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1、第十八章 平行四边形,全章热门考点整合应用,本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与其他知识相结合的综合题其主要考点可概括为：一个定理，一个性质，四个图形，四个判定与性质，四个技巧，两种思想,1,考点,一个定理三角形的中位线定理,1如图所示，已知在四边形ABCD中，ADBC且AC BD，点E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点 求证：(1)四边形EFGH是矩形；(2)四边形EQGP是菱形,(1)点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的 中点，EFAC且
2、EF AC，GHAC且GH AC，EHBD，EFGH且EFGH，四边形EFGH是平行四边形 又ACBD，EFEH.EFGH是矩形,证明：,(2)点E，P，G，Q分别为AB，AC，DC，DB的 中点，EP BC，PG AD，GQ BC，QE AD.ADBC，EPPGGQQE，四边形EQGP是菱形,在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系,2如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高求证：(1)四边形ADEF是平行四边形；(2)DHFDEF.,2,考点,一个性质直角三角形斜边上的中线性质,证明：,(1)点D，E分别是AB，BC的
3、中点，DEAC.同理可得EFAB.四边形ADEF是平行四边形(2)由(1)知四边形ADEF是平行四边形，DAFDEF.在RtAHB中，D是AB的中点，DH ABAD，DAHDHA.同理可得HF ACAF，FAHFHA.DAHFAHDHAFHA.DAFDHF.DHFDEF.,3,考点,四个图形,3【中考凉山州】如图，分别以RtABC的直角边AC 及斜边AB为边向外作等边三角形ACD及等边三角形 ABE.已知BAC30，EFAB，垂足为点F，连 接DF.(1)求证：ACEF；(2)求证：四边形ADFE是平行四 边形,图形1,平行四边形,证明：,(1)在RtABC中，BAC30，AB2BC.ABE是
4、等边三角形，EFAB，AEAB，AB2AF，AFBC.在RtBCA和RtAFE中，RtBCARtAFE(HL)，ACEF.,(2)ACD是等边三角形，DAC60，ACAD，DABDACBAC90.又EFAB，EFA90DAB.EFAD.ACEF，ACAD，EFAD.四边形ADFE是平行四边形,4如图，在ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的 直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.(1)求证：AOECOF.(2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四 边形AECF是矩形？请说明理由,图形2,矩形,(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，ABCD，AEOCF
5、O.在AOE和COF中，AOECOF(AAS)(2)解：当ACEF时，四边形AECF是矩形理由如下：由(1)知AOECOF，OEOF.AOCO，四边形AECF是平行四边形 又ACEF，四边形AECF是矩形,5如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EFAB，交BC于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形(2)当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱 形？为什么？,图形3,菱形,(1)证明：D，E分别是AB，AC的中点，DE是ABC的中位线，DEBC.又EFAB，四边形DBFE是平行四边形(2)解：当ABBC时，四边形DBFE是菱形 理由：D是AB的中点，BD AB.DE
6、是ABC的中位线，DE BC.又ABBC，BDDE.又四边形DBFE是平行四边形，四边形DBFE是菱形,6如图，已知在RtABC中，ABC90，先把 ABC绕点B顺时针旋转90后至DBE，再把 ABC沿射线AB平移至FEG，DE，FG相交于 点H.(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形,图形4,正方形,(1)解：DEFG.理由如下：由题意，得AEDB GFE，ABCDBE90，EDBBED90.GFEBED90，FHE90，即DEFG.(2)证明：ABC沿射线AB平移至FEG.CBGE，CBGE.四边形CBEG是平行四边形 ABCGEF90
7、，四边形CBEG是矩形 BCBE，四边形CBEG是正方形,7如图，E，F分别是ABCD的AD，BC边上的点，且AE CF.(1)求证：ABECDF；(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，试 判断四边形MFNE是怎样的四 边形，并证明你的结论,判定与性质1,平行四边形,4,四个判定与性质,考点,(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AC.AECF，ABECDF(SAS)(2)解：四边形MFNE是平行四边形证明如下：ABECDF，AEBCFD，BEDF.又M，N分别是BE，DF的中点，MEFN.四边形ABCD是平行四边形，BCAD，AEBFBE.CFDFBE.EBDF，
8、即MEFN.四边形MFNE是平行四边形,本题是一道猜想型问题，先猜想结论，再证明结论本题已知一个四边形是平行四边形，借助其性质，利用平行四边形的判定方法判定另一个四边形是平行四边形,规律总结：,8【中考湘西州】如图，在ABCD中，DEAB，BFCD，垂足分别为E，F.求证：(1)ADECBF；(2)四边形DEBF为矩形,判定与性质2,矩形,(1)四边形ABCD是平行四边形，AC，ADCB.又DEAB，BFCD，DEABFC90.ADECBF.(2)ADECBF，AECF.CDAB，DFBE.又CDAB，四边形DEBF为平行四边形 又DEB90，四边形DEBF为矩形,证明：,9如图，在ABC中，
9、BAC的平分线交BC于点D，E 是AB上一点，且AEAC，EFBC交AD于点F.求证：四边形CDEF是菱形,判定与性质3,菱形,证明：,如图，连接CE，交AD于点O.ACAE，ACE为等腰三角形AO平分CAE，AOCE，且OCOE.EFCD，21.又DOCFOE，DOCFOE(ASA)ODOF.即CE与DF互相垂直且平分，四边形CDEF是菱形,10如图，E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点，DE交AC于点F，交BC于点G，H为GE的中点 求证：FBBH.,判定与性质4,正方形,四边形ABCD是正方形，CDCB，DCFBCF45，DCAE，CBE90，CDFE.又CFCF，DCFBCF.CD
10、FCBF.CBFE.H为GE的中点，HBHG GE.HGBHBG.CDGCGD90，CGDHGBHBG，FBGHBG90，即FBH90，FBBH.,证明：,11如图，在矩形ABCD中，AB10，BC5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长,技巧1,解与四边形有关的折叠问题的技巧,5,四个技巧,考点,在矩形ABCD中，AB10，BC5，CDAB10，ADBC5.又将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，根据轴对称的性质可得A1EAE，A1D1AD，D1FDF.设线段D1
11、F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为(A1EEMMD1A1D1)(MBMFFCCB)AEEMMD1ADMBMFFCCB(AEEMMB)(MD1MFFC)ADCBAB(FD1FC)10AB(FDFC)1010101030.,解：,12如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也 是正方形ABCO的一个顶点，如果两个正方形 的边长都等于1，那么正方形ABCO绕顶点O转 动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规 律？请说明理由,技巧2,解与四边形有关的旋转问题的技巧,两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.理由如下：四边形ABCD是正方形，OBOC，OBEOCF45，BOC90.四边形ABC
12、O是正方形，EOF90.EOFBOC.EOFBOFBOCBOF，即BOECOF.BOECOF.SBOESCOF.两个正方形重叠部分的面积等于SBOC.S正方形ABCD111，SBOC S正方形ABCD.两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.,解：,13如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OEAB于E，OFAD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积(2)如图，当点O在对角线BD上运动时，OEOF的 值是否发生变化？请说明理由(3)如图，当点O在对角线BD的延长线上时，OEOF 的值是否发生变化？若 不变，请说明理由
13、；若 变化，请探究OE，OF 之间的数量关系,技巧3,解与四边形有关的动点问题的技巧,(1)在菱形ABCD中，AGCG，ACBD，BG BD 168，由勾股定理得AG 6，所以AC2AG2612.所以菱形ABCD的面积 ACBD 121696.,解：,(2)不发生变化理由如下：如图，连接AO，则SABDSABOSAOD，所以 BDAG ABOE ADOF，即 166 10OE 10OF.解得OEOF9.6，是定值，不变,(3)发生变化 如图，连接AO，则SABDSABOSAOD，所以 BDAG ABOE ADOF.即 166 10OE 10OF.解得OEOF9.6，是定值，不变 所以OEOF的
14、值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OEOF9.6.,14如图，在ABC中，ABAC，点O在ABC的内 部，BOC90，OBOC，D，E，F，G分 别是AB，OB，OC，AC的中点(1)求证：四边形DEFG是矩形；(2)若DE2，EF3，求ABC的面积,技巧4,解中点四边形的技巧,(1)如图，连接AO并延长交BC于H，ABAC，OBOC，AH是BC的中垂线，即AHBC.D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，DGEFBC，DEAHGF.四边形DEFG是平行四边形 EFBC，AHBC，AHEF.又DEAH，EFDE，四边形DEFG是矩形,证明：,(2)D，E，F分别是AB，OB，OC
15、的中点，AO2DE4，BC2EF6.BOC是等腰直角三角形，OH BC3.AHOAOH437.SABC 6721.,解：,15如图，在四边形ABCD中，C90，ABD CBD，ABCB，P是BD上一点，PEBC，PFCD，垂足分别为点E，F.求证：PAEF.,思想1,转化思想,6,两种思想,考点,如图，连接PC.PEBC，PFCD，ECF90，PECPFCECF90.四边形PECF是矩形PCEF.在ABP和CBP中，ABPCBP(SAS)PAPC.PAEF.,证明：,本题运用了转化思想将四边形中的边转化到三角形中，通过用等式的传递性证明两条线段相等,16阅读 在平面直角坐标系中，以任意两点P(
16、x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为.运用(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF 分别在x轴和y轴上，O为坐标原 点，点E的坐标为(4，3)，则点 M的坐标为_；,思想2,数形结合思想,(2，1.5),(2)在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标,设点D的坐标为(x，y)若以点A，B，C，D为顶点构成的四边形是平行四边形，当AB为对角线时，A(1，2)，B(3，1)，C(1，4)，x1，y1.点D的坐标为(1，1),解：,当BC为对角线时，A(1，2)，B(3，1)，C(1，4)，x5，y3.点D的坐标为(5，3)当AC为对角线时，A(1，2)，B(3，1)，C(1，4)，x3，y5.点D的坐标为(3，5)综上所述，点D的坐标为(1，1)或(5，3)或(3，5),
