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1、第 4 章 IIR 数字滤波器设计和实现,内容,概述 模拟滤波器设计 模拟滤波器的数字仿真 冲激响应不变法 双线性变换法 高通、带通和带阻 IIR DF 的设计(数字频率变换)IIR 数字滤波器的实现结构 IIR 数字滤波器的应用,滤波器：选择所需的某一或某些频带的信号，而抑制不需要的其它频带的信号。通带：滤波器中使信号通过的频带，通带边缘所对应的频率称为通带截止频率。阻带：抑制信号或噪声通过的频带。过渡带：从通带到阻带的过渡频率范围。,IIR DF：概述,分类：输入输出信号：模拟和数字滤波器单位取样响应或实现网络结构：IIR DF 和 FIR DF 通频带：低通滤波器：只允许低频信号通过而抑
2、制高频信号。例如，可用低通滤波器消除旧音乐录音带中的背景噪声。高通滤波器：只允许高频信号通过而抑制低频信号。例如，声纳系统可用高通滤波器消除信号中的船和海浪的低频噪声，保留目标特征。带通滤波器：允许某一频带的信号通过。例如，数字电话双音多频（DTMF）信号的解码，每个电话键产生一对音频信号，其中一个信号对按键的行编码，另一个对列编码，接收端通过一组带通滤波器来识别每个按键。带阻滤波器：抑制某一频带的信号。例如，从复合电视信号中滤除频分复用的色度信号，以便得到亮度信号。,IIR DF 概述：分类,数字域性能指标通带截止频率 p通带波动Ap(dB，相对指标)或通带容限p(绝对指标)阻带起始频率 s
3、阻带衰减 As(dB，相对指标)或阻带容限s(绝对指标）。,性能指标,最重要的设计参数：频带容限（波动）和频带边缘频率,性能指标,模拟域性能指标：假定模拟滤波器的频率响应为 Ha(j)，则基于平方幅度响应的低通滤波器技术指标为：,其中:为通带内波动系数，p：通带截止频率 A 为阻带衰减参数，s：阻带起始频率 c：3dB 截止频率,性能指标,IIR DF 概述：设计过程,性能指标确定 按需要确定滤波器的性能要求，比如确定所要设计的滤波器是低通、高通、带通还是带阻，截止频率是多少，阻带的衰减有多大，通带的波动范围是多少等。系统函数确定 用一个因果稳定的系统函数(或差分方程、脉冲响应h(n)去逼近上
4、述性能要求。此系统函数可分为两类，即 IIR 系统函数与 FIR 系统函数。算法设计 用一个有限精度的运算去实现这个系统函数（速度、开销、稳定性等)。这里包括选择算法结构，如级联型、并联型、正准型、横截型或频率取样型等等；还包括选择合适的字长以及选择有效的数字处理方法等。实施方法 硬件实现、软件实现。,IIR DF 概述：设计方法,直接设计累试(只适用于简单 DF 的设计)；极点峰值；零点谷值设置其零极点以达到简单的性能要求特点：简单，但是需要经验。优化设计 CAD系统函数 H(z)的系数 ak,bk 或零极点 ci,di 等参数，可采用优化设计方法确定。步骤：优化原则：最小均方误差准则，绝对
5、误差准则等;赋予初值;根据优化准则计算误差;改变参数赋值，再次计算误差，如此迭代下去，直至误差达到最小。,IIR DF 概述：设计方法,(模拟滤波器的设计理论已相当成熟，并可利用完备的图、表加快设计过程),模拟-数字滤波器变换方法：冲激响应不变法和双线性变换法,模拟原型法设计流程,用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器（模拟原型法）,模拟原型法设计流程,利用模拟原型法设计数字滤波器，遵循以下几个步骤：所要求的数字滤波器指标；设计性能相似的模拟滤波器的系统函数 Ha(S)；进行滤波器变换（由s平面z平面），得到 DF 的系统函数H(z）；模拟/数字滤波器变换方法：冲激响应不变法和双线性变换法。也就是
6、根据什么准则把Ha(s)转换为 H(z)。进行数字频率变换，从数字低通滤波器中得到其它类型的数字滤波器。,模拟原型法设计流程,为什么要研究模拟滤波器？DF 是数字信号处理中极为重要的应用，但 DF 是近几十年发展起来的，它在很多方面要使用模拟滤波器的概念和知识；模拟滤波器本身也很有用。因此，在研究 DF 之前，我们先讨论模拟滤波器的特性和用逼近方法求其转移函数。为什么设计滤波器必须用逼近的方法？这是由于滤波器的理想特性是不能实现的，而必须用逼近的方法。,模拟滤波器的设计,理想滤波器,设一滤波器输入信号为 x(t)，其输出为 y(t)，系统的单位冲激响应为 h(t)。若 y(t)=kx(t-td
7、)，k 为常数，则为理想滤波器,频率响应定义为：,理想滤波器的频率响应,理想滤波器的频率响应,理想滤波器的特性通带内对所有频率分量的放大倍数是相同的（这种特性称为全通）：|H(j)|=k线性相位：argH(j)=-td在阻带范围内|H(j)|=0过渡带的宽度为 0。,理想滤波器的频率响应,可实现性？理想低通滤波器的冲激响应可以直接由它的频率响应进行傅立叶反变换得到。我们知道，矩形函数和 Sinc 函数是一对傅立叶变换。因此，理想低通滤波器的冲激响应为一个 Sinc(x)函数，具有无穷长的持续时间。在实际应用中，我们如何构建一个理想滤波器？也就是能否得到一个具有因果冲激响应的理想滤波器？答案是否
8、定的。如果我们所要求的滤波器是因果的和实际可实现的，则它就不是理想的。在离散时间系统中，有类似的理想数字滤波器定义。,理想滤波器的频率响应,频率响应的性质,在模拟滤波设计中 采用不同的多项式去逼近给定的滤波器幅度频率响应 然后由设计的幅度频率响应，得到模拟滤波器的系统 函数 H(s)。,分析证明:在因果系统中，,(1)|H(j)|是 的偶函数,理想滤波器的频率响应,如何由幅度频率响应求系统函数 H(s)呢？,理想滤波器的频率响应,若要求稳定且因果，则 将左半平面的极点作为 Ha(s)的极点；若要求最小相位，则 将左半平面的零点作为 Ha(s)的零点；,(幅度平方函数),(2)系统函数 H(s)
9、的确定因为冲激响应 h(t)是实函数的，因而 H(s)的极点（或零点）必成共轭对存在。H(s)H(-s)的极、零点分布如图所示，成象限对称，虚轴上零点上的“2”表示二阶零点。H(s)H(-s)在虚轴上的极点或零点一定是二阶的，但对于稳定系统，H(s)H(-s)在虚轴上没有极点。,理想滤波器的频率响应,由幅度平方函数|H(j)|2 确定 H(s)的方法如下：由 得到象限对称的 s 平面函数；求零极点：将 H(s)H(-s)因式分解，得到各个零点和极点；极点选择：任何可实现的滤波器都是稳定的，因此将左半平面的极点归于 H(s)，右半平面的极点归于 H(-s)；零点选择：如果要求最小相位延时特性，则
10、 H(s)应取左半平面上的零点；如果没有特性要求，则可将对称零点的任一半（应为共轭对）取为 H(s)的零点；j轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半（应为共轭对）属于 H(s)；增益：按照 H(j)和 H(s)的低频特性的对比，即 H(j)|=0=H(s)|s=0，或高频特性的对比，确定系统的增益常数 K0；由求出的 H(s)的零点、极点和增益常数，确定系统函数 H(s)。,理想滤波器的频率响应,例：根据以下幅度平方函数确定系统函数 H(s)解：其极点为：其零点为：,理想滤波器的频率响应,为了系统稳定，选择：左半平面极点 一对共轭零点作为 H(s)的零、极点，并设增益常数为 K0，则 H(s)为
11、：H(j)和 H(s)的低频特性或高频特性的对比可以确定增益常数。在这里我们采用低频特性，即由 H(j)|=0=H(s)|s=0 的条件可得增益常数为：K0=2最后得到 H(s)为：,理想滤波器的频率响应,问题的提出：滤波器的理想特性无法实现，只能是近似实现。,模拟滤波器的幅频特性,模拟滤波器特性的逼近,模拟滤波器特性的逼近,技术要求LPF 的技术要求包括：截止频率（或通带的频率上限）p 通带内所允许的最大衰减或波动 p 阻带下限频率 s 阻带内所要求的最小衰减 s,注意：这里只提到幅频特性而没有相位问题。因为数字滤波器的设计中用到的是模拟滤波器的幅频特性，而不考虑其相频特性或群时延。,模拟滤
12、波器特性的逼近,衰减特性 衰减特性()是单调变化的或者是波纹状变化。假设 P1、P2 分别为滤波器输入、输出功率，则定义：,则有：,模拟滤波器特性的逼近,特征函数 上式不易直接用多项式和有理式来逼近。因此，需要找一个能够用多项式或有理式逼近的函数，以 K(j)表示，称之为特征函数。,模拟滤波器特性的逼近,逼近方法 若给定了衰减()或|Hd(j)|，则找某种方法逼近()或|Hd(j)|。使|k(j)|2 等于一个以 2 为自变量的多项式或有理式。由此，根据逼近函数（多项式或有理式）的不同，有多种不同类型的滤波器：,目的：相应于特定的逼近方法，制定图表以概括所有的逼近结果，从而简化滤波器的设计。优
13、点：归一化后，Filter 的计算方法不因频率的绝对高低而异，因此，归一化后的图表曲线都能统一使用。,模拟滤波器特性的逼近,巴特沃思低通逼近,幅度平方函数：,c:3dB 截止频率，单位为 rad/sN:待确定的滤波器阶数,特点：（1）3dB 点及其不变性；（2）单调下降性；（3）最大平坦性；,N 越大，越逼近于理想低通滤波器,因此，称 c 为 3dB 带宽（或半功率点截止频率）3dB 点与 N 值无关，称为 3dB 不变性。,3dB 带宽,巴特沃思低通逼近,最平坦函数 因此 B 型特性也称为最平坦特性滤波器。N 的影响 N 越大，B 型滤波器的特性 越接近理想的矩行形状(越陡峭)。有限平面只有
14、极点。（“全极点型”滤波器）,巴特沃思低通逼近,设计过程 性能指标 求滤波器阶数 N；性能指标 3dB 频率点 c 计算极点或查表 归一化系统函数 H(p)；计算或反归一化 系统函数 H(s)；,LPF 技术要求包括：通带频率p 通带内衰减 Ap3dB 阻带下限频率 s 阻带内最小衰减 As,巴特沃思滤波器,巴特沃思滤波器,由给定的通带指标p、Ap 和阻带s、As，求得滤波器的阶数 N：,LPF 技术要求包括：通带频率p 通带内最大衰减 Ap 阻带下限频率 s 阻带内最小衰减 As,滤波器阶数,巴特沃思滤波器,如果给定的是其它频率处（例如p）的指标，则由下列公式求得 3dB 截止频率 c：,由
15、此式确定的滤波器在阻带处正好满足设计要求。,由此式确定的滤波器通带截止频率处正好满足设计要求。类似地，也可以由阻带起始频率s 处的衰减 As 求得 3dB 截止频率 c：,得到滤波器阶数 N 后，由 Ap 或 As 求得 3dB 截止频率 c,由通带截止频率p 处的衰减 Ap 求得 3dB 截止频率 c：,求归一化系统函数 H(p)得到了巴特沃思滤波器的阶数 N 后，就可以确定零极点形式的传输函数 H(s)。,把拉普拉斯变量 s 归一化为 p=s/c，则,巴特沃思滤波器,令上式分母多项式等于零，得到 2N 个极点：,极点的分布特性2N 个极点均匀地分布在 S 平面上半径为 1 的圆周上(非归一
16、化时半径为 c)；极点之间相距/N 弧度；这些极点一半位于 S 平面的左半平面，另一半位于 S 平面的右半平面；极点不落在虚轴上，从/2+/2N 弧度开始。N 为奇数，实轴上有极点，N 为偶数，实轴上无极点,巴特沃思滤波器,求系统函数 H(s)把 p=s/c 带入 H(p)得到实际需要的 H(s)为：,为了使得系统稳定，取 pk 在 S 平面左半平面的 N 个根作为 H(p)的极点，即：,巴特沃思滤波器,图表法模拟滤波器理论已相当成熟，实际中我们更多的是采用查表法，其设计步骤概括起来有以下几个方面：将频率归一化（注意：给出的表格都是以 3dB 点频率 c 为参考频率，如果给定的指标不是c，则需
17、要根据前面的公式计算c）；由归一化频率幅频特性曲线(见图4.7)，查得阶数N；查表4.2，得 H(p)的分母多项式；把 p=s/c 代入分母多项式中，得到对应于真实频率的系统函数 H(s)：,巴特沃思滤波器,巴特沃思滤波器,巴特沃思滤波器,通带截止频率:,通带最大衰减,阻带起始频率:,阻带最小衰减:,例：技术要求：,巴特沃思滤波器,1)将各频率归一化,2)求 N：查归一化幅频特性图(图4.8)，得 N=5；,3)查表4.2，得 H(p)的分母多项式(c栏）,4)对应于真实频率的转移函数 H(s)用,代入分母多项式，得:,图表法,巴特沃思滤波器,计算法,巴特沃思滤波器,由 s 和 As 得滤波器
18、的阶数为：,取整后，得 N=5。,H(p)H(-p)的极点为：,巴特沃思滤波器,当 0k4 时，pk 的相角处于/2 和3/2 之间，pk 在 S 平面的左半平面。取这些根作为 H(p)的极点，系统是稳定的。,所以，,最后,n,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)：求滤波器的阶数1）Wp，通带截止频率；Ws，阻带起始频率；Rp，通带最大衰减；Rs，阻带最小衰减；在数字滤波器中，wp 和 ws 在 01 之间，而在模拟滤波器中，wp 和 ws 可以大于 1。2）n,Butterworth 模拟滤波器的阶数；Wn，3dB 频率点。,z,p,k=buttap(n)：求归一化滤波器系统函
19、数的零、极点和增益1）n，Butterworth 低通原型滤波器的阶数；2）z，Butterworth 低通原型滤波器的零点，z 是空矩阵（从 Butterworth 滤波器的定义可知，其分子多项式为1，零点在）；p，Butterworth 低通原型滤波器的极点；k，Butterworth 低通原型滤波器的增益。,巴特沃思滤波器的Matlab 实现,Butterworth 模拟滤波器设计,巴特沃思滤波器小结,特点：（1）3dB点及其不变性；（2）单调下降性；（3）最大平坦性；,巴特沃思滤波器小结,B 型滤波器的缺点：0 频率点附近幅度特性接近理想3dB 频率处逼近特性不好解决办法：将指标精度均
20、匀分布在通带内、阻带内或通带阻带内，即选择具有等波纹特性的逼近函数来实现。分析：将特征函数在 0 频率点处的 N 个过零点均匀分布在通带内，使幅度函数在通带内多处出现最大值 1，以此改善通带总特性。C 型滤波器具有这种特性。,目的：获取更为快速衰落的幅频特性.,表示|H(j)|通带内波动范围,幅度平方函数,p:通带截止频率,切比雪夫滤波器,Chebyshev LPF 设计,s,p,0,|H(j)|,通带内等波纹波动,阻带内幅度特性单调下降,Ap,As,CN(/p)是 N 阶切比雪夫函数或多项式,1）无论 N 为何值，都经过,2）通带内等波纹；通带外单调下降，下降速度高于同阶的 Butterwo
21、rth 滤波器；,3）,切比雪夫滤波器,Chebyshev LPF 特点,N：过中间点的次数N+1：极值点的数量,Chebyshev 多项式,由上式可知，切比雪夫滤波器的通带位于频率 0 x1范围内，而阻带位于 x1 范围内；在通带内是等幅度波动的，N 越大波动的次数越多；在通带外是单调上升函数，N 越大上升越快。,切比雪夫滤波器,当 x1 时，即当 x 从 1 开始无限增长时，CN(x)定义为双曲余弦函数 cosh 的表达式，是无穷单调增加的。利用迭代递归关系，可以得到各阶切比雪夫函数的曲线。,Chebyshev 多项式的迭代关系 切比雪夫函数可以写成如下多项式的形式：,切比雪夫滤波器,即,
22、其中,则利用上述递归关系，得到更高阶的切比雪夫多项式：,CN()是的 N 阶多项式，其首项系数为 2N-1。,0,切比雪夫滤波器,设计过程 性能指标 求波动参数；性能指标 求滤波器阶数 N；计算极点或查表 归一化系统函数 H(p)；计算或反归一化 系统函数 H(s)；由给定的通带指标p 和Ap，求得通带内的参量：,LPF 技术要求包括：通带频率p通带内最大衰减 Ap阻带下限频率 s阻带内最小衰减 As,切比雪夫滤波器,求滤波器的阶数 N 根据给定的滤波器器阻带起始频率 s 和阻带最小衰减 As(dB)，可得：,注意：上取整,求滤波器归一化系统函数 H(p)确定了和 N 后，Chebyshev
23、LPF 传输函数 H(s)：,切比雪夫滤波器,将 H(s)表示为归一化形式 H(p)，令 p=s/p，且令 H(p)的分母多项式为零，得：,得,式中,切比雪夫滤波器,如果令,，则,这是一个椭圆方程，这意味着由切比雪夫逼近得到的极点位于 S 平面的一个椭圆上。,由作图法确定切比雪夫滤波器的极点分布:(1)分别以半径为 ap和 bp 画内外两个圆；(2)把两个圆周按间隔/N 等分，各有 2N 个点。这些点是虚轴对称的，且一定都不落在虚轴上。N 为奇数时，有落在实轴上的点；N为偶数时，实轴上也没有；(3)椭圆上每个极点的纵坐标（垂直）由外圆的相应点的垂直坐标确定，每个极点的横（水平）坐标由内圆的对应
24、点的水平坐标确定。,(1)2N 个极点分布在椭圆上；(2)对称性；(3)选择位于 s 左半平面的极点。,为了系统稳定，选择位于 S 平面左平面的 pk 作为 H(p)的极点，并且考虑到切比雪夫多项式首项系数的特点，最后得：,切比雪夫滤波器,其中 pk 为实部小于零的极点（对应左半平面）：,式中 2 与 k 只取正值，k0,1,2,.,N-1,。,求滤波器系统函数 H(s),切比雪夫滤波器,查表法归一化 p,s;查曲线(图4.12)，确定滤波器的阶数 N;查表（表4.34.5 上部），得 查表(表4.34.5)，得 H(P)分母多项式的因式形式，求得 H(p)；求得,注意：这里的切比雪夫表格曲线
25、，没有特指 3dB 频率点，即 wp 可以是任意频率点（0.2dB、1dB、3dB）。,切比雪夫滤波器,切比雪夫滤波器,切比雪夫滤波器,切比雪夫滤波器,切比雪夫滤波器,切比雪夫滤波器,例：设计一个满足下列技术指标的低通切比雪夫滤波器，技术要求：通频带最高频率 fp=3MHz，通带衰减要小于 0.1dB，阻带起始频率 fs=12MHz，阻带内衰减要大于60dB。(1)首先频率归一化(2)求滤波器的阶数 N 及,(3)求 H(p)由 pk 表达式求得 pk，代入上式得(4)求 H(s),切比雪夫滤波器,例：设计一个模拟 chebyshev 滤波器，技术要求如下：,切比雪夫滤波器,同样的性能指标 C
26、 型滤波器所用的阶数比 B 型要小,(1)归一化p=1,s=2,(2)查图4.10 中曲线，得 N=4；,(4)查表4.5 栏 c，得 H(p)的分母多项式：,(5)求 H(s),切比雪夫滤波器,(3)根据 Ap=3dB，查表 4.5，得=0.99763,n,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)：求滤波器的阶数1）Wp，通带截止频率；Ws，阻带起始频率；Rp，通带最大衰减；Rs，阻带最小衰减；在数字滤波器中，wp 和 ws 在 01 之间，而在模拟滤波器中，wp 和 ws 可以大于 1。2）n,Chebyshev 模拟滤波器的阶数；,z,p,k=cheb1ap(n,Rp)：求归
27、一化滤波器系统函数的零、极点和增益1）n，Chebyshev低通原型滤波器的阶数；Rp，通带最大衰减；2）z，Chebyshev 低通原型滤波器的零点，是空矩阵；p，Chebyshev低通原型滤波器的极点；k，Chebyshev低通原型滤波器的增益；,切比雪夫滤波器,Chebyshev LPF 的 Matlab 实现,Chebyshev 模拟滤波器设计,切比雪夫滤波器小结,Cauer滤波器又称为椭圆滤波器，原因是其振幅特性是由雅可比椭圆函数来决定。JN()是雅可比椭圆函数，N为滤波器阶数。特点：在通带和阻带内都有等波纹的振幅特性。过渡带比较陡。,Cauer滤波器特性,缺点：响应特性对参数的的灵
28、敏度大。在Matlab中，可以用 n,Wn=ellipod(wp,ws,Rp,Rs,s)求出所需的最小椭圆模拟滤波器的阶数。此函数也可以用于带通，高通，带阻等滤波器的设计。,Cauer滤波器特性,三种滤波器的特性比较,三种滤波器特性比较,过渡带 Cauer 陡于 Chebyshev陡于 ButterworthN，相同性能需要的阶次 Cauer 少于 Chebyshevs敏感于Butterworth,模拟滤波器频率变换,IIR滤波器的设计过程,模拟滤波器频率变换,频率变换：归一化低通滤波器的传输函数变换为一般的低通、高通、带通和带阻滤波器的传输函数；反之亦然。频率变换函数 p=q(s)，（q(s
29、)是 s 的有理函数），把归一化低通滤波器传输函数 Hlp(p)映射为 所要求的 Hd(s)：,保持频率响应：q(s)必须使低通滤波器所在的 S 平面的 j 轴映射到要求的滤波器所在的 S 平面的 j 轴。保持滤波器的稳定性：低通滤波器所在的 S 平面的左半平面必须映射到要求的滤波器所在的 S 平面的左半平面。,低通到高通变换：,低通到带通变换：,低通到带阻变换：,模拟滤波器频率变换,参数的定义p：所要求滤波器的通带截止频率p 2 和 W p1：所要求滤波器的通带上下截止频率s：所要求滤波器的阻带起始频率 s2 和 W s1：所要求滤波器的阻带上下截止频率0：滤波器的通带中心频率：取决于滤波器
30、类型的归一化参数B：滤波器的通带带宽,模拟滤波器频率变换,模拟滤波器频率变换,非几何对称型滤波器的频率转换当所求带通或带阻滤波器的两个通带截止频率和两个阻带起始频率都关于中心频率 0 呈几何对称时，有：由归一化低通滤波器频率转换得到的带通滤波器和带阻滤波器都是关于 0 呈几何对称的。当不满足对称特性时，必须在满足设计指标的前提下，首先调整截止频率，以调整后的几何对称参数进行设计。,模拟滤波器频率变换,非对称带通滤波器设计步骤:以通带中心频率 0 为基准，在满足最小阻带衰减要求的情况下，改变阻带起始频率中的一个，使非对称带通滤波器变成几何对称带通滤波器，步骤如下：计算 02p1p2 计算，如果，
31、用 代替 如果，计算，并用 代替 如果，选择,模拟滤波器频率变换,非对称带阻滤波器设计步骤:以阻带中心频率 0 为基准，在满足通带衰减要求的情况下，改变通带截止频率中的一个，使非对称带阻滤波器变成几何对称带阻滤波器，步骤如下：计算 02s1s2 计算，如果，用 代替 如果，计算，并用 代替 如果，选择,模拟滤波器频率变换,用频率变换法设计模拟滤波器的步骤:确定低通、高通、带通、带阻模拟滤波器的技术要求，（若带通、带阻是非几何对称时，要首先作参数调整，使其呈对称）；根据参数表确定归一化低通滤波器的技术指标：通带截止频率p，阻带起始频率s，通带衰减Ap(dB)，阻带衰减As(dB)；根据上述四个技
32、术指标，用巴特沃思、切比雪夫或椭圆逼近法来设计归一化低通滤波器；查变换关系表得到要求的非归一化模拟滤波器。,模拟滤波器频率变换,模拟滤波器频率变换,例：设计一个巴特沃思带阻滤波器，其性能指标要求如下：阻带的起始频率和截止频率分别为 3.8MHz和4.8MHz，阻带最小衰减为 20dB；通带的起始频率和截止频率分别为 3.1MHz 和 5.5MHz，通带内最大衰减为 3dB。,解：首先确定所要求的带阻滤波器是否是几何对称的。,因为 p1p2 s1s2，而且设计的是带阻滤波器，所以需要调整这个带阻滤波器的通带起始频率或截止频率。,因为,模拟滤波器频率变换,用,值代替,值，即令,根据表4.6中间栏的
33、变换关系式，将上述给定的带阻滤波器指标要求转化为相应的归一化低通技术要求，有,根据上面的技术要求，可以采用查表法或计算法来设计归一化的巴特沃思低通滤波器，这里采用计算法。,由式子(4.9)得滤波器的阶数为：,取整后，得 N=3。,H(p)H(-p)的极点为：,模拟滤波器频率变换,所以，低通滤波器的归一化传输函数 HLP(p)为：,所以，根据表4.6最右边栏的变换关系式，把归一化低通滤波器变成所要求的带阻滤波器的传输函数 HBP(s)：,模拟滤波器频率变换,频率变换的 Matlab 实现低通到高通的频率变换 bt,at=lp2hp(b,a,Wo)此高通滤波器的截止频率为 W0。低通到带通的频率变
34、换 bt,at=lp2bp(b,a,Wo,Bw)此带通滤波器的中心频率和带宽分别为 W0、Bw。当滤波器通带的下截止频率为 1，上截止频率为 2 时，W0=sqrt(1*2)，Bw=2 1。低通到带阻的频率变换 bt,at=lp2bs(b,a,Wo,Bw)此带通滤波器的中心频率和带宽分别为 W0、Bw。当滤波器通带的下截止频率为 1，上截止频率为 2 时，W0=sqrt(1*2)，Bw=2 1。在上述的三个模拟滤波器频率变换中，b、a 都是按降序排列的传输函数的分子分母多项式的系数：,模拟滤波器频率变换,模拟滤波器的数字化（1）,利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是要把s平面映射到z平面，使模
35、拟系统函数Ha(s)变换成所需的数字滤波器的系统函数H(z)，这种由复变量s到复变量z之间的映射(变换)关系，必须满足两条基本要求：H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应，即s平面的虚轴必须映射到z平面的单位圆上。因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的H(z)。,即s 左半平面 Res 0 映射到 z 平面的单位圆内|z|1。,模拟滤波器的数字化（2）,根据要保留的模拟和数字滤波器的特性不同。主要有以下映射方法：,保留冲激响应的形状-冲激响应不变法保留阶跃响应的形状-阶跃响应不变法保留从模拟到数字的系统函数表示-双线性变换法,模拟滤波器的数字化（3）,模拟滤波器的数字仿真,设计一个数
36、字滤波器H(z)使其输入x(n)等于模拟滤波器(AF)输入x(t)的取样x(nT)，输出y(n)等于AF输出 y(t)的取样y(nT)。y(n)=y(nT)则称H(z)系统为Ha()系统的数字仿真。,从时域确定S平面和Z平面之间的映射关系,数字性能指标 模拟滤波器的性能指标；（=T）,时域仿真（1）,时域仿真（2）,证明：线性非移变因果系统ha(t)，其输入x(t)和输出 y(t)的关系：,上述积分为0 区间内曲线 W()下的面积，可近似的用求和来计算：,对 y(t)取样:(即令 t=nT),时域仿真（3）,令 h(k)=Tha(kT),对于DF h(n)，其输入输出关系为：若令 x(n)=x
37、(nT)，即 DF 输入是 AF 输入的取样，则 y(n)=y(nT)。这就证明了若 h(n)=Tha(nT)，则当x(n)=x(nT)时，y(n)=y(nT)。,时域仿真（4）,时域仿真（5）,结论：从时域观点看，数字仿真的条件：h(n)=Tha(nT)称之为冲激响应不变准则。由此准则出发，我们得到设计 IIR DF 的冲激响应不变法（Impulse Invariance Method）。注意：在上述过程中，取样周期 T 要足够小(满足取样定理，避免频谱混迭；减小积分的逼近误差）。,频域仿真（1）,前面已讲过，对 xa(t)取样，则取样后的信号 xa(nT)的频谱是原来模拟信号频谱 Xa()
38、的周期延拓，即：,而,数字频率表示,模拟频率表示,或,DTFT 定义：,频域仿真(2),因此：,或,离散信号频谱表示,周期延拓,其中，Tx(n)是对 Txa(t)的取样。,频域仿真（3）,同样的，对冲激响应 ha(t)也有同样的过程。,ha(t),Ha(),ha(nT),离散傅氏变换,周期延拓，有常数 1/T,令 h(n)=Tha(nT),则,取样,结论：DF 的频响 是它所仿真的 AF 的频响Ha()的周期延拓，因此，为防止混迭，Ha()必须限带。,从频域讲，数字仿真的条件：,当,综合上述时域、频域的数字仿真条件，得到仿真定理。,频域仿真（4）,时域、频域的数字仿真条件：,若 ha(t)是限
39、带信号，当|m 时，Ha()=0若 h(n)=Tha(nT)取样频率：2fs=s 2m，即 fs 2fm（取样定理）,则当|(s/2)=/T 时，,即数字仿真成立。,仿真定理,1.冲激响应不变法的设计方法 2.Z 平面与 S 平面的映射关系 3.冲激响应不变法的特点,从时域确定 S 平面和 Z 平面之间的映射关系,冲激响应不变法,冲激响应不变法原理,对已知的 Ha(s)进行拉氏反变换，求得 ha(t)；,对 ha(t)进行取样，得 ha(nT)；,根据冲激响应不变，令 h(n)=T ha(nT)，以求得 h(n)；,对 h(n)进行 z 变换，得 H(z)。,即：,冲激响应不变法：设计方法（1
40、）,冲激响应不变法的设计步骤,模拟滤波器的系统函数可表示为：,一般 MN，因此上式可以分解为部分分式形式:,对 Ha(s)两边进行拉氏反变换得：,冲激响应不变法：设计方法（2）,对 ha(t)以周期 T 进行取样，有：,由冲激响应不变准则，可得：,对上式两边进行 Z 变换，便得数字滤波器的系统函数：,冲激响应不变法：设计方法（3）,冲激响应不变法：设计方法（4）,由 H(z)可以看到，H(z)也是部分分式形式，且有：（1）各系数 Ai 分别与 Ha(s)部分分式系数相同（2）各极点分别对应于 Ha(s)的各极点 Si因此，只要将 AF 的 Ha(s)分解为部分分式之和的形式，就可以立即得到相应
41、的 DF 的系统函数 H(z)。,重要!,确定 T，并选择模拟频率：,根据指标 p、s、Rp、As，设计模拟低通滤波器 Ha(s)。这个模拟滤波器可以是前面讲过的原型滤波器（Butterworth、chebyshevI/II、Cauer）之一。,把 Ha(s)展成部分分式形式：,把模拟极点si转换成数字极点esiT，得到数字滤波器的传输函数：,冲激响应不变法：设计方法（6）,对于给定数字低通滤波器技术指标 wp、ws、Rp 和 As，采用冲激响应不变法设计数字滤波器的过程如下：,将极点的映射关系推广到 S 平面与 Z 平面间的映射关系：,令:,则:,所以：,是数字角频率，也是复变量 Z 的幅角
42、；是模拟角频率，也是复变量 S 的虚部。,冲激响应不变法：映射关系(1),S 平面与 Z 平面之间的映射关系在冲激响应不变法中，S 域和 Z 域极点间的映射关系：,S平面与Z平面之间的映射关系:,冲激响应不变法：映射关系(2),S 平面的实部,(3)当0 时，r1，即 S 平面左半平面映射到 Z 平面的单位圆之内，系统稳定.,S 平面,Z 平面,冲激响应不变法：映射关系(3),冲激响应不变法：映射关系(4),S 平面的虚部,在 S 平面上，任何一个宽度为（2/T）的水平带，映射为 Z 平面周期函数 H(ej)；,Ha(s)H(z)极点都在S 平面的极点都在Z平面左半平面时，稳定 单位圆内时，稳
43、定,多对一,冲激响应不变法：映射关系(5),为防止混迭现象，AF 的系统函数 Ha()应在-/T，/T 上严格限带。,例:利用冲激响应不变法设计一个数字巴特沃思低通滤波器，通带截止频率 750Hz，通带内衰减不大于 3dB，阻带最低频率为 1600Hz，阻带内衰减不小于 7dB，给定 T=1/4000s。,当 k=0 时，pk 处于在 S 平面的左半平面，系统是稳定的。,所以归一化的一阶巴特沃思模拟滤波器传输函数为：,最后得 1 阶巴特沃思模拟滤波器传输函数为：,根据冲激响应不变法，把 H(s)转换成数字滤波器的传输函数 H(z)：,上述模拟和数字滤波器的幅频响应分别为：,相应的幅频响应曲线如
44、图所示，从中可以比较模拟和数字滤波器的幅频响应形状。对于 T=1/4000 取样，模拟和数字滤波器的幅频特性在非常低的频率处就分开了，这是因为取样间隔太长，产生了较大的混叠失真。随着取样间隔 T 的减小，数字滤波器|H(ejw)|对模拟滤波器|H(j)|的逼近也越来越好。当 T 足够小时，冲激响应不变法可给出满意的结果。,bz,az=impinvar(b,a,Fs)含义：impulse invariant，利用冲激响应不变法产生数字 滤波器的分子和分母。输入：b,a 分别为模拟滤波器的分子，分母多项式的系数序列。Fs 为取样频率。输出:bz,az 分别为数字滤波器的分子，分母多项式的系数序列。
45、,冲激响应不变法：Matlab 实现,IIR DF 冲激响应不变法,部分分式展开,冲激响应不变法：小结（1）,根据 h(n)=T ha(nT)，从时域完成数字化设计，DF 和 AF 之间具有近似的时域瞬态特征；(优点),数字频率和模拟滤波器频率之间的关系为=T，即两者间呈线性关系；(无非线性失真问题),当Ha()不严格限带，或 ha(t)变化不太平稳，而设计性能要求又高时，则不宜采用此法。包括：不能设计阻带内存在振荡的滤波器，例如 Chebyshev II 滤波器和椭圆滤波器。不能直接设计高通、带阻滤波器，因为高通、带阻滤波器不是限带的，不能用冲激响应不变法实现模拟滤波器 H(s)到数字滤波器
46、 H(z)的转换。冲激响应不变法只适合频率响应在高频处单调递减的模拟原型滤波器。这极大地限制了它的应用，例如 Butterworth 低通滤波器。,延拓相加与混叠；S 与Z 是多对一的关系。(缺点),时域中能模仿模拟滤波器特性，但产生频率响应的混叠失真。,冲激响应不变法：小结（2）,冲激响应不变法的特点,双线性变换法（1),冲激响应不变法缺点:因为 z=esT 映射关系不是单值对应，所以，从 s 平面直接映射到 z 平面时会产生混迭现象;只适合频率响应在高频处单调递减的模拟原型滤波器，应用范围受到限制;处理复杂双线性变换主要目的:从根本上解决上述冲激响应不变法的问题；当然也付出了一定的代价。,
47、双线性变换（2）,具体方法:,（1）构造从S平面到S1平面的单值映射;,（2）构造从S1平面到Z平面的单值映射;,实际上，我们不需要每次都从 S 平面S1平面Z平面，而是直接求出 S=f(Z)的关系，然后代入Ha(s)，得 H(z)，即H(z)=Ha(s)|s=f(z)。,简化步骤：,分析推导:,再令 j=N-i，则：,因此，AF 的基本单元是积分器 s-1，而利用某种数字网络代替此单元，就可把 AF 转变为相应的 DF。,双线性变换法：映射关系推导(1),双线性变换法：映射关系推导(2),双线性变换法：映射关系推导(3),双线性变换法：映射关系推导(4),设 s=+j，,则:,S 平面和 Z
48、 平面之间的映射关系:,（数字频率和模拟频率 是非线性关系）,双线性变换法：映射关系推导(5),模拟频率和数字频率之间的映射关系因为滤波器设计的主要是幅频特性，Z 域中单位圆上 Z 变换对应于付氏变换，即频率响应，而 Z 平面单位圆对应于 S 平面的虚轴 j。,双线性变换法：映射关系推导(6),解:,解：1.冲激响应不变法,2.双线性变换法,双线性变换：频率预畸变（1）,频率失真,数字频率 和模拟频率 间的非线性关系:,当很小时，=（2/T）tg(/2)的非线性不很突出，可作为线性看待;,(2)当较大时，非线性非常突出;,非线性将导致频率特性的变化,结论用线性变换得到的 DF 性能上与作为原形
49、的 AF 的性能有明显差异。对于幅频特性为分段常数的模拟滤波器，经过双线性变换以后，得到的数字滤波器的幅频特性仍然为分段常数，但是各个分段边缘的临界频率点发生了畸变。对于这种频率畸变，可以通过频率预畸变进行处理，使得双线性变换后的频率正好映射到所需要的频率上。,双线性变换法：频率预畸变（2）,例如：s/p=2，则经变换后 s/p 2，相当于滤波器的幅频特性发生了变化。如果设计 AF 时按照(p/s)=(s/s)=2 来计算。则设计出的 AF 经双线性变换后得到 DF 的 s/p2。所以，DF 的性能与 AF 原型的性能有了失真，即频率失真。,双线性变换：频率预畸变（3）,例：设有一数字系统，它
50、的取样频率fs=2000Hz，设计一个一阶巴特沃思低通数字滤波器，使其通带中允许的最大衰减为 Ap=3dB，通带的上限频率 fp=400Hz。,一阶巴特沃思低通 AF 的归一化的系统函数 G(p)为：,（2）无预畸变处理的情况,通过双线性变换，得到 DF 的系统函数 H(z)为：,（3）结论 两者结果不一样预变形矫正：3dB 400Hz，符合要求 不预变形矫正：由此可见，不经预变形处理，所得的 DF 的性能不符合给定的技术要求。,在 Matlab 中，用下列函数来实现 IIR数字滤波器的双线性变换。其更具体的应用说明，见相关的Matlab 技术手册。,zd,pd,kd=bilinear(z,p
