抛物线复习和练习精选教学课件.ppt

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1、第六节抛物线,1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的集合是抛物线：(1)在平面内.(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离_.(3)定点_定直线.,相等,不过,2.抛物线的标准方程与简单性质,y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,O(0,0),y=0,x=0,1,x0,yR,x0,yR,y0,xR,y0,xR,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(,0)，准线方程是x=.(),(3)抛物线既是中心对称图

2、形，又是轴对称图形.()(4)AB为抛物线y2=2px(p0)的过焦点F(,0)的弦，若A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x2=,y1y2=-p2，弦长|AB|=x1+x2+p.(),【解析】(1)错误.当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(2)错误.方程y=ax2(a0)可化为x2=y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是(0,)，准线方程是y=-.(3)错误.抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形,不是中心对称图形.,(4)正确.当AB斜率不存在时，AB方程为x=，结论显然成立；当AB斜率存在时，设AB的方程为y=k(x-),与y2=2px(p0)

3、联立消去y得：k2x2-p(2+k2)x+=0,又y1=k(x1-),y2=k(x2-),y1y2=k2x1x2-(x1+x2)+由抛物线定义得：|AF|=x1+,|BF|=x2+,|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.答案：(1)(2)(3)(4),1.坐标平面内到定点F(-1，0)的距离和到定直线l:x=1的距离相等的点的轨迹方程是()(A)y2=2x(B)y2=-2x(C)y2=4x(D)y2=-4x【解析】选D.由抛物线的定义知点的轨迹是以F(-1,0)为焦点的抛物线，且=1,p=2，故方程为y2=-4x.,2.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为()(A

4、)-2(B)2(C)-4(D)4【解析】选D.椭圆的右焦点为（2，0），所以,3.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()(A)2(B)3(C)4(D)5【解析】选D.由抛物线定义得|AF|=4+=4+=5.,4.抛物线y=8x2的准线方程为()(A)x=-2(B)(C)(D)【解析】选D.抛物线y=8x2的标准方程为x2=y，焦点在y轴上，且2p=,p=,准线方程为y=-.,5.线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦，若|AB|4，则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于_.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)则|AB|=x1+x2+=4,x1+x2=,弦A

5、B的中点的横坐标为中点到直线x+=0的距离为：答案：,考向 1 抛物线的定义及其应用【典例1】(1)(2013九江模拟)已知动圆过定点F(,0)，且与直线x=-相切，其中p0,则动圆圆心的轨迹E的方程为_.(2)(2012安徽高考)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|3，则|BF|_.,(3)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为_.【思路点拨】（1）根据已知条件得到动点满足的等量关系，再结合抛物线定义，先定形状，再求方程.（2）利用抛物线的定义求出A点坐标，将直线AF的方程与y2=4x联立，求出

6、B点坐标，再利用抛物线定义求出|BF|.（3）利用抛物线的定义，将点P到准线的距离转化为点P到焦点的距离，数形结合求解.,【规范解答】(1)设M为动圆圆心，过点M作直线x=-的垂线，垂足为N，由题意知|MF|=|MN|，即动点M到定点F(,0)与定直线x=-的距离相等，由抛物线定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(,0)为焦点，x=-为准线，所以轨迹方程为y2=2px(p0).答案：y2=2px(p0),（2）由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|=3，由抛物线定义知，点A到准线x=-1的距离为3，点A的横坐标为2，将x=2代入y2=4x，得y2=8,不妨设A在第一象限，所以y=

8、抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用.,【变式备选】直线l经过抛物线y2=2px（p0）的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR，QS，垂足分别为R，S，如果|PF|=a，|QF|=b，M为RS的中点，则|MF|为()(A)a+b(B)（a+b）(C)ab(D),【解析】选D.如图所示，由抛物线定义知，连结RF，SF，则RFS=90.又M是中点，,考向 2 抛物线的标准方程与简单性质【典例2】(1)(2012山东高考)已知双曲线C1：的离心率为

9、2.若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()(A)x2=y(B)x2=y(C)x2=8y(D)x2=16y,（2）（2013宝鸡模拟）以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P（-2，-4）的抛物线方程为_.【思路点拨】(1)先利用离心率为2，求出渐近线方程，再利用焦点到渐近线的距离为2构建方程求p，从而求解.(2)利用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的可能情况，分类讨论.,【规范解答】(1)选D.因为双曲线C1：的离心率为2，,b=a,双曲线的渐近线方程为 xy=0,抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点F(0,)到双曲线C1

10、的渐近线的距离为,p=8.所求的抛物线方程为x2=16y.,(2)由于点P在第三象限.当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2=-2px（p0），把点P（-2，-4）代入得：(-4)2=-2p(-2)，解得p=4，抛物线方程为y2=-8x.当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2=-2py（p0），把点P（-2，-4）代入得：(-2)2=-2p（-4）.解得抛物线方程为x2=-y,综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.答案：y2=-8x或x2=-y,【拓展提升】1.求抛物线的标准方程的方法及流程(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可.(2)

11、流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.,2.确定及应用抛物线性质的关键与技巧(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程.(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.,【变式训练】(1)(2013蚌埠模拟)已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0 相切，则p的值为()(A)(B)1(C)2(D)4【解析】选C.由y2=2px，得抛物线准线方程为x=-，圆x2+y2-6x-7=0可化为(x-3)2+y2=16，由圆心到准线的距离等于半径得：3+=4，所以p=2.,(2)焦点在直

12、线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程是_.【解析】令x=0得y=-2；令y=0,得x=4.抛物线的焦点为(4，0)或(0，-2).当焦点为(4，0)时，=4,p=8,此时抛物线方程为y2=16x；,当焦点为(0，-2)时，=2，p=4,此时抛物线方程为x2=-8y.所求抛物线方程为y2=16x或x2=-8y.答案：y2=16x或x2=-8y,考向 3 直线与抛物线的综合问题【典例3】(2013南昌模拟)如图所示，F是抛物线x2=2py(p0)的焦点，点R(1，4)为抛物线内一定点，点Q为抛物线上一动点，|QR|+|QF|的最小值为5.,(1)求抛物线的方程.(2)已知过点P(0，-1)的直线

13、l与抛物线x2=2py(p0)相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，l1，l2分别是该抛物线在A，B两点处的切线，M，N分别是l1，l2与直线y=-1的交点.求直线l的斜率的取值范围，并证明|PM|=|PN|.,【思路点拨】(1)利用抛物线定义，并数形结合寻找到|QR|+|QF|取最小值为5的条件，构建p的方程求解.(2)建立l的方程并与x2=2py(p0)联立消去y得一元二次方程，使判别式0求斜率的取值范围，再建立l1，l2的方程，只需证明xM+xN=0即xN=-xM即可.,【规范解答】(1)设抛物线的准线为l,过Q作QQl于Q，过R作RRl于R，由抛物线定义知|QF|=|QQ|，|

14、QR|+|QF|=|QR|+|QQ|RR|(折线段大于垂线段)，当且仅当R，Q，R三点共线时取等号.由题意知|RR|5，即4+=5p=2，故抛物线的方程为x2=4y.,（2）由已知条件可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l:y=kx-1,则 x2-4kx+4=0 依题意，有=16k2-160k1.由x2=4yy=x2y=x,所以抛物线在A处的切线l1的方程为,令y=-1,得注意到x1,x2是方程的两个实根，故x1x2=4,即x2=,从而有因此，|PM|=|PN|.,【拓展提升】1.直线与抛物线的位置关系问题设直线方程Ax+By+C=0与抛物线方程y2=2px(p0)联立，消去x得到关于y的方

15、程my2+ny+l=0.,(1)位置关系与其判别式的关系,(2)相交问题的求解通法涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法.【提醒】涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.,2.与焦点弦有关的常用结论(如图所示),(1)(2)|AB|=x1+x2+p=(为AB的倾斜角).(3)SAOB=(为AB倾斜角).(4)(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.(7)CFD=90.,【变式训练】(2013宁德模拟)已知抛物线C:y=mx2(m0)，焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段A

16、B的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标.(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值.(3)是否存在实数m,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.,【解析】(1)抛物线C：x2=y,它的焦点F(0,).(2)|RF|=yR+,2+=3,得m=.(3)存在.联立方程消去y得mx2-2x-2=0,依题意，有=(-2)2-4m(-2)0m-.,设A(x1,),B(x2,),则P是线段AB的中点，P(),即P(,yP),Q(，).得=(x1-,-),若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则=

17、0,即(x1-)(x2-)+(-)(-)=0,结合(*)化简得即2m2-3m-2=0，m=2或m=-,而2(-,+),-(-,+).存在实数m=2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.,【满分指导】解答直线与抛物线的综合题【典例】(12分)(2012新课标全国卷)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F，准线为l,A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.(1)若BFD=90,ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程.(2)若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.,【思路点拨】,【规范解答】(1)由抛物线的对

18、称性可得BFD为等腰直角三角形，BD|=2p,圆F的半径|FA|p.由抛线线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为ABD的面积为4,所以|BD|d=4，即，解得p=-2(舍去)或p=2.3分所以F(0，1)，圆F的方程为x2+(y-1)2=8.5分,(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB=90.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以ABD=30,m的斜率为或.7分当m的斜率为时，由已知可设n:y=x+b，代入x2=2py得x2-px-2pb=0.,由于n与C只有一个公共点，故=p2+8pb=0，解得b=-因为m的纵截距b1=，,所以坐标原点到m,

19、n距离的比值为3.当m的斜率为-时，由图形对称性可知，坐标原点到m,n距离的比值为3.12分,【失分警示】(下文见规范解答过程),1.(2013合肥模拟)已知抛物线C:y=4x2，若存在定点A与定直线l,使得抛物线C上任一点P，都有点P到点A的距离与点P到l的距离相等，则定点A到定直线l的距离为()(A)(B)(C)2(D)4【解析】选A.由题意知定点A即为焦点(0，)，定直线l即为准线y=-，于是定点A到定直线l的距离为.,2.(2012陕西高考)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米.,【解析】建立适当的坐标系，如图所示，设抛物线方程为x2

20、=-2py(p0)，则点(2，-2)在此抛物线上，代入可求出抛物线的方程是x2=-2y,当y=-3时x2=-2(-3)=6，所以x=,水面宽是2 米.答案：2,3.(2012北京高考)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为_.【解析】抛物线y2=4x的焦点F(1,0),直线l:由解得A(3,2),B(,-),所以SOAF=12=.答案：,4.(2012浙江高考)如图，在直角坐标系xOy中，点P(1,)到抛物线C：y2=2px(p0)的准线的距离为，点M(t,1)是C上的定点，A，B是C

21、上的两动点，且线段AB被直线OM平分.(1)求p,t的值.(2)求ABP面积的最大值.,【解析】(1)点P(1,)到抛物线C:y2=2px(p0)的准线的距离为，可得准线方程为x=-,所以抛物线C:y2=x,p=.点M(t,1)是C上的点，所以t=1.(2)设动点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,线段AB的中点为Q(m,m),由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,所以2km=1.,直线AB的方程为y-m=(x-m),即x-2my+2m2-m=0,由消去x，整理得y2-2my+2m2-m=0.所以=4m-4m20,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m,从而|AB

22、|=,设点P到直线AB的距离为d,则d设ABP的面积为S，则S=|AB|d=|1-2m+2m2|,由=4m-4m20可得0m1.令u=,0u,则S=u(1-2u2),设S(u)=u(1-2u2),0u,则S(u)=1-6u2,由S(u)=0,得u=(0,),所以S(u)max=S()=故ABP面积的最大值为.,1.抛物线C1：y2=4x的准线与x轴交于F1，焦点为F2，以F1，F2为焦点，离心率的椭圆C2与抛物线C1的一个交点为P.（1）求椭圆的方程.（2）直线l经过椭圆C2的右焦点F2与抛物线C1交于A1,A2两点.如果弦长|A1A2|等于PF1F2的周长，求直线l的斜率.,【解析】(1)

23、设椭圆C2的方程为半焦距为c，抛物线C1：y2=4x的准线为x=-1，其与x轴的交点为F1（-1，0），又F2（1，0），即c=1，又离心率，即 a=2，b2=a2-c2=4-1=3，椭圆方程为,(2)PF1F2的周长为2a+2c=6，当直线l的斜率不存在即l的方程为x=1时,易得|A1A2|=4，不符合要求.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），且k0.则则k2x2-（2k2+4）x+k2=0，,设A1（x1，y1），A2（x2，y2），则解得,2.如图，已知抛物线C：y2=4x,过点A(1，2)作抛物线C的弦AP,AQ.若APAQ，(1)证明直线PQ过定点，并求出定点

24、的坐标.(2)假设直线PQ过点T(5，-2)，请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ，若存在，求出APQ的个数,若不存在，请说明理由.,【解析】(1)设直线PQ的方程为x=my+n,点P,Q的坐标分别为P(x1,y1),Q(x2,y2).由消去x，得y2-4my-4n=0.由0，得m2+n0,y1+y2=4m,y1y2=-4n.APAQ,(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=0.,(y1-2)(y2-2)(y1+2)(y2+2)+16=0,(y1-2)(y2-2)=0或(y1+2)(y2+2)+16=0.n=1-2m或n=2m+5,0恒成立，n=2m+5.直线PQ的方程为x

25、-5=m(y+2),直线PQ过定点(5,-2).,(2)存在.假设存在以PQ为底边的等腰三角形APQ，由第(1)问可知，将n用2m+5代换得直线PQ的方程为x=my+2m+5.又点P,Q的坐标分别为P(x1,y1),Q(x2,y2)，由消x,得y2-4my-8m-20=0.y1+y2=4m,y1y2=-8m-20.线段PQ的中点坐标为,PQ的中点坐标为(2m2+2m+5,2m).由已知得即m3+m2+3m-1=0,设g(m)=m3+m2+3m-1，则g(m)=3m2+2m+30,g(m)在R上是增函数.又g(0)=-10,g(m)在(0,1)内有一个零点.函数g(m)在R上有且只有一个零点，

26、即方程m3+m2+3m-1=0在R上有唯一实根，所以满足条件的等腰三角形有且只有一个.,小时候，我可以在母亲的背上无忧无虑的长大，是母亲编织了女儿的梦，点燃了心中那盏灯，伴我走过人生那坎坷的路程。我想不起病重的母亲是怎样背着我走路，我是怎样在母亲背上长大，可想而知，有病的母亲比健康的人更艰难。是母亲让我学会了人之初，做人做事的道理。当时我不懂母亲的心，她的爱她的温柔，她的关怀和牵挂，不懂事的我在母亲的包容下慢慢地长大，当我知道和读懂母亲的时候，母亲含着眼泪，带着多少担忧与牵挂永远的离开了我。我唯一的靠山倒了，但是母亲教会了我在逆境中学会坚强，勇敢地面对困难和失败，适应任何环境而求生存，这就是我

27、的母亲留给我的无比珍贵的财富和爱。母亲虽然走了，可她永远活在我的心里，我永远怀念她，她是我地唯一，无人取代，也是我的最爱，更是难忘的爱！我想不起小姨妈在母亲有病的时候是怎样抱着我，还是背着我，我不知道，从小姨妈对那段往事的回忆中，我才知道别人对她的冷眼，天寒地冷的无奈我才知道她的棉衣前襟是明亮发光的，而且经常是湿地；才知道烧无烟煤时熏黑了的脸上那双有黑有大的眼睛的明亮。那时候小姨妈只有十六岁，一个失去父母关爱的小女孩，能在姐姐病重的时候撑起一个家，还带着一个不满周岁的孩子，可想而知，这是多么不容易的事，每当小姨妈讲起那段往事，我就想起那苦难无助地童年，小姨妈无私的爱，让我永远难忘。小姨妈的人生

28、很苦，很少有人去关她，可是她却为我们这些没有母爱的孩子现出了她的青春和所有的爱。我母亲去世后小姨妈也经常照顾我，关心我。她不但关爱我，还有我的三姨家兄弟妹们。还在我母亲没有去世时，我的三姨妈由于有病去世了，留下四个孩子，最小的才两岁，她为了照顾这四个孩子，就和我三姨父结婚，把他们养大成人，现在孩子们都有了自己的家，可是小姨妈由于劳累过度，而病倒了，现在病在床上不能自理，当我今年回家看到小姨妈时，我很惭愧，她为我们付出的太多了，可我们又给了她什么，她看到我时那含泪的笑容，我才体会到母爱的无私和伟大，也许她不求我们什么，能常回家看看足矣，可我们却做不到，当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱

29、孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师戴尔泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不到！”猎狗听了很不服气地辩解道：“我已经

30、尽力而为了呀！”再说兔子带着枪伤成功地逃生回家了，兄弟们都围过来惊讶地问它：“那只猎狗很凶呀，你又带了伤，是怎么甩掉它的呢？”兔子说：“它是尽力而为，我是竭尽全力呀！它没追上我，最多挨一顿骂，而我若不竭尽全力地跑，可就没命了呀！”泰勒牧师讲完故事之后，又向全班郑重其事地承诺：谁要是能背出圣经马太福音中第五章到第七章的全部内容，他就邀请谁去西雅图的“太空针”高塔餐厅参加免费聚餐会。圣经马太福音中第五章到第七章的全部内容有几万字，而且不押韵，要背诵其全文无疑有相当大的难度。尽管参加免费聚餐会是许多学生梦寐以求的事情，但是几乎所有的人都浅尝则止，望而却步了。几天后，班中一个11岁的男孩，胸有成竹地站

31、在泰勒牧师的面前，从头到尾地按要求背诵下来，竟然一字不漏，没出一点差错，而且到了最后，简直成了声情并茂的朗诵。泰勒牧师比别人更清楚，就是在成年的信徒中，能背诵这些篇幅的人也是罕见的，何况是一个孩子。泰勒牧师在赞叹男孩那惊人记忆力的同时，不禁好奇地问：“你为什么能背下这么长的文字呢？”这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。”16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔盖茨。泰勒牧师讲的故事和比尔盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了28左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。,

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