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1、2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名
2、号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 12 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：成品油定价分析 摘要 石油作为关系国计民生的重要的能源，对人们的生产和生活起着至关重要的作用。但是随着国际油价的高位剧烈震荡，油价居高不下和石
3、油产量即将达到峰值的出现，后石油时代即将来临。预测未来石油的需求量显得尤为重要，同样制定合理石油定价体系更是重中之重，企业与顾客都非常关心这个问题，以下的模型中解答了以上两个问题。模型一中：利用回归分析和最小二乘法拟合的方法，并且利用残差分析剔除误差大的数据，最终得出了一次函数与二次函数的预测表达式，如下： 一次函数预测表达式： 二次函数预测表达式：通过误差精度分析，最终选择二次函数预测表达式，预测出未来6年的石油需求量分别为：63719，67148，70681，743一八，78059，81904万吨。 模型二中：利用灰色预测理论，并且求出预测精度误差，最终得出未来六年的石油需求量分别为：66
4、970.9472，7一五42.7787，76426.7104，81644.048，87217.5519，93171.536万吨。 模型三中：首先介绍了影响油价的几个重要因素，再利用层次分析法求解各个解决方法的权重，最终求解出结果，统计结果在表4-14中，方案一的权重最大，理论上应取方案一为最优解，但是实际上我们可知方案三是实际上的最优解。 关键词：石油价格 回归分析 拟合 层次分析 残差分析 一、问题重述 石油作为关系国计民生的重要的能源，对人们的生产和生活起着至关重要的作用。但是随着国际油价的高位剧烈震荡，油价居高不下和石油产量即将达到峰值的出现，后石油时代即将来临。近两年来，令人窒息的大面
5、积“油荒”还在继续，成品油价格在反复震荡中一路上行，由发改委制定的油价规则被无情的市场冲破，脆弱的产供销平衡在风雨飘摇中显得不堪一击，不能从根本上解决油价高涨带来的负面影响以及“油荒”问题。如果油价太低，石油消费会大幅增加而且石油生产行业会亏损；如果油价太高，则会影响各个行业的发展和社会经济稳定。而现行的成品油定价机制在实施中也受到了社会各方面的质疑。请自行收集数据构造成品油价格预测模型，并分析如何制订合理的成品油定价机制。 问题一：石油资源紧缺，我国的石油需求又不断地增加，根据近几年发展情况，预测未来5到10年我国石油总的需求量。问题二：如何制订合理的成品油定价机制。二、问题分析2.1 对问
6、题一的分析问题一要求预测未来5到10年中国石油需求量，现在随着数学知识的拓展，预测的方法有很多种，比如灰色系统预测、神经网络预测、时间序列预测等成熟的算法，也包括拟合与差值、线性回归等预测方式，每一种方法有自己预测的优缺点和预测精度，本问题是预测未来石油的需求量，作为这种非常重要的工业原料，其需求量也必然会随着经济不断地发展不断地增加，但同时也受到国际价格因素、政治因素、战争因素、宗教因素、关税因素的影响，这会大大增加未来石油需求量的不确定性，在模型解答时，可采用灰色预测理论，未来石油的需求量会随着经济的发展而增加，但是具体增加多少是一个未知数，因此这本是属于灰色问题，加之灰色系统理论本身的成
7、熟性，可以预测复杂因素影响的未来事物的大体走势，同时为了增加预测的精度，本文还采用拟合的方法，先做散点图，判断石油需求量的走势，判断采用的函数类型，若是需要剔除一些误差比较大的数据，可以采用残差检验的方法。2.2 对问题二的分析关于问题二，我们采取层次分析法进行研究。所谓层次分析法，其基本思路是，先分解后综合。整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和需要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将各因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相
8、对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。首先我们要建立递阶层次结构，即最高层，准则层，最底层。我们可以得到，最高层即为目标，即最合理的成品油定价机制。准则层为影响成品油价格的各个因素，我们共列举了七个主要因素，分别是：国际油价趋势，市场供求关系，居民消费水平指数，政府扶持力度，进出口关税，原油产量，燃油税。最底层则是为实现目标可供选择的各种措施、决策方案，共有五种方案。这样我们就可以根据层次分析法的步骤，得出所占权重最大的方案，即得到最优的方案。三符号说明：原数据中第年的石油需求量：原始数据列；：作一次累加后的值； ：作一次累加后的数据列；： 白化方程中两个待定参数； ：为
9、一个两列一行的矩阵； 原始数据序列实际值的平均值 残差平均值 原始数据序列方差 残差方差 原始数据序列方差和残差方差的均方差比值 小误差概率e(k) 的残差 相对误差 平均相对误差 为回归系数 为回归系数估计量为国际原油价格X2 为我国城镇居民消费指数Y 为国内成品油油价y 为拟合的国内成品油油价为随机误差项为判定系数为检验水平Q为误差平方和 四、模型求解4.1模型假设1国内进口原油占国内总原油产量的比例不变2国内开采原油的成本与进口原油油价相同3忽略国内投机行为对国内成品油油价的影响4国内工业用成品油相对稳定，对国内成品油市场影响不大5收集的数据真实有效6. 预测期间国内外环境相对稳定。4.
10、2 对问题一的求解4.2.1线性最小二乘法拟合在本模型中将会采用最小二乘法拟合函数拟合出石油需求量与年份的关系函数，然后逐年带入自变量的值，求出未来6年我国石油需求量的多少，在该模型中首先会判断拟合函数的类型，然后利用概率统计学中残差分布来剔除某些误差比较大的数据，以提高预测精度，最终求的预测函数。4.2.1.1.最小二乘法拟合函数2 已知一批离散的数据 ，互不相同，寻求一个拟合函数，使与的误差平方和在最小二乘法下最小。在最小二乘意义下确定称为最小二乘法拟合函数。第一步：先选定一组函数，mn,令 （1-1）其中为待定系数。第二步：确定的准则（最小二乘准则）：使n个点与曲线的距离的平方和最小。
11、（1-2）问题归结为，求使最小。然而对于这种复杂的问题，转化为超定方程组的解，将会十分的麻烦，为了简化计算，则直接转化为MATLAB中直接求解拟合系数的函数运算。4.2.1.2 拟合函数的选择为了提高拟合的精度，我们将会先根据散点图直观判断的形式来判断函数的类型，题目中石油需求量数据的散点图如下：图4-1 石油需求量与年份的散点图从以上散点图中可以看出，石油需求量的走势既符合一次曲线的走势，又符合增长速率慢二次平滑曲线，在未知结果的情况下，以下将会对这两种函数做出比较，选择最优的函数。4.2.1.3 数据异常点的剔除根据概率统计知识，在进行数据分析的时候，只有数据在它所求的置信区间内，说明该数
12、据是可用的，在石油需求量的数据中，经过MATLAB的数据剔除的程序，得到残差分布图，如下图：图4-2 石油需求量的残差分布图从图2中可以看出最后一个数据出现了偏差，最后一个数据要舍弃。4.2.1.4 模型求解一次函数的回归分析，假设一次方程的函数为，因此只需求出，由于数据量很大，利用MATLAB的编程来实现的求解，具体程序如下：x1=1:23;y=12971.688 12476.925 一三112.622 16384.698 17746.893 19104.75 21110.726 2一三56.238 22955.8 25280.904 27725.436 28326.272 30222.33
13、5 32307.882 32788.508 35553.1一三 38963.904 45466.128 46727.406 49924.468 52735.504 53334.984 54889.8一三;x=ones(23,1),x1;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint )求解的结果为 所以预测的函数关系为 二次函数模型求解，假设二次拟合方程的表达式为，因此只需求解，同样利用MATLAB的拟合函数可求解这三个参数的值，具体程序如下：x=1:24;y=12971.688 12476.925 一三112.622
14、16384.698 17746.893 19104.75 21110.726 2一三56.238 22955.8 25280.904 27725.436 28326.272 30222.335 32307.882 32788.508 35553.1一三 38963.904 45466.128 46727.406 49924.468 52735.504 53334.984 54889.8一三 61738.41;A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x)plot(x,y,k+,x,z,r)求解结果为 所以预测的函数关系为 4.2.1.5 预测结果统计与分析为了更直观的看出预测的结
15、果，将数据进行整理，整理的内容有两种函数的预测结果，两种预测结果的误差，以及误差率，以便选择更好的函数，该统计采用EXCEL中的统计命令，整理出一下统计表格，如下表：年份能源消费总量石油比重%石油消费量一次预测误差%二次预测误差%19785714422.712971.69867533.12358126232.6880719806027520.712476.931069914.2497一三557-8.6565819857668217.1一三112.62127222.97897714596-11.312619909870316.616384.71474610.00一三9一五7403.9347571
16、99110378317.117746.89167695.510221169894.270567199210917017.519104.75一八7931.631793一八3433.98722819931一五993一八.221110.73208161.396096198026.199342199412273717.42一三56.2422840-6.947672一三66-0.045711995一三117617.522955.824863-8.3081423034-0.340651996一三5192一八.725280.926886-6.34905248081.8705981997一三590920.42
17、7725.4428910-4.27248266873.7454271998一三6一八420.828326.2730933-9.2025128671-1.21699199914056921.530222.3432957-9.0484930759-1.77572200014553122.232307.8834980-8.2707932953-1.996782001一五040621.832788.5137004-12.856635252-7.5一三282002一五943122.335553.1139027-9.7709837655-5.911962003一八379221.238963.941051-
18、5.3564940164-3.0800220042一三45621.345466.一三430745.26一三41427775.914574200523599719.846727.41450983.487046454962.635297200625867619.349924.47474215.014511483193.2一五7942007280508一八.852735.5491446.81041512482.8206882008291448一八.353334.98511684.06296954281-1.77373200930664717.954889.81531913.09495157420-4
19、.60957201032493919.061738.41606631.74一八82表4-3 预测统计表经过计算，采用一次拟合的函数预测误差平均值为0.7%，采用二次拟合函数的误差为0.2%，所以说二次函数的拟合效果更好，将预测结果统计为下表：年份2011201220一三201420一五2016预测值637196714870681743一八7805981904表4-4 未来六年预测值经过以上的统计分析，最终预测出未来六年的中国石油的需求量。4.2.2 灰色GM(1，1)预测进入21世纪以来，国民经济取得了长足的发展。2011年国民生产总值45429.2亿元，是2001年的4.8倍。经济的发展必然
20、导致能源的大量消耗，石油作为工业的血液，必然会引起它的消耗，石油需求量受多种因素制约且处于动态变化中，运用关联分析可定量分析其系统内部各因素间的关联程度，以此确定其影响的大小程度。由于受多种不确定因素的影响，在石油需求量的预测中，一般的预测方法难以解决。灰色预测法及灰色建模是指在控制论中，人们常用颜色的深浅形容信息的明确程度，信息完全明确的系统称为白色系统；信息未知的系统称为黑色系统；部分信息明确，部分信息不明确的系统称为灰色系统。灰色系统GM(1，1模型是在信息不完全或不确知的情况下建立的，运用此方法对石油需求量进行预测，具有可行性和一定的现实意义。4.2.2.1 灰色预测模型原理灰色预测主
21、要是通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动规律 ,生成较有规律性的数据序列，然后在此基础上,建立相应的微分方程模型。这里主要采用基于累加生成的GM（1,1）模型。介绍如下：以连续若干年的某指标作为原始序列,记为() 并要求级比 （k=2,3,4.n）对序列X(0)进行一次累加则, (i=2,3,4.n) 则定义的灰导数为d(k)= =-记为： 由原始数据列表计算一次累加序列得如表3：年份1978197919801981198212971.68812476.925一三112.62216384.69817746.89312971.68825448.6一三38561.23554945.933726
22、92.826表4-5 原始数据表（注：由于数据的庞大，这里不做一一列举了。）取的加权均值，则 (k=2,3,4.n), 为确定参数，（一般取0.5）记 GM(1,1)的灰微分方程模型为d(k)+= (k=2,3.n) 即+= (k=2,3.n) 其中是发展灰度，反映了的发展趋势；为灰作用量对于GM(1,1)的灰微分方程，如果将的时刻序列k=2,3.n视为连续的变量t,则数列就可以视做时间t的函数，记为=（t）,并让灰导数对应于导数，背景值对应于（t）。于是得到GM(1,1)的灰微分方程对应的白化微分方程为： 称之为 GM(1,1)的白化型。GM(1,1)的白化型是一个真正的微分方程，如果白化型
23、模型精度高，则表明所用数列建立的模型GM(1,1)与真正的微分方程模型吻合较好，反之亦然。令,用最小二乘法估计,的值为其中 称为数据向量，B为数据矩阵。为参数向量。求微分方程，可得预测模型（事件相应序列）为：，(k=1,2，3.n) 还原为的预测值为：, (k=1,2，3.n) 通过上述过程，就可以在理论上得出预测结果，但是，如果用人工计算则使计算量尤为庞大，因此，我们采用MATLAB来进行计算机预测，得出预期结果。4.2.2.2 模型程序求解我们采用MATLAB的程序设计来完成灰色预测的计算，并且采用GM（1,1）来实现，具体程序如下：y=input(请输入数据 );n=length(y);
24、yy=ones(n,1);yy(1)=y(1);for i=2:nyy(i)=yy(i-1)+y(i);endB=ones(n-1,2);for i=1:(n-1) B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1)/2; B(i,2)=1;endBT=B;for j=1:n-1 YN(j)=y(j+1);endYN=YN;A=inv(BT*B)*BT*YN;a=A(1);u=A(2);t=u/a;t_test=input(请输入需要预测个数：);i=1:t_test+n;yys(i+1)=(y(1)-t).*exp(-a.*i)+t;yys(1)=y(1);for j=n+t_test:-1:2
25、ys(j)=yys(j)-yys(j-1);endx=1:n;xs=2:n+t_test;yn=ys(2:n+t_test);plot(x,y,r,xs,yn,*-b);det=0;for i=2:n det=det+abs(yn(i)-y(i);enddet=det/(n-1);disp(预测值为： ,num2str(ys(n+1:n+t_test);然后能将数据12971.688 12476.925 一三112.622 16384.698 17746.893 19104.75 21110.726 2一三56.238 22955.8 25280.904 27725.436 28326.272
26、 30222.335 32307.882 32788.508 35553.1一三 38963.904 45466.128 46727.406 49924.468 52735.504 53334.984 54889.8一三 61738.41输入程序，预测数目为6个，得到运行结果是：预测值为：66970.9472 7一五42.7787 76426.7104 81644.048 87217.5519 93171.536下图是是预测函数图像，如下：图4-6 灰色预测对石油需求量的预测4.2.2.3 结果分析通过上一环节的预测计算过，将预测结果统计为以下表格：年份能源消费总量石油比重%石油消费量预测值误
27、差%19785714422.712971.68819806027520.712476.92514664-17.519857668217.1一三112.622一五665-19.519909870316.616384.69816735-2.14199110378317.117746.89317877-0.73199210917017.519104.75190980.03519931一五993一八.221110.726204013.362199412273717.42一三56.23821794-2.051995一三117617.522955.823282-1.421996一三5192一八.72528
28、0.904248711.6211997一三590920.427725.436265694.1711998一三6一八420.828326.27228383-0.2199914056921.530222.33530320-0.32200014553122.232307.88232390-0.252001一五040621.832788.50834601-5.532002一五943122.335553.1一三36963-3.972003一八379221.238963.90439487-1.3420042一三45621.345466.12842一八27.223200523599719.846727.40
29、6450623.564200625867619.349924.46848一三83.5782007280508一八.852735.504514242.4872008291448一八.353334.98454935-3200930664717.954889.8一三58685-6.91201032493919.061738.4162691-1.54表4-7 预测统计表经过计算，误差平均值为-1.75%，预测精度比较高。4.3 对问题二的求解4.3.1 一些对石油价格影响的因素石油的价格受到多方面因素的影响，这其中包括战争、地理、宗教、关税等因素的影响，通过对这些因素影响的了解，可以建立中间层次，进一
30、步了解它们影响的成品油定价的权重，增加权重的可信度。4.3.1.1 石油上网供给与需求3从经济学观点来看，影响商品价格变动的主要因素之一，是该商品的供给量与需求量的对比关系，考虑货币供求状况和货币价值变动状况。商品的价值通过一定量的货币表现出来，就是商品的价格。既然商品价格是商品价值的货币表现，那么，其变化就既取决于商品价值的变动（成正比），又取决于货币价值的变动（成反比）。当流通中的货币供应量超过货币需求量而引致一般物价水平持续地较大幅度上涨和货币贬值时，商品价格必然上涨；反之，商品价格必然下跌。因此，生产经营者在制定商品价格时，还应考虑货币供求和币值变动状况。石油作为一种商品，供给与需求是
31、影响其价格变动的主要因素。石油的供求关系与石油价格波动存在一定的相关性。石油的供需出现缺口时，石油价格较高或者呈现出上涨的态势，反之，石油供过于求时，石油价格较低或者呈现下降趋势。因为可以看出，石油的供求关系与石油的价格相关性低，这主要是石油的供给和需求的短期价格弹性均较低导致的。另外国际石油市场本身就是一个不稳定的市场，受到许多非供求因素的影响，尤其是当偶然事件发生时，石油价格就会脱离供求关系的影响。4.3.1.2 国际油价趋势的影响 中国本身石油的储量不能满足本国的需求，因此需要从外国进口石油，目前中国进口石油的国家主要有安哥拉、沙特阿拉伯、伊朗、俄罗斯、阿曼、赤道几内亚、也门共和国、刚果
32、、利比亚、委内瑞拉4等国家，这些国家的经济发展水平与中国不尽相同，同时受到国际因素的影响，因此国际油价也必然会影响到中国进口的油价，进一步影响国内石油的价格。具体价格如下： 图4-8 国外油价与国内油价将国内汽油价格与国外原油价格绘制成价格走势图，如下：图4-9 油价走势图从上图中可以看出国际油价会影响中国油价，随着国外油价的不断增加，中国油价呈现出一种上涨的趋势，中国是一个发展中的大国，而且处于快速发展时期，随着我们经济的快速发展和人民物质生活水平的逐渐提高，我国国内石油的需求量迅速增加，这种对石油需求量的迅速增加会导致进口油量的增加，从上图可以看出，国际油价趋势是影响中国油价的一个因素。4
33、.3.1.3 人民生活水平对油价的影响随着人民生活水平的不断提高，石油作为一种商品，其价格也必然会增加，为了证明这个结论，将人均收入与油价统计为下表：年份200620072008200920102011人均收入（元）11759一三786一五781171751910920714油价（元/吨）495052806030673074208280表4-10 人均收入与油价（注：数据来源：中国统计年鉴）为了更直观的看出两者的关系，将两者绘制成走势图，如下图：图4-11 油价与收入走势图从上图可以看出油价与人均收入有着密切的联系。4.3.1.4 其他的因素影响油价的因素远非以上三个，还主要包括政府扶持力度、
34、进出口关税、原油产量、燃油税等，本文将会将以上七个因素作为准则层，进行层次分析。4.3.2 层次分析法 应用层次分析法分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。根据第三部分问题分析，我们需要先建立最高层Z、准则层C、最底层P。 目标层是拟解决的问题（总目标），准则层是为实现总目标而采取的措施和方案，方案层是用于解决问题的备选方案，对方案层中的字母做出解释，如下：P1-政府指导成品油价上下浮动4%；P2-政府指导成品油价上下浮动8%
35、；P3-成品油价格实行最高零售价并适当缩小流通环节差价，这其中包括运费问题，出关的关税问题等；P4-政府指导成品油价上下浮动4%并且成品油价格实行最高零售价并适当缩小流通环节差价，这是P1和P3的组合；P5-政府指导成品油价上下浮动8%并且成品油价格实行最高零售价并适当缩小流通环节差价，这是P2和P3的组合。如下图：图4-12 解析图接下来我们需要构造判断矩阵，在层次分析法中，为使矩阵中的各要素的重要性能够进行定量显示，引进了矩阵判断标度（19标度法），这样就确定了各准则对于目标的权重。具体标度如下图。 标度定义1i因素与j因素相同重要3i因素与j因素略重要5i因素与j因素较重要7i因素与j因
36、素非常重要9i因素与j因素绝对重要2，4，6，8为以上两判断之间的中间状态对应的标度值倒数若i因素与j因素比较，得到判断值为aij=1/aji，aii=1我们可以得到判断矩阵A： C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C1 1 6 5 2 1 7 1/2 C2 1/6 1 1/5 1/5 1/7 1 1/7 C3 1/5 5 1 1/3 1/4 3 1/4 A = C4 1/2 5 3 1 1/2 3 1/2 C5 1 7 4 2 1 7 1 C6 1/7 1 1/3 1/3 1/7 1 1/7 C7 2 7 4 2 1 7 1 七种相对于不同准则的方案层判断矩阵：相对国际价格相对市场供求
37、相对居民消费指数相对政府扶持政策相对进口关税相对原油产量相对燃油价下面我们要进行层次单排序及一致性检验，首先我们要计算一致性指标： ,CI=0 时,矩阵A一致，符合要求；CI 越大，矩阵A的不一致性程度越严重。 我们当然希望CI等于零。同时我们可以计算一致性比率CR。一致性比率是用于确定矩阵A的不一致性的容许范围的。当CR0.1时，矩阵A的不一致性程度在容许范围内，此时可用矩阵A的特征向量作为权向量。上式中的RI可从下表中得出（由美国运筹学家T. L. Saaty 教授给出）：n123456789RI000.580.901.121.241.321.411.45表4-一三 平均随机一致性指标R.I.表接着，我们要进行层次总排序及一致性检验。如果得到的总排序的结果具有较满意的一致性，那么我们就应该接受分析结果。4.3.3 求解结果依据4.3.1部分的准备工作，我们可以利用MATLAB来编写程序。程序如下：a= 1 6 5 2 1 7 1/21/6 1 1/5 1/5 1/7 1 1/71/5 5 1 1/3 1/4 3 1/41/2 5 3 1 1/2 3 1/21 7 4 2 1 7 11/7 1 1/3 1/3 1/7 1 1/72 7 4 2 1 7 1;x,y=eig(a);eigenvalue=dia
