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1、线性控制系统工程,第16章,伯德图分析，稳定性，及幅值和相角裕度,第16章 伯德图分析,稳定性 及幅值和相角裕度伯德图中的增益裕度和相角裕度,改变增益的作用是使幅值曲线上下平移，而相角曲线不变。如果 那么,条件稳定,考虑下面的例子：K=0.1 转折频率为 1,0.5,0.34奈奎斯特稳定性判据：当相角为-180o时，如果系统幅值小于或等于1，那么这个系统是稳定的。在伯德图中，单位幅值对应于 MdB=0。例子中:相位为-180时，幅值约为 18dB，因此系统是稳定的。,0.01 0.1 1.0 10,40200-20-40,-90,-180,-270,图16.1 例子系统的伯德图,0,相位穿越点
2、,增益穿越点,增加K 将使幅值曲线向上平移动，从而使幅值穿越点向右移。但是相角穿越点保持不变。系统最终处在临界不稳定点上。计算临界不稳定时系统的幅值。,90,180,270,K1,K2,K c,K3,1,K1,K2,K3,Kc,Re,I m,Re,图.16.2 具有变化K的系统伯德图、奈奎斯特图和根轨迹,在相位-180时，K dB 幅值约为 18dB，如果系统不稳定：这个结果接近于先前分析的结果K=0.832.误差是由伯德图的相角曲线用直线近似引起的。,伯德图中的增益裕度 增益裕度(用分贝表示)为 Kc 的分贝值与增益K的分贝值之差。,伯德图中的增益裕度和相角裕度,伯德图中的相位裕度：-相位裕
3、度是使相角曲线向下移动 直到增益和相角穿越点发生在同一频率时的纯相角滞后量。-在图16.1中,在伯德图中获得增益裕度和相位裕度:增益裕度是通过相角穿越频率得出的。它是该频率处的幅值分贝值与0dB线之间的差值(用分贝表示)。,相角裕度是通过增益穿越频率得出的，它是此频率处的相角与-180o线之间的差值。,0db,图.16.3 增益裕度和相位裕度,GM,PM,一般开环传递函数 当 趋于 0 时,系统的型和从伯德图得到稳态误差,0型系统,图.16.4 0型系统的伯德图,1型系统 幅值增益 如果k=1，那么当=1 时，图形经过Mdb=0dB线。,-20db/decade,图.16.5 1型系统的伯德图
4、,Kv的值可以通过测量在=1处的增益来获得。如果其他环节在频率=1之前作用于对数幅频特性，那么应该用低频渐近线的延长线求出。,-20db/decade,图.16.6 1 型系统的另一种伯德图,2型系统 如果 ka=1。对数幅频特性在当=1时，其低频段或它的延长线会以40db/decade 的斜率穿过 零分贝线。Ka 的值可以通过测量=1 处的增益值来获得。,-40db/decade,图.16.7 2 型系统的伯德图,相角裕度是确定系统稳定性的唯一可靠的参数。无频率穿越点：-考虑下面的例子-相角绝不会穿过-180 线。但是相位裕度可以从增益穿越点 PM=45处获得，系统是稳定的。,进一步讨论增益
5、裕度和相位裕度,0.01 0.1 1.0 10,40200-20-40,-90,-180,-270,图16.8 无相位穿越点的伯德图,0,K=1,MATLAB 仿真,用根轨迹来验证：,Re,I m,-10,-1,图.16.9 系统的根轨迹图,多个频率穿越点：考虑下面的例子 增益穿越频率在=1处,相角裕度为-45,可判断出系统是不稳定的。,这里有两个相位穿越频率，分别为=3 和=300。在每个频率处增益裕度是正的，表明系统是稳定的系统。但相位裕度判断系统的确是不稳定的。,0.01 0.1 1.0 10,40 0-40-80,-90,-180,-270,图16.10 具有两个相位穿越点的系统,0,
6、GM1=K(db),K=1,GM2=K(db),-20,-40,-40,-60,PM,MATLAB 仿真,用根轨迹来验证：在kk2时，系统再次不稳定。,图.16.11 系统的根轨迹图,单一频率穿越点:增加相位考虑下面的例子相位裕度是负的，表明系统是不稳定的。增益裕度是正的，表明系统是稳定的。考虑相位裕度，系统是稳定的。,0.1 1 10 100,40 0-40-40,-90,-180,-270,图16.12 具有单一渐增相位穿越点的系统的伯德图,0,-40,-60,PM,GM=K1(db),MATLAB 仿真,从根轨迹得到证实，系统是条件稳定的。当kk1时，系统是不稳定的。,3 poles,2
7、 zeroes,-2,K=K1,K=1,Re,I m,图.16.13 系统的根轨迹图,通过伯德图判断稳定性的可靠方法是:-如果系统有正的相角裕度，那么系统是稳定的。-相角裕度是由伯德图判定系统稳定性的唯一可靠的方法。,改进的奈奎斯特判据：根据沿着频率增加方向的频率特性，观察临界点是在其左边还是右边通过，是由极坐标图判断稳定性的唯一可靠的方法。,当 k k1时，系统是稳定的,-1,Re,I m,图.16.14 稳定系统的奈奎斯特图,问题:如图所示的系统，画出当K=45时的伯德图，并确定增益裕度和相位裕度。计算使系统稳定的最大K值，并用劳斯阵列验证其结果。,例题 16.1,K,-,+,R,C,图.
8、SP16.1.1,解:开环传递函数：转折频率发生在=2 和=3处，将会在以下的频率范围画出伯德图：,0.1 1 10 100,20 0-20-40,-90,-180,-270,图.SP16.1.2,0,PM,GM,MATLAB 仿真,获得最大值 Kmax=NK用劳斯阵列来验证结果：特征方程为 误差与增益裕度的精确性有关,1,21,问题:一个单位反馈控制系统，其开环传递函数为：画出当 K=0.8时系统的伯德图，并确定增益裕度和相位裕度。使系统的相位裕度约为 60的K为何值?解:,例题 16.2,转折频率:=1(两次),=5(零),n=2(二阶系统的转折频率).将在以下频率范围内画出伯德图：画出每一个环节的增益和相位曲线,0.01 0.1 1.0 10,40200-20-40,-90,-180,-270,图16.2.1,0,0.01 0.1 1.0 10,40200-20-40,-180,-360,图16.2.2,0,PM=60,GM=3db,3db,二阶环节,频率比=/n,频率比=/n,增益裕度为 3 dB，相位裕度约为35。为了给系统提供一个 60的相位裕度，幅值曲线需要下平移约3dB,作业：P339 16.1 a.P339 16.3 e.,
