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1、第四讲 双曲线,第九章 平面解析几何,考点帮必备知识通关,考点1 双曲线的定义和标准方程,考点2 双曲线的几何性质,知识影响格局，格局决定命运！,考法帮解题能力提升,考法1 双曲线的定义及其应用,考法2 求双曲线的标准方程,考法3 双曲线的几何性质,考法4 直线与双曲线的位置关系,考情解读,考情解读,考点1 双曲线的定义和标准方程考点2 双曲线的几何性质,考点帮必备知识通关,考点1 双曲线的定义和标准方程,1.定义在平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫作双曲线.定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作焦距.规律总结 设点M到F1,
2、F2两点的距离之差的绝对值为2a.(1)若点M的轨迹是双曲线,则0|F1F2|,则点M的轨迹不存在;若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.,考点1 双曲线的定义和标准方程,(2)若|MF1|-|MF2|=2a,则点M的轨迹是焦点F2所对应的一支双曲线;若|MF1|-|MF2|=-2a,则点M的轨迹是焦点F1所对应的一支双曲线.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 2 2 2 2=1(a0,b0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 2 2 2 2=1(a0,b0).,考点1 双曲线的定义和标准方程,名师提醒 焦点位置的判断在双曲线
3、的标准方程中,看x2项与y2项的系数的正负,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上,即“焦点位置看正负,焦点随着正的跑”.,考点2 双曲线的几何性质,1.双曲线的几何性质,考点2 双曲线的几何性质,考点2 双曲线的几何性质,考点2 双曲线的几何性质,2.特殊双曲线,考法1 双曲线的定义及应用考法2 求双曲线的标准方程考法3 双曲线的几何性质考法4 直线与双曲线的位置关系,考法帮解题能力提升,考法1 双曲线的定义及应用,示例1(1)2020河北唐山一中模拟已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为
4、A.2 2 2 16=1(x-2)B.2 2 2 14=1(x 2)C.2 2 2 16=1D.2 2 2 14=1(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,F1PF2=60,则|PF1|PF2|=A.2B.4C.6D.8,考法1 双曲线的定义及应用,解析(1)设动圆M的半径为r,由已知得,圆C1与圆C2的半径均为 2,|MC1|=r+2,|MC2|=r-2,(由动圆M与圆C1外切,与圆C2内切得到|MC1|,|MC2|)所以|MC1|-|MC2|=2 2.因为点C1(-4,0),C2(4,0),则|C1C2|=8,所以2 2|C1C2|.根据双曲线的定义可知,动
5、圆圆心M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支.(注意与双曲线的定义对比)因为a=2,c=4,所以b2=c2-a2=14,于是动圆圆心M的轨迹方程为 2 2 2 14=1(x 2).(不能遗漏x 2 这一限制条件),考法1 双曲线的定义及应用,(2)由双曲线的方程得a=1,c=2,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2.在PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60,即(2 2)2=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|=22+|PF1|PF2|,解得
6、|PF1|PF2|=4.答案(1)B(2)B,考法1 双曲线的定义及应用,注意 本示例(1)是易错题,易错点是在求解双曲线方程时忽略定义中“距离之差的绝对值”这一限制条件,错误地由|MC1|-|MC2|=2 2 得到双曲线方程为 2 2 2 14=1,从而误选D.观察两圆位置关系可知,r 2,所以此处|MC2|=r-2,否则,应为|MC2|=|r-2|.,考法1 双曲线的定义及应用,方法技巧 双曲线定义的应用策略1.根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求求出轨迹方程.2.将双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值|PF1|-|PF2|=2a(其中02a|F2F2|)与
7、正弦定理、余弦定理结合,解决焦点三角形问题.3.利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题,如最值问题、距离问题.,考法1 双曲线的定义及应用,注意 利用双曲线的定义解决问题时应注意三点:距离之差的绝对值,若将定义中的绝对值去掉,则点的轨迹是双曲线的一支;02a|F1F2|;焦点所在坐标轴的位置.思维拓展 双曲线中的特殊量(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.,考法1 双曲线的定义及应用,(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦),其长为 2 2
8、;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则 1 2=2 tan 2,其中为F1PF2.,考法1 双曲线的定义及应用,(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的ABF2的周长为4a+2|AB|.(6)若P是双曲线 2 2 2 2=1(a0,b0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I为PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标为定值a.,考法2 求双曲线的标准方程,示例2 2017全国卷,5分已知双曲线C:2 2 2 2=1(a0,b0)的一条渐近线
9、方程为y=5 2 x,且C与椭圆 2 12+2 3=1有公共焦点,则C的方程为A.2 8 2 10=1B.2 4 2 5=1C.2 5 2 4=1D.2 4 2 3=1思维导引 根据双曲线的渐近线方程得出a,b的关系,根据C与椭圆共焦点求出c,利用c2=b2+a2求出a2,b2,即得双曲线的标准方程.,考法2 求双曲线的标准方程,解析 根据双曲线C的一条渐近线方程为y=5 2 x,可知=5 2.因为椭圆 2 12+2 3=1的焦点坐标为(3,0)和(-3,0),所以a2+b2=9,根据可知a2=4,b2=5.所以双曲线C的方程为 2 4 2 5=1.答案B,考法2 求双曲线的标准方程,示例3
10、已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为y=3 x,则该双曲线的标准方程是A.7 2 16 2 12=1B.2 3 2 2=1C.x2-2 3=1D.3 2 23 2 23=1解析 解法一(定义法)若双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为 2 2 2 2=1(a0,b0),则由题意可得 4 2 9 2=1,=3,解得=1,=3,所以双曲线的标准方程为x2-2 3=1;,考法2 求双曲线的标准方程,解法二(待定系数法)设双曲线的方程为 2 2=1(mn0),则由题意可得 4 9=1,=3,解得=1,=3,所以所求双曲线的标准方程为x2-2 3=1.解法三(待定系数法)因为双曲线的渐近线方程为y=3
11、x,所以可设双曲线的方程为3x2-y2=(0),则由双曲线过点(2,3),可得=322-32=3,故双曲线的方程为3x2-y2=3,其标准方程为x2-2 3=1.答案C,考法2 求双曲线的标准方程,方法技巧 求双曲线标准方程的两种方法1.定义法根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点的位置求出双曲线方程,常用的关系有:(1)c2=a2+b2;(2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.,考法2 求双曲线的标准方程,2.待定系数法,考法2 求双曲线的标准方程,考法2 求双曲线的标准方程,考法2 求双曲线的标准方程,注意(1)当焦点位置不确定时,有两种方法来解决:一种是分
12、类讨论,注意考虑要全面;另一种是如果已知中心在原点,但不能确定焦点的具体位置,可以设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn0).(2)利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于参数a,b,c的方程(组)并求出a,b,c的值.,考法3 双曲线的几何性质,命题角度1求双曲线的渐近线示例4(1)2018全国卷,5分双曲线 2 2 2 2=1(a0,b0)的离心率为 3,则其渐近线方程为A.y=2 xB.y=3 xC.y=2 2 xD.y=3 2 x(2)2018全国卷,5分已知双曲线C:2 3-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条
13、渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=A.3 2 B.3C.2 3 D.4,考法3 双曲线的几何性质,解析(1)解法一由题意知,e=3,所以c=3 a,所以b=2 2=2 a,所以=2,所以该双曲线的渐近线方程为y=x=2 x.解法二由e=1+()2=3,得=2,所以该双曲线的渐近线方程为y=x=2 x.(2)易知双曲线 2 3-y2=1的渐近线方程为y=3 3 x,所以MON=60.不妨设过点F的直线与直线y=3 3 x交于点M,由OMN为直角三角形,考法3 双曲线的几何性质,不妨设OMN=90,则MFO=60,又直线MN过点F(2,0),所以直线MN的方程为y=-3(
14、x-2),由=3(2),=3 3,得=3 2,=3 2,所以M(3 2,3 2),所以|OM|=(3 2)2+(3 2)2=3,所以|MN|=3|OM|=3.答案(1)A(2)B,考法3 双曲线的几何性质,方法技巧 涉及双曲线渐近线的几个常用结论1.求双曲线 2 2 2 2=1(a0,b0)或 2 2 2 2=1(a0,b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0,即令 2 2 2 2=0,得y=x,或令 2 2 2 2=0,得y=x.2.已知渐近线方程为y=x,可设双曲线方程为 2 2 2 2=(a0,b0,0).说明 两条渐近线的倾斜角互补,斜率互为相反数,且两条渐近线关于x轴,y轴对称.
15、,考法3 双曲线的几何性质,命题角度2求双曲线的离心率或其范围示例5 2019全国卷,5分已知双曲线C:2 2 2 2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若 1=,1 2=0,则C的离心率为.,考法3 双曲线的几何性质,思维导引,考法3 双曲线的几何性质,解析解法一因为 1 2=0,所以 F1BF2B,如图9-4-2.所以|OF1|=|OB|,所以BF1O=F1BO,所以BOF2=2BF1O.因为 1=,所以点A为线段F1B的中点,又点O为线段F1F2的中点,所以OABF2,所以F1BOA.因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,所
16、以tanBF1O=,tanBOF2=.因为tanBOF2=tan 2BF1O,所以=2 1()2,所以b2=3a2,所以c2-a2=3a2,即2a=c,所以双曲线的离心率e=2.,图 9-4-2,考法3 双曲线的几何性质,解法二因为 1 2=0,所以F1BF2B.在RtF1BF2中,|OB|=|OF2|,所以OBF2=OF2B.又 1=,所以A为线段F1B的中点,所以OAF2B,所以F1OA=OF2B.又F1OA=BOF2,所以OBF2为等边三角形.由F2(c,0)可得B(2,3 2),因为点B在直线y=x上,所以 3 2 c=2,所以=3,所以e=1+2 2=2.,考法3 双曲线的几何性质,
17、方法技巧 1.求双曲线的离心率的方法(1)公式法:直接求出a,c或找出a,b,c之间任意两个的关系,代入公式e=1+()2.(2)构造法:由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于e的一元方程求解.,考法3 双曲线的几何性质,(3)其他方法:通过特殊值或特殊位置求离心率,例如,令a=1,求出相应c的值,进而求出离心率,能有效简化计算;在焦点三角形F1PF2中,设F1PF2=,PF1F2=,PF2F1=,则e=|1 2|1|2|=sin|sinsin|.2.求解双曲线离心率的取值范围的方法(1)几何法:借助平面几何图形中的不等关系求解,如焦半径|PF1|c-a,+)或|PF1|a+c
18、,+)、三角形中两边之和大于第三边等;,考法3 双曲线的几何性质,(2)不等式法:借助题目中给出的不等信息求解;(3)代数法:借助函数的值域求解取值范围.3.双曲线 2 2 2 2=1(a0,b0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系:当k0时,k=2 2=2 2 1=2 1;当k0时,k=-=-2 1.,考法3 双曲线的几何性质,命题角度3与双曲线性质有关的范围(或最值)问题示例6 2020湘东六校联考已知双曲线C:2 2 2 2=1(a0,b0)的两个顶点分别为A1,A2,F为双曲线的一个焦点,B为虚轴的一个端点,若在线段BF上(不含端点)存在两点P1,P2,使得A1P1A2=A1P2A2=2
19、,则双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是A.(1,5+1 2)B.(1,3+1 2)C.(0,5+1 2)D.(3+1 2,3 2),考法3 双曲线的几何性质,思维导引,考法3 双曲线的几何性质,解析(不等式法)不妨设点F为双曲线的左焦点,点B在y轴正半轴上,则F(-c,0),B(0,b),直线BF的方程为bx-cy=-bc.如图9-4-3所示,以O为圆心,A1A2为直径作圆O,则P1,P2在圆O上.由题意可知,2+2,解得1()2 5+1 2,即双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是(1,5+1 2).答案A,图 9-4-3,考法3 双曲线的几何性质,方法技巧 1.求解与双曲线性质有关
20、的范围(或最值)问题的方法(1)几何法:如果题中给出的条件有明显的几何特征,那么可以考虑用图形的性质来求解,特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.(2)代数法:若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题,然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解.(3)不等式法:借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解.,考法3 双曲线的几何性质,2.解决与双曲线性质有关的范围(或最值)问题时的注意点(1)双曲线上本身就存在最值问题,如异支双曲线上两点间的最短距离为2a(
21、实轴长);(2)由直线和双曲线的位置关系,求直线或双曲线中某个参数的范围,常把所求参数作为函数中的因变量来求解;(3)所构建的函数关系式中变量的取值范围往往受到双曲线中变量范围的影响.,考法3 双曲线的几何性质,3.解决与双曲线的几何性质有关的问题的通法与流程求解与双曲线的几何性质有关的问题,其通用的方法是利用方程思想解题,其思维流程是:,考法4 直线与双曲线的位置关系,示例7 已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且AOB的面积为 2,求实数k的值.思维导引,考法4 直线与双曲线的位
22、置关系,解析(1)联立双曲线C与直线l的方程得 2 2=1,=1,消去y整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.因为l与C有两个不同的交点,即上式有两个不同的实数根,所以 1 2 0,=4 2+8(1 2)0,解得-2 k 2 且k1.即当双曲线C与直线l有两个不同的交点时,实数k的取值范围是(-2,-1)(-1,1)(1,2).,考法4 直线与双曲线的位置关系,(2)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与y轴交于点D(0,-1),由(1)知,联立双曲线C和直线l的方程并整理得(1-k2)x2+2kx-2=0(-2|x2|时,SOAB=SOAD-SOBD=1 2(|x1|-|x2|
23、)=1 2|x1-x2|;当A,B分别在双曲线的两支上且x1x2时,考法4 直线与双曲线的位置关系,SOAB=SOAD+SOBD=1 2(|x1|+|x2|)=1 2|x1-x2|.综上,SOAB=1 2|x1-x2|=2,所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2 2)2,即(2 1 2)2+8 1 2=8,解得k=0或k=6 2.所以当AOB的面积为 2 时,实数k的值为0或 6 2 或-6 2.,考法4 直线与双曲线的位置关系,方法技巧 1.解决直线与双曲线的位置关系问题的策略(1)解题“3步骤”,考法4 直线与双曲线的位置关系,(2)解题“2关键”联立直线方程与双曲线方程
24、,消元后一定要注意判断二次项系数是否为零.当二次项系数为0时,直线与双曲线最多只有一个交点;当二次项系数不为0时,利用判别式求解:0有两个交点相交;=0有一个交点相切;0无交点相离.要灵活运用根与系数的关系(i)平方关系的运用:(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2.(ii)斜率关系的运用:k=1 2 1 2.,考法4 直线与双曲线的位置关系,(3)解题“1注意”注意数形结合思想与分类讨论思想的应用,点所在双曲线的左、右支的位置不同,会导致所求解的情况有所不同.2.用“点差法”可以解决弦中点和弦所在直线斜率的关系问题,但需要检验.3.双曲线:2 2 2 2=1(a0,b0)上以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率为k=2 0 2 0.,路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！,Then End,知识影响格局，格局决定命运！,
