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1、浙江大学,复变函数与积分变换,贾厚玉,浙江大学,第一章 复数与复变函数,第二章 解析函数,第三章 复变函数的积分,第四章 级数,第五章 留数,第六章 保角映射,第七章 Laplace变换,浙江大学,第一章 复数与复变函数,复数及其代数运算,复数的表示,复数的乘幂与方根,复平面点集与区域,复变函数,复变函数的极限与连续,浙江大学,复数及其代数运算,a)复数：一对有序实数（x,y），记为 z=x+i y,规定：,浙江大学,b)按上述定义容易验证 加法交换律、结合律 乘法交换律、结合律和分配律 均成立。,浙江大学,c)共轭复数：,互为共轭复数,容易验证,浙江大学,d)复平面,一对有序实数（x，y）,
2、平面上一点P,复数 z=x+i y,x,y,z=x+i y,O,实轴、虚轴、复平面,Z 平面、w 平面,浙江大学,e)复数的几种表示法,几何表示：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复 数的加减与矢量的加减一致。,x,y,O,加法运算,浙江大学,x,y,O,减法运算,浙江大学,复数的三角形式与指数形式,利用极坐标来表示复数z，,则复数 z 可表示为,三角式：,指数式：,复数的 模,复数的 幅角,浙江大学,讨论：,复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有无穷多个幅角。通常把 的幅角称为Arg z的主值。记为,2）复数“零”的幅角没有意义，其模为零。3）当 r=1时，复数z称为单位复数。,利用复
3、数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。,浙江大学,设,定理,注意多值性,x,y,O,浙江大学,指数形式表示,推广至有限个复数的乘法,浙江大学,除法运算,或者,浙江大学,例：已知正三角形的两个顶点为,求三角形的另一个顶点。,x,y,O,浙江大学,复数的乘幂,n个相同复数z的乘积成为z的n次幂,复数的方根,设,为已知复数，n为正整数，则称满足方程,的所有w值为z的n次方根，并且记为,浙江大学,设,则,即,浙江大学,当k0，1，2，n1时，得到n个相异的根：,浙江大学,例：,即,浙江大学,复球面与无穷远点,z,P,N,球极平面射影法,取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于
4、N点（称为北极或者球极）。,P,对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。,浙江大学,从几何上可以看出：,Z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈，这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。,由此我们引进一个理想“点”与北极N对应。称之为无穷远点,扩充复平面 复平面,约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外,等也没有意义。,N,浙江大学,复平面点集与区域,（1）邻域,（2）去心邻域,（3）内点,点z是点集E的内点,存在z的某个r邻域含于E内，即,（4）外点,点z是点集E的外点,存在z的某个r邻域不含
5、E内的点,浙江大学,（5）边界点,点z 既非 E 的内点，又非 E 的外点,边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点，又同时含有E的外点。,（6）开集,点集E中的点全是内点,（7）闭集,开集的余集,空集和整个复平面既是开集，又是闭集。,（8）连通集,E中任意两点可以用一条全在E中的曲线连接起来。,（9）区域,非空的连通开集,浙江大学,（10）有界区域,如果存在正数M，使得对于一切D中的点z，有,（11）简单曲线、光滑曲线,点集,称为z平面上的一条有向曲线。,则称 D为有界区域。,浙江大学,简单曲线：,简单闭曲线：,光滑曲线：,（12）单连通区域,设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线
6、的内部仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。,没有交叉点。,浙江大学,平面图形的复数表示,很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。,例：,Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为,Z平面上以 z_0为中心、R为半径的圆周方程为,浙江大学,例：,（1）连接z1 和z2两点的线段的参数方程为,（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为,（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为,浙江大学,例：,考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。,（1）,该方程表示到点2i和2距离相等的点的轨迹，所以方程表示
7、的曲线就是连接点2i 和2的线段的垂直平分线，它的方程为y=x。,（2）,设 z=x+iy,浙江大学,（3）,表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角,的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴,正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点）,（4）,浙江大学,例：指出不等式,中点z的轨迹所在范围。,解：,因为,所以,于是有,浙江大学,它表示在圆,外且属于左半平面的所有点的集合,浙江大学,复 变 函 数,复变函数的定义,设 D 是复变数z的一个集合，对于 D 中的每一个z，按照一定的规律，有一个或多个复数w的值与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数，记做,单值函数 f(z)
8、:,对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。,多值函数 f(z):,对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之对应。,浙江大学,定义：,我们主要考虑单值函数,f(z)是单射（或一对一映射）,对于任意,f(z)是满射,f(z)是双射,f(z)既是单射，又是满射。,浙江大学,例：,浙江大学,浙江大学,浙江大学,复变函数的极限与连续,函数的极限,定义：设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域,如果有一确定的数A存在，对于任意给定的,相应地必有一正数,使得当 时有,那么称A为f(z)当z 趋向z0时的极限，记作,浙江大学,几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的,象点 f(z)就落入
9、A的预先给定的小邻域内。,关于极限的计算，有下面的定理。,注意：z趋于z0的方式是任意的，就是说，无论z从什么方向，以何种方式趋向于z0，f(z)都要趋向于同一个常数。,浙江大学,定理一,定理二,浙江大学,例,证明函数,当z趋于0时的极限不存在。,解法一,令z=x+iy,则,所以极限不存在。,浙江大学,解法2,利用复数的三角表示式,当z沿着不同的射线,趋于零时，f(z)趋于不同的值。,如,极限不存在。,浙江大学,函数的连续,如果,那么f(z)在z0处连续。,如果 f(z)在D内各点都连续，那么 f(z)在 D 内连续。,定理：f(z)在z0处连续的充分必要条件是 u(x,y),v(x,y),在（x0，y0）处连续。,连续函数的四则运算、复合运算都成立。,有界闭区域上的连续函数的最值定理。,浙江大学,例：,例：,研究函数 f(z)=arg z 在复平面上的连续性,因为,故在原点不连续。,不连续，理由是分别从上半平面与下半平面趋于负实轴时，极限值不等。,其余地方均连续。,浙江大学,例：,证明：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0,则z1，z2，z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。,证明：,由于,所以 z1，z2，z3,位于单位圆上。又,得,即,补充例子,浙江大学,同理可以得到,得证。,浙江大学,证明,
