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1、双曲线的简单几何性质在人教版普通高中课程标准实验教科书（数学选修2-1）中，针对双曲线的简单几何性质第一课时内容，笔者从教材分析、学生分析、目标分析、过程分析、板书设计等方面设计这一节课的教学.一、教材分析（一）教材的地位与作用本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，利用双曲线的标准方程研究其几何性质.它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个重要的考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质.（二）教学重点与难点的确定及依据对圆锥曲线来说，双曲线有特殊
2、的性质，而学生对双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法接受、理解和掌握有一定的困难.因此，在教学过程中我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地导出了双曲线的简单几何性质.这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受.因此，我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点.根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的难点.教学重点: 双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法. 解决办法：1.欣赏优美的几何画板图形，以激发学生强烈的学习兴趣；2.利用“几
3、何画板”进行数学问题的探索以培养学生的创新能力.教学难点: 双曲线渐近线概念与性质.解决办法：本节课我先选择由教师借助“几何画板”，利用描点法画出较为准确的图形，由学生先观察它的直观性质，然后再从方程出发给予证明.二、学情分析与学法指导学情分析：由于刚学习了椭圆有关问题，学生已经熟悉了图形方程 性质的研究过程，学生已基本具有由方程研究曲线性质的能力.学法指导:根据本书的教学内容及教学目标，以及学生的认识规律，这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，采用类比、联想、启发、引导、数形结合以及探索式相结合的教学和由方程研究性质
4、的思想方法.利用“几何画板”课件演示双曲线的几何图形，让学生自己进行探究,性质类比，找出相同点与不同点，得到类似的结论.在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力.渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法的接受、理解和掌握有一定的困难.因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知
5、，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性.例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力.三、教学目标分析 平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质.教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤.根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标.(一)知识与技能：通过类比探究，掌握双曲线的几何性质，进一步完善对双曲线的认知结构，提高猜想能力，
6、合情推理能力，培养发现问题、提出问题的意识和数学交流能力.使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；掌握双曲线标准方程中的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明，能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题.使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解.(二)过程与方法：通过对问题的类比探究活动，让学生类比已知的知识，通过观察、推导、形成新知识，进一步理解坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法，领悟其中所蕴涵的数学思想.(三)情感态度与价值观：通过类比探究体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习
7、热情，逐步培养正确的数学观、创新意识和科学精神.四、教学方法与教学手段（一）教学方法1.以类比思维作为教学的主线.2.以自主探究作为学生的学习方式.我采用类比、联想、启发、引导、数形结合以及探索式相结合的教学和由方程研究性质的思想方法.利用“几何画板”课件演示双曲线的几何图形，让学生边观察，边类比，边比较，总结双曲线的五个性质，并将其几何性质与椭圆的性质类比，找出相同点与不同点.在解决相关问题时，作出草图能帮助学生提高解决问题的准确性. （二）教学手段本节课使用多媒体，借助“几何画板”利用描点法较为精确地画出双曲线，便于学生观察几何性质，使观察出的结论让学生信服.动画演示、动手实验，“几何画板
8、”有效运用,多媒体课件.五、教学程序设计设计思路： 复习椭圆的几何性质 类比 双曲线的几何性质 特有的几何性质（从特殊到一般的规律探索） 双曲线的渐近线的发现及证明 加强应用 深化知识、巩固提高 教学过程：（一）情境设置1.椭圆的简单几何性质有哪些 ？研究方法是什么？ （范围、对称性、顶点、离心率）研究方法是：通过方程来研究图形的几何性质. 2.你能说出椭圆的几何性质吗？（学生回答）教师用投影显示右表.3.双曲线是否具有类似的性质? 由此引出课题.（二）探索研究1.让学生探讨双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率 学生：自我思考得出初步结论小组讨论得出满意结论回答所得结论（“几何画板”演
9、示探究与大家交流）教师：启发诱导点拨释疑补充完善.并将性质列表如下：（教师说明实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长）2.渐近线的发现与论证:我们能较为准确地画出曲线 ，这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与 x轴、 y轴无限接近）此时，x轴、 y轴叫做曲线的渐近线问：双曲线有没有渐近线呢？如果有，又该是怎样的直线呢？引导猜想：在研究双曲线范围时，由双曲线标准方程可解出： .当 无限增大时， 就无限趋近于零，也就是说，这时双曲线与直线 无限接近（引导学生分析、猜想）这使我们有理由猜想直线为双曲线的渐近线直线 恰好是过实轴端点、，虚轴端点、，作平行于坐标轴的直线，所成的矩形的两条对角线，那么，如何证
10、明双曲线上的点的沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑双曲线在第一象限就可以了.学生探讨证明方法，教师可给予适当提示，寻找不同证明方法（“几何画板”演示推理过程）实际证法：如图，设为渐近线上与 有相同横坐标的点，于是.点沿曲线向远处运动，随着增大，逐渐减小，于是也逐渐减小解决了双曲线向远处伸展时的趋向问题，从而可较准确地画出双曲线，比如画，先作双曲线矩形，画出其渐近线，就可随手画出比较精确的双曲线3.离心率的几何意义：问：椭圆的离心率反映椭圆的圆扁程度，那么双曲线的离心率有何几何意义呢？ 由,，可得 .越小（接近于1） 越接近于 双曲线开口越小（扁狭）.越大 越大（即渐近线的
11、斜率的绝对值就大）双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔.4.说出双曲线的几何性质.（幻灯片演示）（三）讲解范例例1.求双曲线9x216y2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率.变式：求双曲线9y216x2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率.例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图），它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25m，高55 m，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1 m）.解：如图，建立坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重
12、合；这时，上、下口的直径平行于轴，且，；设曲线的方程为：.令点的坐标为，则点的坐标为，因为点在双曲线上，所以 化简，得,解得.所求双曲线的方程为.（四）随堂练习基础练习：1.求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长, 焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线的方程.2.求顶点在x轴上,两顶点间的距离为8,离心率e=的双曲线的标准方程.3.双曲线实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点坐标为 (0, 2), 则双曲线的标准方程为 .4.双曲线的一条渐近线方程为, 且过点 P (3,),则它的标准方程是 . 历年高考：1.（2006年高考题）设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为 ，则该双曲线的离心率是 .2
13、.（2008年高考题）若双曲线的渐近线方程为y=3x，它的一个焦点是 , 则双曲线的方程是 .（五）总结提炼 （1）通过本节学习，要求学生熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质；（2）双曲线的几何性质总结(学生填表归纳).双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下： 椭圆双曲线方程、 、 的关系图形范围对称性对称轴： 轴、 轴对称中心：原点对称轴： 轴、 轴对称中心：原点顶点、 、 长轴长 ，短轴长 、 实轴长 虚轴长 离心率 渐近线无有两条，其方程为（六）布置作业课本P.61习题.3，4，巩固并掌握课上所学的知识.
