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1、第六章 模拟滤波器,内容提要 信号无失真传输条件 滤波器的理想与实际特性 滤波器设计方法 巴特沃思滤波器设计 切比雪夫滤波器设计,返回目录,6-1 滤波器原理概述,1.滤波器概述,在信号处理中，滤波器技术是用以从接收到的各种信号中提取所需要的信号，抑制或消除不必要的干扰信号。,滤波器分,模拟滤波器,数字滤波器,处理的信号均为模拟信号,处理的信号均为数字信号,下面以工业控制中常用的简单RC无源低通滤波器说明其原理,滤波器原理,如下图示RC电路的低通滤波特性是由其频率响应特性决定的,滤波器原理,具体分析如下：,上式两边进行拉普拉斯变换，并求传递函数H(s),得,令 s=j 代入上式得：,其幅频和相
2、频特性为,滤波器原理,经典的模拟滤波器种类很多，一般按其功能分为：低通滤波器（LP），高通滤波器（HP），带通滤波器（BP），带阻滤波器（BS），全通滤波器（LP）。分别示于后。,滤波器原理,低通系统,带通系统,高通系统,带阻系统,全通系统,滤波器幅频响应分类,2.信号不失真传输条件,信号不失真条件：,y(t)=K x(t-t0),K为常数，表示输入与输出的波形无畸变。,输出波形只是在时间上有一定的滞后。,信号不失真传输条件,对 y(t)=K x(t-t0)两边进行FT有：,上式为线性系统不失真传输条件，即；幅频特性|H()|为一常数K，相频特性()与成正比。如左图示。,信号不失真传输条件,若
3、不满足信号不失真传输条件，线性系统中信号的传输会产生幅度失真和相位失真。,幅度失真：,相位失真：,指系统对信号中各频率分量产生不同程度的衰减，造成各频率分量幅度的相对比例产生变化。,指系统对各频率分量产生的相移与频率不成正比，造成各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。,如图表示一含有基波和二次谐波的输入信号x(t),通过不失真传输系统后，输出信号 y(t)中基波和二次谐波分量的幅度关系保持不变，延迟时间也相同，均为t0，无失真。,信号不失真传输条件,对上图具体分析如下：设 x(t)表达式为,当其通过一线性系统后，各谐波分量幅度均放大倍，同时各频率分量产生相同的相移，输出信号y(t)为,为使基
4、波和二次谐波产生相同的延迟时间t0，应有,说明谐波的相移应满足以下关系,信号不失真传输条件,将以上关系推广到高次谐波的情况，得出结论：为使信号传输时不产生相位失真，信号通过系统时各次谐波的相移必须与其频率成正比。即,而信号通过系统的延迟时间即为相频特性的斜率，又称群延迟。,综上所述，不失真传输系统的理想条件为：系统应具有无限带宽的恒定幅频特性和线性相频特性。,实际系统的频率特性无法满足上述理想条件。一般只能要求在信号占有的有效频带范围内，系统的幅频和相频特性基本上满足要求即可。,3.滤波器的理想特性与实际特性,理想滤波器应具备完全抑制无用的干扰信号，不失真传输有效信号的功能特性。从理想滤波器频
5、域范围考虑在一般情况下有用信号和无用信号分别占有不同频带。因此理想滤波器只须在有用信号的频带内保持幅值为一常数，相位为线性。而在该频带以外幅值应下降为零，相位则无关紧要。故称理想滤波器中使信号容易通过的频带为通频带，抑制信号通过的频带为阻带。理想滤波器是一个非因果系统，因此是物理不可实现的，下面以一个例子加以说明。,设一理想低通滤波器的频率特性表示为,其中：,c 理想低通滤波器通带截止频率；td 延迟时间。,以下通过理想低通滤波器的冲激响应进行分析，并设 K=1；,滤波器的理想特性与实际特性,h(t)波形示于后面的图中。从图中可见在 t=0 瞬间输入信号为一单位冲激激励信号(t)，在延迟了 t
6、0 后响应h(t)波形才达到最大值。且当t0 时，h(t)0，说明当t0 时也存在响应，不符合因果系统条件，因此该理想滤波器物理上无法实现。,滤波器的理想特性与实际特性,因果性在时域中表现为响应必须出现在激励之后。因果系统的幅频特性|H()|满足：,理想低通滤波器的冲激响应,且还应满足下面关系式：,称之为“佩利-维纳”准则,不满足因果性,滤波器的理想特性与实际特性,可以看出，如果系统的幅频特性|H()|在某一有限频带中为零，则|ln|H()|,“佩利-维纳”准则式中的积分不再是有限值，而是趋于无穷大，系统不满足因果性故在物理上不可实现。,结论：理想滤波器都是物理上不可实现的。,如果系统是物理可
7、实现的，其幅频特性只能在某些频率点上为零，而不能在一个有限频带内为零。,虚线表示：理想滤波器,实线表示：实际滤波器,6-2 传递函数设计的一般方法,1.幅度平方函数及性质,通过求|H(j)|2 寻找|H(s)|，从而求出 h(t)=-1H(s)。,由于|H(j)|具有共轭对称性，即,得,令,称|H(j)|2 为幅度平方函数,上式说明幅度平方函数是以为变量的有理函数,2.由幅度平方函数A(2)求传递函数H(s),按幅度平方函数和传递函数的关系，得,比较以上两式，得,由上式可知，将幅度平方函数 A(2)中的 2 用-s2 代入即可求出A(-s2)，并求出其零极点再恰当的分配给H(s)和H(-s)，
8、便可求出H(s)。,6-3 巴特沃思滤波器,1.巴特沃思滤波器的幅频特性,巴特沃思滤波器的幅度平方函数定义为：,或,式中：n为正整数，c为截止角频率。,可见 c 对应的|H(c)|，其衰减为(c)=-20lg|H(c)|=3dB,称c 是滤波器电压-3dB点或半功率点。,由巴特沃思滤波器特性曲线得出不同阶次的滤波器幅频特性有以下特点：,巴特沃思滤波器的幅频特性,2.巴特沃思滤波器传递函数与极点分布关系,在=0处|H(j)|的前(2n-1)阶导数都为零，表明巴特沃思滤波器在=0附近的一段范围内是非常平直的。,在=c处|H(j c)|=0.707，即幅频特性曲线在c点下降3dB。随着n的增加通带下
9、降愈陡峭接近理想，但总是通过-3dB点。当 c 时，幅频特性以20ndB/dec速率下降。,|H(j)|在通带和阻带上的单调性，说明该滤波器有较好的相频特性。,巴特沃思滤波器幅度平方函数|H(j)|2 无零点分布，极点为2n个且成等角度分布在以|s|=c 为半径的圆周上，称为巴特沃思圆。具体分析如后：,（1）最大平坦性,（2）3dB不变性,（3）通带、阻带下降单调性,巴特沃思滤波器传递函数与极点分布关系,令 j=s 有,为求出|H(s)|2的2n个极点，可由下面的推导得出；,当n为偶数，有,当n为奇数，有,巴特沃思滤波器传递函数与极点分布关系,Sk 即为|H(s)|2 的极点，极点分布有以下特
10、点：,|H(s)|2 的n 个极点以 n 为间隔均匀分布在半径|s|=c 的圆周上，称为巴特沃思圆。所有极点以虚轴为对称轴分布，且虚轴上无极点。当 n 为奇数时，有两个极点分布在 s=c 的实轴上；当 n 为偶数时，实轴上无极点，所有极点均以虚轴呈对称分布。,此图给出了 n=3,n=4|H(s)|2极点分布,巴特沃思滤波器传递函数与极点分布关系,为得到稳定的H(s)，取|H(s)|2的左半平面极点；即,将分子、分母分别除cn，并令s=s/c，s 称为归一化复频率；得,巴特沃思滤波器传递函数与极点分布关系,将以上两式的分母多项式制成相应的表格6.3-1，称该分母多项式为巴特沃思多项式（此处 s
11、仍写为 s)。,表6.3-1 巴特沃思滤波器传递函数分母多项式形式,设计者只需根据设计要求，选择合适的滤波器，查索图表即可得到符合要求的传递函数。,6-4 切比雪夫滤波器,巴特沃思滤波器的幅频特性随 的增加而单调衰减，若 n 较小，阻带幅频特性下降较慢。与理想滤波器的特性相差较大。如果要求阻带特性迅速衰减，就需增加滤波器的阶数，则滤波器实现的硬件结构趋于复杂。而切比雪夫滤波器因其在通带内的等波纹幅度特性及在阻带内具有更大的衰减特性，也得到广泛的应用。,故又称之为通带等波纹滤波器,6.4-1 切比雪夫多项式,切比雪夫多项式 Tn()定义：,其中：n 为切比雪夫多项式阶次,若记 x=arccos，
12、则可得|1 时 Tn()的各阶多项式为：,切比雪夫滤波器,切比雪夫多项式,表6.4-1|1时切比雪夫多项式,这里给出了110阶的切比雪夫多项式,切比雪夫多项式曲线,图中分别画出了|1 及 n=1,2,3,4时的切比雪夫多项式T1()T4()的曲线,从切比雪夫多项式 Tn()和上图可以发现 Tn()有如下特点：,切比雪夫多项式特点,（1）|1 时，Tn()在 1 之间波动；（2）=1时，Tn(1)=1；（3）=0时，若n为奇数，Tn(0)=0；若n为偶数，Tn(0)=1；（4）n为奇数，Tn()为奇函数；n为奇数，Tn()为偶函数；（5）|1 时，Tn()随 增加而单调增大，n越大 Tn()增加
13、的越迅速。,Tn()特点,6.4-2 切比雪夫滤波器的幅频特性,定义：,其中：Tn(/c)为切比雪夫多项式；n为滤波器阶数；c 为 通带截止角频率，是被通带所限制的最高角频率，且 c 3dB；0 1 表示通带内幅度波动程度；越小，幅度波动越小。,n=3,n=4,n=5,切比雪夫滤波器的幅频特性,下图为 n=5 时通带内幅频特性曲线与 Tn(/c)的关系：,此为归一化形式的|H(j/c)|与T5(/c)之间关系曲线。,切比雪夫滤波器的幅频特性,由前面两图可以看出|H(j)|有如下特性：,在 0 c 1 之间 在 1(1+2)-范围内等幅波动，越小，波动幅度越小；在=0 时，n 为奇数，|H(0)
14、|=(1+2)-；无论 n 为何值，当=c 时，|H(0)|=(1+2)-；当 c 时，曲线以 20n dB/Dec 呈单边下降趋势，n 越大，曲线衰减越快；由于通带内的起伏性，因而使通带内相位特性也有相应的起伏波动状态，即相位是非线性的，它对信号传输时带来线性畸变，所以在要求群延时为常数时不宜采用该滤波器。,6.4-3 切比雪夫滤波器传递函数与极点分布,利用切比雪夫幅度平方函数定义求其系统函数 H(s)。将=-js 代入 中的定义式得；,为求上式的极点分布需求解方程,考虑到 js/是复变量，因此设,切比雪夫滤波器传递函数与极点分布,将js/=cos代入Tn()中任一个，且令此式等于 j-1，
15、求解、得；,得：,解得满足上式的、为；,切比雪夫滤波器传递函数与极点分布,将、代回求得极点值为；,Sk 就是切比雪夫滤波器幅度平方函数H(s)H(-s)的极点，且实部和虚部分别为；,切比雪夫滤波器传递函数与极点分布,将k 除以 a，k 除以 b，再平方相加得,上式是一个在 S 平面上的椭圆方程，其长轴和短轴分别位于实轴和虚轴上。H(s)H(-s)的极点分布在椭圆的圆周上。给定，n 及 c 即可由k、k 求出全部极点 Sk，取左半平面的极点，可得出H(s)的表达式为,令,其中：Sk=k+jk。A 为待求常数，按定义可得,切比雪夫滤波器传递函数与极点分布,考虑到 Tn(-js/c)是-js/c 的
16、多项式，最高阶次系数为 2n-1，因此常数 A 满足,则切比雪夫滤波器的传递函数 H(s)表示为,下面的图画出了n=3、n=4 时切比雪夫滤波器的极点分布。极点所在的椭圆可以和半径为 a 的圆与半径为 b 的圆联系起来，这两个圆分别称为巴特沃思小圆和巴特沃思大圆。,切比雪夫滤波器极点分布,切比雪夫滤波器的截止角频率c不同于巴特沃思滤波器所规定的-3dB 处角频率，而是通带边缘的频率。当纹波参数 满足,切比雪夫滤波器极点分布,可以求得-3dB 处角频率为,归一化切比雪夫滤波器传递函数,和巴特沃思滤波器一样，令 s=s/c 所表示的 H(s)是归一化的切比雪夫滤波器传递函数。将 H(s)的分母多项
17、式 Bn(s)在不同的 n 时制成如下所示的表格，可供设计时参考。由于纹波参数 的不同，有大量的这种设计表格，此处只列出通带起伏为1dB 时H(s)的分母多项式 Bn(s)与n 的关系。则归一化切比雪夫 I 型低通原型滤波器传递函数为：,6-4 模拟滤波器的频率变换,在实际工程设计中，是利用低通原型滤波器设计高通、带通、带阻滤波器。,主要采用频率变换法,设计流程如下：,所谓频率变换是指其他各类型滤波器的 H(s)与“低通原型滤波器”的 H(s)中的频率自变量之间的变换关系。通过这种频率变换关系，高通、带通、带阻等滤波器的综合设计问题都可转化为低通设计的问题。,模拟滤波器设计流程图,模拟滤波器的
18、频率变换,我们在此只讨论一种低通到高通的变换过程，其余类型的变换可仿此进行，这里不再讨论。按上面的设计流程图，为寻求相应的低通原型，用高通滤波器截止角频率c 对 H(j)进行归一化处理，得到归一化的高通滤波器传递函数Hh(j)。设低通滤波器传递函数为H(s)，角频率为，截止角频率为c；高通传递函数为Hh(s)，角频率为，截止角频率为c；考虑到如下的变换关系；,当 s=j 时,这说明s平面的虚轴正好映射到s平面的虚轴上，其频率变换关系为：,模拟滤波器的频率变换,与的关系曲线如下图所示；,当=0，=0=c，=-c=-c，=c,变换的结果是：低通滤波器原型从直流到截止频率的通带内的幅频特性经变换后被平移到 c 的高通频带内。一般情况下，如选择 c=c，则低通滤波器的截止频率正好为高通通带的导通频率。,模拟滤波器的频率变换,将高通滤波器的特性指标转换成低通原型滤波器的特性指标；根据求得的低通原型指标设计低通原型滤波器的传递函数 H(s)。代入 s=cc/s，即可求出所要求的高通滤波器传递函数 Hh(s)（去归一化）。,利用这种变换方法得到高通滤波器的步骤为：,
