化为线性的目标函数和约束条件进行分析，通常将目标函数和约束都是线性表达式的规划问题称为线性规划 。,它的一般形式是：,也可以用矩阵形式来表示：,线性规划的可行解是满足约束条件的解；线性规划的最优解是使目标函数达到最优的可行解。,线性规划关于解的情况可以是：,1、无可行解，即不存在满足约束条件的解；,2、有
2、唯一最优解，即在可行解中有唯一的最有解；,4、有可行解，但由于目标函数值无界而无最优解。,3、有无穷最优解，即在可行解中有无穷个解都可使目 标函数达到最优；,一般求解线性规划的常用方法是单纯形法和改进的单纯形法，这类方法的基本思路是先求得一个可行解，检验是否为最优解；若不是，可用迭代的方法找到另一个更优的可行解，经过有限次迭代后，可以找到可行解中的最优解或者判定无最优解。,三、内容与步骤：,在Matlab优化工具箱中，linprog函数是使用单纯形法求解下述线性规划问题的函数。,它的命令格式为：,其中：A为约束条件矩阵，b,c分别为目标函数的系数向量和约束条件中最右边的数值向量；也可设置解向量
3、的上界vlb和下界vub，即解向量必须满足vlb=x=vub；还可预先设置初始解向量x0。如没有不等式，而只有等式时，A= ,b= ;输出的结果：x表示最优解向量；fval表示最优值。,【例 1】,求解线性规划问题：,解：考虑到linprog函数只解决形如的线性规划。所以先要将线性规划变为如下形式：,然后建立M文件如下：,c=-3;1;1;A=1 -2 1;4 -1 -2;b=11;-3;aeq=2 0 -1;beq=-1;vlb=0;0;0;x,fval=linprog(c,A,b,aeq,beq,vlb),Matlab程序： ch701.m,以ch701作为文件名保存此M文件后，在命令窗口
4、输入ch701后即可得到结果：,x = 4.0000 1.0000 9.0000,同时返回fval=-2,对应到原来的线性规划中即知目标函数的最大值为2，此时x1=4,x2=1,x3=9。,第二节 无约束规划计算方法,一、实验目的,1、了解无约束规划问题的求解原理与方法 ；,2、会用Matlab软件求解无约束规划问题。,二、实验原理和方法,无约束规划问题的解法一般按目标函数的形式分为两大类：一类是一元函数的一维搜索法，如黄金分割法、插值法等；另一类是求解多元函数的下降迭代法。,迭代的基本思想和步骤大致可分为以下四步：,三、实验内容与步骤,在Matlab软件中，求解无约束规划的常用命令是：,x=
5、fminunc(fun,x0),其中，fun函数应预先定义到M文件中，并设置初始解向量为x0。,【例 2】,求解,取,解：首先建立函数文件fun702.m,以fun702为文件名保存此函数文件。,在命令窗口输入：,x0=-2;4;x=fminunc(fun702,x0),结果显示：,f = -1.0000,x = 1.0000 1.0000,即极小值为-1，是x1=1,x2=1时取得。,Matlab程序： ch702.m,【例 3】,解非线性方程组,解：解此非线性方程组等价于求解无约束非线性规划问题：,然后建立函数文件fun703.m,在命令窗口输入：,x0=0;0;x=fminunc(fun
6、703,x0),结果显示： f =5.2979e-011 x =1.0673 0.1392,则非线性方程组的解为x1=1.0673,x2=0.1392。,Matlab程序： ch703.m,第三节 约束非线性规划计算方法,一、实验目的,1、了解约束非线性规划问题的求解原理与方法；,2、会用Matlab软件求解约束非线性规划问题。,二、实验原理和方法,对于约束非线性规划，随着目标函数和约束条件的不同，解法也不同，一般来说，有两类方法：,（1）、将约束问题化为无约束问题的求解方法；,（2）、用线性规划来逼近非线性规划；,三、实验内容与步骤,约束非线性规划的一般形式为：,其中，f(x)为多元实值函数
7、;g(x)为向量函数,并且f(x),g(x)中至少有一个函数是非线性函数的（否则成为线性规划问题）。,x=fmincon(fun,x0,A,b)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon),在Matlab优化工具箱中，fmincon函数是用SQP算法来解决一般的约束非线性规划的函数，它的命令格式为：,【例 4】,求解约束非线性规划：,(初值为1;1),解:首先建立一个m文件fun7041.mfunction y=fun7041
8、(x)y=-exp(x(1)*x(2)2*(3-exp(x(1)-x(2)2); 存储为fun7041.m,首先将问题转化为matlab要求的格式;即求出fun,A,b,Aeq,Beq,X0,Lb,Ub,然后建立一个 m文件 fun7042.mfunction c,cep=fun7042(x)c=; % c为非线性不等式,且为c=0cep=exp(x(1)+x(2)2-3; % cep为非线性等式然后存储为fun7042.m,最后在命令窗口中输入：A=;b=;Aeq=;Beq=;Lb=;Ub=;x,f=fmincon(fun7041,1;1,fun7042)-f,因题目中有非线性约束条件，所以
9、建立非线性约束m-文件。,Matlab程序： ch704.m,结果为:,x = 0.8852 0.7592f = 6.2043e-016ans= - 6.2043e-016,最后的结果为: - 6.2043e-016,【例 5】,求解约束非线性规划：,解：首先建立一个m文件 fun705.mfunction y=fun705(x)y=(x(1)-1)2+(x(2)-2)2+(x(3)-3)2+(x(4)-4)2;存储为fun705.m文件.,x0=1;1;1;1;A=1 1 1 1;3 3 2 1;B=5;10;Aeq=;Beq=;Lb=0;0;0;0;x,g=fmincon(fun705,x0,A,B,Aeq,Beq,Lb),答案为:x = 0.0000 0.6667 1.6665 2.6668g = 6.3333,Matlab程序： ch705.m,
