信号与系统z变换课件.ppt

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1、第10章 Z-变换,The Z-Transform,本章主要内容,1.双边Z变换及其收敛域ROC。,2.ROC的特征，典型信号的ROC，零极点图。,3.Z反变换，利用部分分式展开进行反变换。,5.常用信号的Z变换，Z变换的性质。,6.用Z变换表征LTI系统，系统函数，LTI系统 的Z变换分析法，系统的级联与并联型结构。,4.由零极点图分析系统的特性。,7.单边Z变换，增量线性系统的分析。,10.0 引言(Introduction),10.1 双边 Z 变换,当 时，即为离散时间傅立叶变换。这表明：DTFT就是在单位圆上进行的Z变换。,其中 是一个复数。,一.双边Z变换的定义:,The z-Tr

2、ansform,因此，Z 变换是对DTFT的推广。,也是采样信号的拉氏变换：,二.Z变换的收敛域（ROC）：,Z变换与DTFT、拉氏变换一样存在着收敛的问题。,1.并非任何信号的Z变换都存在。,2.并非Z平面上的任何复数都能使 收敛。Z平面上那些能使 收敛的点的集合，就构成了 的收敛域（ROC）。,单位样值序列的Z变换（与 z 无关，可取任意点值，收敛域为整个Z平面）,1 因果序列,时收敛,当 时，ROC包括了单位圆。,此时，的DTFT存在。,显然有,Case:0a1,阶跃序列,正弦、余弦序列 令，则 令，则 根据，可以得出,例：解：,2 反因果序列,ROC:,3 双边序列,一般情况下，双边序

3、列 的ROC是 Z 平面上一个以原点为中心的圆环。,4 有限长序列，只在 上有值。,有限长序列变换的收敛域是至少为,例：,有限长序列的收敛域分以下几种情况：时，序列的收敛域为：，包括点；时，序列的收敛域为：不包括点；时，序列的收敛域为：。,序列的收敛域大致有以下几种情况：(1)对于有限长序列，其双边z变换在整个平面，可能不含0和；(2)对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域含；(3)对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域含0即原点；(4)对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；,没有正幂项,没有负幂项,正幂项,负幂项,结 论：,1）Z变换存在着收敛问题，不是任何信号都存在Z变换，也不

4、是任何复数Z都能使 收敛。,2）仅仅由 的表达式不能唯一地确定一个信号，只有 连同相应的ROC一道，才能与信号 建立一一对应的关系。,3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的环形区域。,4）如果，则其ROC是各个 的ROC的公共部分。若没有公共区域则表明 的Z变换不存在。,5）若 的ROC包括单位圆，则有,10.2 Z 变换的ROC,The Region of Convergence for the z-Transform,右边序列和左边序列ROC的特征：,1.右边序列的ROC是某个圆的外部，但可能不包括。,则,设 是右边序列，定义于，,当 时,由于 的展开式中有若干个Z 的正幂项，此

5、时 不能为。,例如，因果序列的ROC是某个圆的外部包括,若，则有,5.左边序列的ROC是某个圆的内部，但可能不包括。,例如，反因果序列的ROC是某个圆的内部包括0,时，序列的收敛域不包括z=0,ROC是否包括，是 是否反因果的标志。,ROC是否包括，是 是否因果的标志。,6.双边序列的Z变换若存在，则ROC必为一环形区域,例.,在 时，两部分的收敛域无公共部分，表明此时 不存在。,时，ROC为,若b0?,例.,若其ROC为：,0和处收敛性规律：n的取值范围包含n0 时，则Z变换出现负幂项，列的收敛域不包括点n的取值范围既含n0时，序列的收敛域既不包括，也不包括,例：求下列各式的Z变换，并注明其

6、收敛域。解：注意0 和处的收敛性。收敛域为 收敛域为,收敛域为 收敛域为 收敛域为,10.3 Z-反变换,一.Z-反变换：,The Inverse Z-Transform,1.部分分式展开法：,二.反变换的求取：,当 是有理函数时，可将其展开为部分分式,例：求 的逆变换 的序列 的序列。解：当 时，第二 项代表因果序列，所以 当 时，故,例：,将 展开为部分分式有：,如果极点为高阶极点呢？,国内教材介绍的部分分式法1.基本公式：因果序列反因果序列,严格的证明需要z域微分特性。,2.基本原理：（真分式情形）,第一步X(z)除以z；第二步，对 进行部分分式展开,例：求 可能的收敛域及对应的逆变换解

7、：当，序列为左边序列；当，序列为因果序列。,例：求 可能的收敛域及对应的逆变换。解：当 时，序列为反因果序列；当 时，序列为双边序列；当 时，序列为右边序列。,2.幂级数展开法:（长除法）,由 的定义，将其展开为幂级数，有,展开式中 项的系数即为。当 是有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为幂级数。,由于右边序列的展开式中应包含无数多个Z的负幂项，所以要按降幂长除。,由于左边序列的展开式中应包含无数多个Z的正幂项，所以要按升幂长除。,对双边序列，先要将其分成对应信号的右边和左边的两部分，再分别按上述原则长除。,幂级数展开法的缺点是当 较复杂（含多个极点时）难以得出 的闭式。,例：求 的逆变换

8、。的序列 的序列 解:(1)，降幂排列(2)，升幂排列,例求：的逆变换。的序列 的序列。解:(1)，降幂排列(2)，升幂排列,当ROC包括 时，Z 变换在单位圆上的情况就是，因此也可以利用零极点图对其进行几何求值。,10.4.由零极点图对离散时间傅立叶变换几何求值,Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot,其方法与拉氏变换时完全类似：,考查动点在单位圆上移动一周时，从-,各极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可反映系统的频率特性。,例1.已知一阶系统，其单位脉冲响应为，分析其频率特性,当

9、时，ROC包括单位圆（稳定性要求）。,系统函数,因此频率响应为,显然，取决于 的变化。,当 时，有最小值。,随 呈单调变化。,在 处，有最大值。,(0,)上,(-,0)偶对称,Case 1,幅频特性,相频特性,一阶系统的频率特性：,越小，极点靠原点越近，系统的频率响应越平缓，系统的带宽越宽；此时 衰减越快。,越大，极点靠单位圆越近，系统频响越尖锐，频响的极大值越大，系统带宽越窄，相位的非线性程度越厉害。,可以看出：,若，则系统呈“高通”特性；若，则系统呈“全通”特性。,离散系统各种频响特性注意：要看，实际看 低通 高通带通,带阻全通,例：求下图所示离散系统的频响。,解：，系统稳定。,低通特性,

10、例 求下图离散系统的频响特性，并指出类型。设解：该系统的z域方程为系统函数为,，系统函数具有一对共轭极点与一对共轭零点，,且极点与零点模互为倒数，辐角相等。,系统因果稳定性要求b21,故该系统为全通系统（幅频特性为常数）,结论：零点和极点关于单位圆镜像对称分布（极点在单位圆内，零点在单位圆外，模互为倒数，辐角相等）的系统是全通的。,频响特性：,Z变换的许多性质与DTFT的性质相似，其推 论方法也相同。这里主要讨论其ROC的变化。,则,：包括,10.5 Z变换的性质,1.线性：,Properties of the Z-transform,如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，则ROC可能会扩大。

11、,例：求 的Z变换。解：,2.时移：,但在 和 可能会有改变。,由于信号时移可能会改变其因果性，故会使ROC 在，有可能改变。,若,则,3.Z域尺度变换：（序列的指数加权）,若,则,当 时，即为频移特性。,当 时，,4.时域反转：,若,则 的ROC为,6.共轭对称性：,当 是实信号时，于是有,表明如果 有复数零极点，必共轭成对出现。,若,则,包括,如果在相乘时出现零极点抵消的情况则ROC可能会扩大。,该性质是LTI系统Z变换分析法的理论基础。,则,7.卷积性质：,若,例：求 求解：,8.Z域微分：（或时域线性加权）,若,则,证明：,例：求的 Z变换 解：,例：,解：,初值定理适用于右边序列，即

12、适用于nN(N为整数)时x(n)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值x(N),而不必求得原序列。,对于右边序列x(n)，当nN时，x(n)=0，,a|z|,则序列的初值,特例：对因果序列 x(n)，,教材的初值定理,9.初值定理：,如果 是因果信号，且在 不包含奇异函数，则,初值定理的证明：对于右边序列：nN时，x(n)=0，则 因此有显然,若 是右边信号，且，除了在 可以有一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则,证明：,在单位圆上无极点,除了在 可以有 单阶极点外，其它极点均在单位圆内，,10.终值定理：,终值定理也适用于右边序列,如果 是因果信号，且在 不包含奇异函数，除了在 可以有

13、单阶极点外，其余极点均在S平面的左半边，则,根据时移性质,10.6 常用信号的Z变换对,10.7 利用Z变换分析与表征LTI系统,一.系统特性与 的关系:,（表10.2）,Some Common Z-Transform Pairs,Analysis and Characterization of LTI Systems Using Z-Transforms,LTI系统的特性可以由 或 描述，因而也可以由 连同ROC来表征。,1.因果性：如果LTI系统是因果的，则 时 有 所以,的ROC是最外部极点的外部，并且包括。,称为系统函数。系统的特性应该在系统函数中有所表现。,因此，因果稳定的LTI系统

14、其 的全部极点必须位于单位圆内，反之亦然。当 是关于 Z 的有理函数时，因果性要求 的分子阶数不能高于分母阶数。?,例如 不是因果信号,即H(z)不能出现正幂项，ROC包括,3）由 得出 并确定它 的ROC包括。4）对 做反变换得到。,二.LTI系统的Z变换分析法：,1）由 求得 及其。2）由系统的描述求得 及其。,分析步骤：,是一个有理函数。,的ROC需要通过其它条件确定，如：,1.系统的因果性或稳定性。2.系统是否具有零初始条件等。,三.由LCCDE描述的LTI系统的:,对方程两边做Z变换可得：,例：由下列差分方程画出网络结构，并求其系统函数 H(z)和单位脉冲响应 h(n)。,解：由方程

15、可得,FIR,Finite Impulse Response,绝对稳定，线性相位，实现简单,解：由方程可得,利用Z变换的性质可得,IIR,Infinite Impulse Response,幅频特性好，但稳定性差，设计复杂,例:某因果稳定系统的系统函数为有理函数，它在0.5有一个极点，且在单位圆上某处有一个零点，其余零极点不知。判断下列说法：h(n)0.5n的离散傅立叶变换收敛；对某一有H(ej)=0h(n)有限长；是一稳定系统的单位脉冲响应；h(n)是实序列；,x无法判断,一.系统互联的系统函数:,ROC包括,10.8 系统函数的代数属性与方框图表示,System Function Alge

16、bra and Block Diagram Representations,1.级联：,ROC包括,3.反馈联接：,2.并联：,由系统框图可列出如下方程：,ROC：包括,由LCCDE描述的LTI系统，其系统函数为有理函数，可将其因式分解或展开为部分分式。,二.LTI系统的级联与并联结构：,1.级联型：,其中 是二阶（或一阶）系统函数。,将 因式分解，在无重阶零极点时可得,N为偶数时,由每个 可得子系统的差分方程和时域框图。,LTI系统的级联型结构,由此即可得整个系统的级联型结构：,2.并联型：,将 展开为部分分式，在无重阶极点时有,N为偶数时,由每个 可得子系统的差分方程和时域框图。,由此即可

17、得整个系统的并联型结构：,例 已知,求系统的差分方程并画框图,直接型,直接型,10.9 单边Z变换：,一.单边Z变换：,单边Z变换是双边Z变换的特例，也就是因果信号的双边Z变换。因此单边Z变换 的ROC一定是最外部极点的外部，并且包括。,The Unilateral Z-Transform,所以在讨论单边Z变换时,不再强调其ROC。它的反变换也一定与双边Z变换的反变换一致。,如果信号 不是因果序列，则其双边Z变换 与单边Z变换 不同。,只要所涉及的信号是因果信号，单边Z变换除了时移特性与双边Z变换略显不同外，其它性质与双边Z变换的情况是一致的。,二.单边Z变换的性质：,时移特性：,若,则,Proof:,同理可得：,单边Z变换在将LCCDE变换为代数方程时，可以自动将方程的初始条件引入，因而在解决增量线性系统问题时特别有用。,三.利用单边Z变换分析增量线性系统：,则,例已知，。求 与解：两边取z变换 其中,若给定 及，先等价为，的格式再求解。例 已知，求 解：并求得其中,10.3210.36 10.38,