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1、4.4 函数的极值,定义41(极值的概念)设函数f(x)在点x0的一个邻域(x0 x0)内有定义 如果对任意的x(x0 x0)(x0 x0)总有f(x)f(x0)则称f(x0)为函数f(x)的极大值 x0称为函数f(x)的极大值点 如果对任意的x(x0 x0)(x0 x0)总有f(x)f(x0)则称f(x0)为函数f(x)的极小值 x0称为函数f(x)的极小值点 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点,(1)极值是局部性概念,注.,(2)极值只能在区间内部取得,观察与思考：如果f(x)在点x0处有极值 且f(x0)存在 则f(x0)有什么特点？,定理44(极值的必要
2、条件)如果函数f(x)在点x0处有极值 且f(x0)存在 则f(x0)0,费尔马(Fermat)引理,反之如何？,不一定成立！,观察与思考：曲线的升降与极值之间的关系,2.极值点是单调性的分界点！,1.极大值点左增右减；极小值点左减右增.,定理45(极值的第一充分条件)设函数f(x)在点x0的某邻域(x0 x0)内连续并且可导(但f(x0)可以不存在)(1)如果当x(x0 x0)时f(x)0 而当x(x0 x0)时f(x)0 则函数f(x)在x0处取得极大值f(x0)(2)如果当x(x0 x0)时f(x)0 而当x(x0 x0)时f(x)0 则函数f(x)在x0处取得极小值f(x0)(3)如果
3、当x(x0 x0)和x(x0 x0)时 f(x)不变号 则函数f(x)在x0处无极值,由极值的第一充分条件，求函数的极值点和极值的步骤为：,解,例1 求f(x)(x1)2(x1)3的单调增减区间和极值,f(x)(x1)(x1)2(5x1),列表判断,0非极值,0极小值,解,令f(x)0 得驻点x1,不可导点为x0,列表判断,0极大值,定理46(极值的第二充分条件)设f(x0)0 f(x0)存在(1)如果f(x0)0 则f(x0)为f(x)的极小值(2)如果f(x0)0 则f(x0)为f(x)的极大值,解,例3 求函数f(x)x33x的极值,f(x)3x233(x1)(x1),f(x)6x,令f(x)0得驻点x1 x1,因为f(1)60,所以f(1)2为极大值,因为f(1)60,所以f(1)2为极小值,定理2(极值的第二充分条件)设f(x0)0 f(x0)存在(1)如果f(x0)0 则f(x0)为f(x)的极小值(2)如果f(x0)0 则f(x0)为f(x)的极大值,注.,
