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1、复数的引入 数的概念的扩展,2011年4月15日,1,复数的引入 数的概念的扩展2,一、数的概念的产生和扩展过程,原始社会，由于计数的需要产生了自然数的概念，随着文字的产生和发展，出现了记数的符号：1、2、3、4、，进而建立了自然数的概念。自然数的全体构成自然数集.,此时只有自然数，其它的数如正数、负数、分数甚至连零都还没有出现，人们的一切活动也都用自然数表示，在计算时也只能进行加法和乘法运算。,2,N一、数的概念的产生和扩展过程 原始社会，由于计数的需要,一、数的概念的产生和扩展过程,但随着生产活动的不断发展，有些活动就无法用数来表示了：,如某人本来有五斗粮食，有一天他因故损坏了别人房屋须赔
2、偿十斗粮食，他现在还有几斗粮食？,这一问题在当时是无法用数学解决的，因为 510 N,数集（自然数集）面临着 第一次扩展,3,一、数的概念的产生和扩展过程 但随着生产活动的不断发展，,一、数的概念的产生和扩展过程,自然数集如何扩展呢？,引进“新数”：0和正负整数，组成新数集整数集 Z=0，1，2，,确定数集扩展的原则：第一，要能解决实际问题或数学内部的矛盾。第二，要保留原有数集的性质，特别是它的运算性质，同时又增加一些新的运算性质。,引入新概念:零和正负整数,数集N扩展了!,于是：5105 Z,4,一、数的概念的产生和扩展过程 自然数集如何扩展呢？引进“,一、数的概念的产生和扩展过程,在整数集
3、的范围内，某些生产活动可以用减法运算表示了，但类似“三担粮食均分给七人，每人可得多少担粮食？”的问题仍然无法解决。,因为 37 Z,同学思考:此时怎么办？,5,N一、数的概念的产生和扩展过程Z 在整数集的范围内，某些,一、数的概念的产生和扩展过程,数集（整数集）第二次扩展,表示新数的符号：如 有理数Q=0，1，2，-,根据数集扩展的原则，引入新数“分数”及,引入新概念:分数数集Z又扩展了!,6,一、数的概念的产生和扩展过程数集（整数集）第二次扩展表示新数,一、数的概念的产生和扩展过程,7,N一、数的概念的产生和扩展过程ZQ7,一、数的概念的产生和扩展过程,整数集的扩展和有理数集的建立，大约是在
4、公元前五世纪左右，由当时古希腊伟大的数学家毕达哥拉斯和其创立的非常有名的毕达哥拉斯学派最终完成。,8,一、数的概念的产生和扩展过程 整数集的扩展和有理数集的建,一、数的概念的产生和扩展过程,当时毕达哥拉斯学派认为：“万物皆数”（指整数），数是现实的基础，是严整性和次序的根据，是在宇宙体系里控制着的永恒的关系。宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比；世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了。,9,一、数的概念的产生和扩展过程 当时毕达哥拉斯学派认为：“,一、数的概念的产生和扩展过程,毕达哥拉斯学派学派的一项重大贡献：,证明了勾股定理,10,一、数的概念的产生和扩展过程 毕达哥拉斯学派学
5、派的一项重,一、数的概念的产生和扩展过程,不久，毕达哥拉斯学派成员希伯斯发现：边长为1正方形的对角线长m既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数,希伯斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们的恐慌引起了第一次数学危机。,为了维护学派的威信，他们严密封锁希伯斯的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑。在得知希伯斯泄露其发现并逃跑时，毕达哥拉斯的忠实门徒四处缉拿希伯斯，最终在地中海的一条海船上发现了希伯斯，他们残忍地将希伯斯扔进地中海。,11,一、数的概念的产生和扩展过程 不久，毕达哥拉斯学派成员希,一、数的产生和扩展过程概念的,希伯斯发现：若：x2=2
6、则：x Q,为解方程 x2=2 引入“2的平方根概念”，并用符号“”表示 于是，x2=2 x=同时把它（即）称为无理数,从而引发：数集（有理数集）第三次扩展,12,一、数的产生和扩展过程概念的 希伯斯发现：若：x2=,一、数的概念的产生和扩展过程,数集（有理数集）第三次扩展,引进“新数”：无理数 及其符号表示方法 如：实数R=0，1，2，-,引入新概念:无理数,数集Q进一步扩展了!,13,一、数的概念的产生和扩展过程数集（有理数集）第三次扩展,一、数的概念的产生和扩展过程,14,N一、数的概念的产生和扩展过程ZQR14,通过上述数的概念的扩展过程，可以看到：1、数的概念扩展的动力：解决实际问题
7、数学内部矛盾的需要,2、数的概念发展了，数集也就扩展了,3、因而可以说：数集是随着新数的概念的引入而扩展的，数集的扩展解决了一些运算在原数集内不能适用的矛盾,一、数的概念的产生和扩展过程,15,通过上述数的概念的扩展过程，可以看到：2、数的概念发展了，数,探究：实数集如何进一步扩展呢？,问题1:解方程 x+1 0,所以方程 x=-1 的解为x=i 或x=-i,规定：(1)i 的平方等于-1，即i=-1,解决办法：引入 虚数单位i,R中的负数无法进行开方运算！,二、实数集的进一步扩展,16,探究：实数集如何进一步扩展呢？问题1:解方程,问题2:解方程 x=-2,问题3 解方程(x+1)=-2,x
8、=，x=-,x=-1+,x=-1-,探究：实数集如何进一步扩展呢？,规定：(2)实数可以与 i 进行四则运算，进行 四则运算时，原有的加、乘运算律仍成立。,二、实数集的进一步扩展,17,问题2:解方程 x=-2 问题3,与虚数单位i有关的“新数”的产生,1，iR-即虚数单位i不是实数；,2，i与实数b可以进行通常的乘法运算，,即bi（特别地，0i=0R；b0时，bi R）,3，bi与实数a可以进行通常的加法运算，即 a+bi,b=0时，a+bi=a R；b 0时，a+bi R,引入新概念:虚数单位 i数集R又扩展了!,18,与虚数单位i有关的“新数”的产生1，iR-即虚数,三、复数的概念,(1
9、)对于复数 z=a+bi,其中 i 称为虚数单位,(2)对于复数 z=a+bi(a、bR）,当b=0时，z=a 是实数,当b0时，z=a+bi不是实数，称为虚数,定义:形如a+bi(a、bR）的数 z 称为复数,a 叫做复数 z的实部，记作Re z,即 a=Re z,b 叫做复数 z的虚部，记作Imz,即 b=Im z,当b0且a=0时，z=bi,称为纯虚数,19,三、复数的概念(1)对于复数 z=a+bi,其,四、复数集合的分类,复数 a+bi(a,bR),20,四、复数集合的分类 复数 实数(b=0)虚数(b0,C,四、复数集合的分类,21,NZQRC四、复数集合的分类21,五、回顾与小结
10、,正整数零负整数,整数 分数,复数z=a+bi（a、bR）,虚数b0,纯虚数（a=0）,非纯虚数（a0）,22,五、回顾与小结正整数 有理数整数复数z=a+,数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用，以及数集理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。,五、回顾与小结,23,数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成,今天，我们所应用的数集，已经构造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，应想到在数的概念发展
11、的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛。,五、回顾与小结,24,五、回顾与小结24,六、作业,基础题：课本P74 第 1、2、3、4题补充题：复数z=（2m2-5m+2）+（m2-m-2）i，实数m为何值时：（1）z为实数；（2）z为纯虚数；（3）z为虚数分层题：1、复数z=（a2-1）+a（a+1）i（aR）（1）zR的一个充要条件是；（2）z是纯虚数的一个充要条件是；（3）z是虚数的一个充要条件是。,25,六、作业基础题：课本P74 第 1、2、3、4题25,2、A=x|x=m+n,m、nZ，1）、若a=12、b=2+3，求证：abA，abA；2）、试举出两个数x1，x2A，（x20），但 A；3）、给出集合B，A BR，使得对于任意 a、bB（b0），都有 B,26,2、A=x|x=m+n,m、nZ，26,
