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1、第七章 要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函,1.要素需求函数2.短期成本函数和长期成本函数3.学习曲线与成本次可加性4.利润函数与供给函数,本章要点,1.要素需求函数,一、要素需求函数的推导,说明，利润最大化的条件为要素的使用要达到其边际产量的价值=要素价格。,由上述条件可导出要素的需求函数：,例：,求关于x1和x2需求函数：,用成本最小化求要素需求函数,拉氏函数为：,注意：在第1种方法中，一般要求生产函数是规模报酬递减的。由成本最小化导出要素的需求函数的方法更具有一般性。,二、要素价格变化对要素需求量的影响,定义：,当生产函数严格为凹时，利润极大化问题有解。,求上式关于x1、x2、r1
2、、r2和p的全微分，可得：,后两式可写作：,用克莱姆法则解dx1和dx2,r1对x1的影响,r2对x1的影响,可见，上式取决于f12的符号。f12 是指x2增加后对x1的边际产量的作用。f1为资本的边际产出。,p对x1的影响,2.短期成本函数和长期成本函数,一、成本函数的定义,上述最小化问题的解 称为条件（产出量给定时求要素需求）要素需求函数。则成本函数为：,二、短期成本函数,成本函数可表示为：,若生产函数为：,1.平均成本（AC或ATC）与边际成本（MC）的关系,在平均成本的最低点,AC=MC。,同理可证，在AVC的最低点,AVC=MC。,短期成本曲线综合图,ATC,切线,STC,AVC,O
3、,Q,C,O,C,Q,切线,TVC,E,F,MC先通过AVC的最低点，然后再通过MC的最低点。因为当AVC最低时，AFC还在下降，AC未达到最低。,2.成本函数的二阶性质,利润最大化的一阶条件,利润最大化的二进制阶条件,边际成本递增,三、长期成本函数,若生产函数为：,则短期成本函数可表示为：,p、r1和 r2给定时，x1和x2是q函数。此时,r1和 r2给定时，,厂商打算供应140T，他会选用STC1这个规模。现假设供应的产量为300T，显然在300-650T之间的范围内，第二个规模更适用。以下依次类推。A.LTC曲线代表每一产量水平上都选取一最优的生产规模，此生产规模上对应的STC曲线与LT
4、C曲线相切。B.LTC是STC曲线的包络线。C.LTC曲线比STC平缓。,长期总成本的定义：每一产量水平上所能达到的最低总成本。,说明当k变化时，企业充分利用了k的潜力。即找出最佳k和q的关系。,由上式解得：,长期成本函数,例：,若一组短期成本函数由下式决定：,即企业在不同阶段的短期成本函数，求长期成本函数。,3.学习曲线和成本次可加性,一、学习曲线,如果厂商的生产规模并未发生变化，而其平均生产成本却长时期地连续下降，那又该如何解释呢?由于厂商能够在生产过程中不断获取有关经验，提高生产效率，因而其平均生产成本通常会随厂商累积产出的增长而下降。形成这种现象的具体原因是存在学习效应，又称为“干中学
5、”（learning by doing）。,1.工人对设备和生产技术有一个学习与熟悉的过程，生产实践越多，他们的经验就越丰富，技术就越熟练，完成一定生产任务所需的时间也就越短。2.厂商的产品设计、生产工艺、生产组织会在长期的生产过程中得到完善，走向成熟，这将使产品的成本降低。3.厂商的协作者(如原料供应厂家)和厂商合作的时间越长，他们对厂商的了解越全面，其提供的协作就可能越及时、有效，从而降低厂商的平均生产成本。,学习曲线的形状,O,式中AC是累积产量为Q时厂商的平均生产成本，a,b乃是大于零的常数。a的经济涵义是第一单位产出的平均成本，b则反映厂商学习效应的大小：b越大，平均成本下降的速度越
6、快(即学习曲线越陡)，学习效应越显著；反之，平均成本下降很慢，学习曲线比较平缓，学习效应不显著。,若考虑两个时期1，2。其产量分别为q1,q2。第一期的成本为C1(q1),第二期的成本为C2(q2,q1)。“学习效应”是指。即第一期的产出量越多，则第二期的生产成本会降下来。,有时学习曲线也可用要素的使用量来表示：,例：设有一公司，在累积产量达到20时，测得总用工为200小时；在累积产量达到40时，测得总用工时为360小时，试估计学习曲线。,从L1式中解出A：,因此，学习曲线为：,1.反映规模报酬递增的若干成本变化,二、成本函数的次可加性与规模报酬,考虑只生产一种产品，设C(q)的为企业生产q产
7、量的（最优）总成本。假定成本函数除零点外二阶可微。,（1）若对所有可能的产出量q，C(q)0，则边际成本严格递减。,（2）若对所有的产出量q1和q2，0q1q2，下式成立，则平均成本严格递减。,（3）若对所有的产出量qi，下式成立，则成本函数严格次可加（在一个有限的产量变动范围内，共同生产一组产量的总和比分别生产它们节约成本）。,2.两个定理,【定理1】边际成本在任何地方都递减意味着平均成本也如此。,边际成本递减，则q点的边际成本必定是 范围内边际成本最小值。于是边际成本必小于平均成本。,由于边际成本递减，边际成本小于平均成本，因此，严格递减的边际成本必导致递减的平均可变成本。因此，,【定理2
8、】平均成本在任何地方都递减意味着生产是次可加的。,平均成本在任何地方都递减表示：,由（1）式可得到：,边际成本在任何地方严格递减的条件最强，意味着平均成本严格递减和严格次可加，但逆命题不一定成立。,4.利润函数和供给函数,利润最大化问题：,供给函数,投入品需求函数,一、利润函数的定义,利润函数是下列最大值函数：,利润函数一定是指最大利润是存在的，且它只依赖于产出价格和要素价格。,利润函数只有在规模报酬递减时才存在。,假设生产技术是规模报酬递增的。最大利润为（在p和r给定时）：,规模报酬递增意味着：,两边乘p，同减去：,二、利润函数的性质,（1）对于p递增；（2）对于r递减；（3）对于(p,r)
9、是一次齐次的(k=1)；（4）对于(p,r)是凸的；（5）当(p,r)0时，(p,r)是可导的，并且有霍太林引理：,（因y已是保证利润最大的最优产出选择，因此有：）,（因xi已是保证利润最大的最优产出选择，因此有：）,利润函数是关于(p,r)的凸函数。,（因y已是保证利润最大的最优产出选择，因此有：）,（因xi已是保证利润最大的最优产出选择，因此有：）,三、供给函数的求法,1.从利润函数求供给函数,由霍太林引理，已知生产函数：第一步，求出利润函数；第二步，利润函数对p求一阶偏导，得出供给函数。,例：,已知生产函数为，r1和r2分别为x1与k（固定投入）的价格，p为产品价格。求：,利润函数：,供
10、给函数：,x1*代入方程，得：,由霍太林引理，求供给函数：,此即短期利润函数。,2.从生产函数直接求供给函数,（如果生产函数是严格凹函数,则利润最大化问题有解。先求出条件要素需求函数，再将其代入生产函数，可得到供给函数。）,例：,已知企业的生产函数为：,已知固定投入F=16，求短期供给函数。,解：把F代入生产函数，得：,由利润最大化的一阶条件，得：,代入原生产函数，得到短期供给函数：,显然，若r给定且不变，则供给函数就只表示供给量与产品价格之间的关系。,3.从成本函数求供给函数,若利润最大化问题有解，则一阶条件为：,例：,已知企业的短期成本函数为：,求企业的短期供给函数为。,四、生产者剩余,1
11、.短期生产者剩余,企业参与市场交易与不参市场交易相比的福利改进。,生产者剩余,1.长期生产者剩余,指一个行业的最后进入者的产出为零时（行业边际产出为零），超过正常利润的额外利润，也称为“租”。原因：特殊要素的无可替代性；技术的无可替代性；企业的先发优势。一般地，长期生产者剩余与垄断有关。,一、利润最大化基本条件的表述,A.利润最大化的一阶条件：,附录：,B.利润最大化的二阶条件：,利润的最大化也可以表示为,利润最大化的一阶条件及二阶条件,二、利润最大化的应用边界,利润最大化的条件在使用上有一些基本的限制：(1)当生产函数不能微分时；(2)所有的投入要素都是正值，而且一、二阶条件 仅在最优解的开
12、邻域内有意义，即存在着内点解。当要素取0值时，条件不能满足。(3)可能不存在利润最大化的生产技术。,三、库恩塔克定理,设 是利润最大化问题的非负约束，即,库恩塔克定理与边角解,四、包络定理与霍推林引理,包络定理：是要说明在最优值时的外在参数对于变量的影响。是值函数关于参数的全导数。若 是参数，,霍推林引理,当固定价格水平p时，则 成立。当固定w时，则可以得到：,复习与思考题,1.什么是生产函数？它与生产技术的关系是依靠什么联系在一起的？2.厂商在进行生产的过程中，从企业短期的生产过程来看如何实现厂商所追求的目标？3.就经济学的基本逻辑说明生产函数、供给函数与利润函数的相应关系。4.简要说明利润最大化的基本条件。,
