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1、人教版八年级数学上册教学课件公式法,人教版八年级数学上册教学课件公式法,1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想（重点）2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解（难点）,3.理解并掌握用完全平方公式分解因式（重点）4.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算（难点）,学习目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想,情境引入,如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？,a2- b2=(a+b)(a-b),a米b米b米a米(a-b)情境引入如图，在边长为a米的正方形,想一想
2、：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？,是a,b两数的平方差的形式,两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.,平方差公式：,用平方差公式进行因式分解一想一想：多项式a2-b2有什么特点,辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？,两数是平方，减号在中央,（1）x2+y2,（2）x2-y2,（3）-x2-y2,-(x2+y2),y2-x2,（4）-x2+y2,（5）x2-25y2,(x+5y)(x-5y),（6）m2-1,(m+1)(m-1),辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么,例1 分解因式：,a,a,b,b,a2 - b2 =,解:(1
3、)原式=,2x,3,2x,2x,3,3,(2)原式,整体思想,a,b,典例精析,例1 分解因式： aabb( +)(-)a2 - b2,方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.,方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要,分解因式：(1)(ab)24a2； (2)9(mn)2(mn)2.,针对训练,(2m4n)(4m2n),解：(1)原式(ab2a)(ab2a),(ba)(3ab)；,(2)原式(3m3nmn)(3m3nmn),4(m2n)(2mn),分解因式：针对训练(2m4n)(4m2n)解
4、：(1)原,例2 分解因式：,解：(1)原式(x2)2-(y2)2,(x2+y2)(x2-y2),(x2+y2)(x+y)(x-y);,(2)原式ab(a2-1),ab(a+1)(a-1).,例2 分解因式： 解：(1)原式(x2)2-(y2)2,方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止,方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再,分解因式：(1)5m2a45m2b4； (2)a24b2a2b.,针对训练,(a2b)(a2b1).,5m2(a2b2)(ab)(ab)；,解：(1)原式5m2(a4
5、b4),5m2(a2b2)(a2b2),(2)原式(a24b2)(a2b),(a2b)(a2b)(a2b),分解因式：针对训练(a2b)(a2b1).5m2(,例3 已知x2y22，xy1，求x-y，x，y的值,xy2.,解：x2y2(xy)(xy)2，,xy1，,联立组成二元一次方程组，,解得,例3 已知x2y22，xy1，求x-y，x，y,方法总结：在与x2y2，xy有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.,方法总结：在与x2y2，xy有关的求代数式或未知数的值的,例4 计算下列各题：(1)1012992； (2)53.524-46.524.,解
6、：(1)原式(10199)(10199)400；,(2)原式4(53.5246.52),=4(53.546.5)(53.546.5),41007=2800.,方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.,例4 计算下列各题：解：(1)原式(10199)(10,例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除,即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除,证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n2=8n，,n为整数，,8n被8整除，,方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被
7、哪些数或式子整除,例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1,平方差公式分解因式,公式,a2-b2=(a+b)(a-b),步骤,一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.,平方差公式分解因式公式a2-b2=(a+b)(a-b)步骤一,你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？,同学们拼出图形为：,用完全平方公式分解因式一你能把下面4个图形拼成一个正方形并求,这个大正方形的面积可以怎么求？,（a+b）2,a2+2ab+b2,=,将上面的等式倒过来看，能得到：,这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）2,a2+2
8、ab+b2,a22ab+b2,我们把a+2ab+b和a-2ab+b这样的式子叫作完全平方式.,观察这两个式子：,（1）每个多项式有几项？,（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？,（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？,三项,这两项都是数或式的平方，并且符号相同,是第一项和第三项底数的积的2倍,a2+2ab+b2 a22ab+b2 我们把a+2,完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的2倍.,完全平方式:,完全平方式的特点：完全平方式:,简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央.,凡具备这些特点的三项式，就是完全
9、平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.,+b2,=(a b),a2,首2,+尾2,2首尾,(首尾)2,两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.,简记口诀：凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完,3.a+4ab+4b=( )+2 ( ) ( )+( )=( ),2.m-6m+9=( ) - 2 ( ) ( )+( ) =( ),1. x+4x+4= ( ) +2( )( )+( ) =( ),x,2,x + 2,a,a 2b,a + 2b,2b,对照 a2ab+b=(ab)，填空：,m,m - 3,3,x,2,m,3,3.a+4ab+
10、4b=( )+2 (,下列各式是不是完全平方式？ （1）a24a+4; （2）1+4a; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25.,是,（2）因为它只有两项；,不是,（3）4b与-1的符号不统一；,不是,分析：,不是,是,（4）因为ab不是a与b的积的2倍.,下列各式是不是完全平方式？是（2）因为它只有两项；不是（3）,例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9,B,解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x(-3),故可知N=(-3)2=9.,变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方
11、式,那么m的值为_.,解析：16=(4)2，故-m=2(4)，m=8.,8,典例精析,例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(,方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解,方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所,例2 分解因式：（1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.,分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3,24x=24x3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4
12、x)2+ 24x3 + (3)2.,+b2,a2,(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.,例2 分解因式：分析：(1)中， 16x2=(4x)2,解： (1)16x2+ 24x +9,= (4x + 3)2；,= (4x)2 + 24x3 + (3)2,(2)-x2+ 4xy-4y2,=-(x2-4xy+4y2),=-(x-2y)2.,解： (1)16x2+ 24x +9,例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.,解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =
13、3a（x+y）2；,分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；,(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.,(2)原式=(a+b)2-2(a+b) 6+62 =(a+b-6)2.,例3 把下列各式分解因式：解: (1)原式=3a（x2+2x,利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.,利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项,因式分解：(1)3a2x224a2x48a2；(2)(a24)216a2.,针对训练,(a244a)(a244a),解：(1)原式3a2(x
14、28x16),3a2(x4)2；,(2)原式(a24)2(4a)2,(a2)2(a2)2.,因式分解：针对训练(a244a)(a244a)解：,例4 把下列完全平方公式分解因式：(1)1002210099+99；(2)3423432162.,解：(1)原式=（10099),(2)原式(3416)2,=1.,2500.,例4 把下列完全平方公式分解因式： 解：(1)原式=（1,例5 已知x24xy210y290，求x2y22xy1的值,112121.,解：x24xy210y290，,(x2)2(y5)20.,(x2)20，(y5)20，,x20，y50，,x2，y5，,x2y22xy1(xy1)
15、2,例5 已知x24xy210y290，求x2y2,方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题,方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的,例6 已知a，b，c分别是ABC三边的长，且a22b2c22b(ac)0，请判断ABC的形状，并说明理由,ABC是等边三角形,解：由a22b2c22b(ac)0，得 a22abb2b22bcc20，,即(ab)2(bc)20，,ab0，bc0，abc，,例6 已知a，b，c分别是ABC三边的长，且a22b2,完全平方公式分解因式,公式,a22ab+b2=(ab)2,特点,（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.,完全平方公式分解因式公式a22ab+b2=(ab)2特点,人教版八年级数学上册教学课件公式法,感谢聆听,感谢聆听,
