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1、机械振动一、机械振动（1）定义：中心位置；往复运动（2）条件：回复力；阻力足够小。（3）特点：中心位置；往复运动例1下列属于机械振动选择完整的是（ ）乒乓球在地面上的来回上下运动；弹簧振子在竖直方向的上下运动；秋千在空中来回的运动；竖于水面上的圆柱形玻璃瓶上下振动A、 B、 C、 D、二、简谐运动1.定义:物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。表达式为：F= -kx（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。（2）回复力是一种效果力。是振动物体在沿振动方向上所受的合力。（3）
2、“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以不处于平衡状态）（4）F= -kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。1怎样判断某一振动是简谐运动：图911方法一：从动力学：证明物体在运动方向上所受合力F=-kx。方法二：从运动学特点：例1 证明竖直弹簧振子的振动是简谐运动.解析：如图911所示，设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧的形
3、变为x0,根据胡克定律及平衡条件有mgkx0=0当振子向下偏离平衡位置x时，有：F回=mgk(x+x0)将代入得：F回=kx，故重物的振动满足简谐运动的条件.说明：分析一个振动系统是否为简谐运动，关键是判断它的回复力是否满足：其大小随着位移的变化作正比变化，其方向总与位移方向相反.应理解F=kx式中的k值是由振动系统本身条件所决定，不要将F=kx简单理解为胡克定律中的弹力，在这里就理解为产生简谐运动的回复力的定义式，而且产生简谐运动的回复力可以是一个力，也可以是某个力的分力，也可以是几个力的合力，此题的回复力为弹力和重力的合力.证明思路：确定物体静止时的位置即为平衡位置，考查振动物体在任一点受
4、到回复力的特点是否满足F=kx.例2 如图所示，m和M叠放在一起，M的左端与一弹簧相连，弹簧的另一端与墙壁相连，M和m在弹簧的作用下相对静止一起运动。证明m的运动是简谐运动。2.从总体上描述简谐运动的物理量。 振动的最大特点是往复性或者说是周期性。因此振动物体在空间的运动有一定的运动范围，用振幅A来描述；在时间上用周期T来描述完成一次全振动所须的时间。（1）振幅A是描述振动强弱的物理量。（注意一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）（2）周期T是描述振动快慢的物理量。（频率f=1/T 也是描述振动快慢的物理量）周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期
5、。对任何简谐振动有共同的周期公式：（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数，既振动是简谐运动的判定式F= -kx中的比例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。3.熟练掌握做简谐运动的物体在某一过程中的位移x、回复力F、加速度a、速度v、动能、动量、势能这七个量的相互变化关系（周期、频率、振幅为常量）。（1）从大小相关可分为两类：位移x、回复力F、加速度a、势能；速度v、动能、动量。（2）从矢、标量分为：矢量：位移x、回复力F、加速度a、速度v、动量（变化周期为T）；标量：势能、动能（变化周期为T/2）总机械能（不变）。例2关于简谐运动回复力的说法正确的是（
6、 ）A、回复力中的是指振子相对于平衡位置的位移B、回复力中的是指振子从初位置指向末位置的位移C、振子的回复力一定就是它所受的合力D、振子的回复力一定是恒力2用简谐运动实际运动图象分析简谐运动各量变化：例1 一质点做简谐运动,先后以相同的动量依次通过A、B两点，历时1s，质点通过B点后再经过1s又第二次通过B点，在这两秒钟内质点通过的总路程为12cm，则质点的振动周期为多少？振幅为多少？答案：4s，6cmobcad图2VaVb例2、如图2所示。弹簧振子在振动过程中，振子经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0.2s,从b再回到a的最短时间为0.4s,则该振子的振动频率为：A、1Hz; B、1.
7、25Hz; C、2Hz; D、2.5Hz.答案：B例3一质点在平衡位置O点附近作简谐运动，若从O点开始计时，经过3s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过2s它第二次经过M点，则该质点的第三次经过M的所需要的时间是多少？答案：14s秒 或 10/3秒三、典型的简谐运动1.弹簧振子。（1）周期，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。（2）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是。这个结论可以直接使用。（3）水平弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；竖直弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。2.单摆。（1）定义：线：不可伸长，忽略质量；球：可视为质点；悬点：固定。（2）单摆振动的
8、回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力不为零。（3）当单摆的摆角很小时（小于10)时，单摆的周期，与摆球质量m、振幅A都无关。其中l为摆长，等于从悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。（4）小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径和小球半径的差。（5）秒摆：T=2s，L约为1米。（6）摆钟问题。单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比（n可以是分钟数，也可以是秒数、小
9、时数），再由频率公式可以得到 （7）利用单摆的周期公式测重力加速度.四、简谐运动图象1.必须掌握两种图象的分析:实际运动图的分析及各运动量函数图象的分析.2.根据简谐运动规律,利用图象可以得出以下判断:(1)振幅A、周期T以及各时刻振子的位置。(2)各时刻位移、回复力、加速度、速度的方向。(3)某段时间内振子的路程(4)某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、动量、势能、总能量的变化情况。(5)振动方向的判断例8.如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O是平衡位置，以某时刻作为计时零点（t=0），经过周期，振子具有正方向的最大加速度，那么四个振动图线中正确反映了振子的振动情况的图线是
10、（）D 例9如图为一质点作简谐运动的图象，则在图中t1和t2两个时刻，振子具有相同的物理量是（ ）例9图A/2-A/2t1t/sx/cmt2642例11图-22t/sx/cm1-1甲乙0.2例10图t/sx/cm5-50.4A、加速度 B、位移 C、速度 D、回复力 C【例10】一质点做简谐运动，如图所示，在0.2 s 到0.3 s这段时间内质点的运动情况是（）A、沿负方向运动，且速度不断增大 B、沿负方向运动，且位移不断增大C、沿正方向运动，且速度不断增大 D、沿正方向运动，且加速度不断增大C【例11】如图所示，是质量相等的甲、乙两个物体分别做简谐运动时的图象，则（）A、甲、乙物体的振幅分别
11、是2 m和1 m B、甲的振动频率比乙的大C、前2 s内两物体的加速度均为负值 D、第2s末甲的速度最大,乙的加速度最大BCD【例12】如图所示为某一声音的振动图象，关于这个声音的判断正确的是（）A、该声是单个简谐运动的声源发出的 B、振动周期是2 sC、振动频率为 D、振动周期为O例12图FED0.2 0.4 0.6-44t/sx/cmABC例11图t/sx/cm1 2 4 6 7 8 10 12C 【例13】如图所示是一弹簧振子的振动图象，由图可知，该振子的振幅是 ，周期是 ，频率是 ，振子在0.8 s内通过的路程是 ，若振子从A时刻开始计时，那么到 点为止，振子完成了一次全振动，图象上B
12、点振子的速度方向是 ，D点振子的速度方向是 。答案：4 cm 0.4 s 2.5Hz 32 cm E -x方向 +x方向【例14】如图所示，A、B两物体组成弹簧振子，在振动过程中A、B始终保持相对静止，图中能正确反映振动过程中A受的摩擦力Ff与振子的位移x关系的图线应为( )C 例4 如图所示的是做简谐运动的质点的振动图像，那么在下列时间内，质点加速度的大小和方向将（ ）A在0内，沿x轴的负方向，大小在减小B在0内，沿x轴的正方向，大小在减小 C在内，沿x轴的正方向，大小在减小D在内，沿x轴的负方向，大小在增大答案:A例5一弹簧振子作简谐振动，周期为TA.若t时刻和(t+t)时刻振子运动位移的
13、大小相等、方向相同，则t一定等于T的整数倍 B.若t时刻和(t+t) 时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则t一定等于的整数倍 C.若t=T，则在t时刻和(t+t) 时刻振子运动的加速度一定相等 D.若t=T/2，则在t时刻和(t+t)时刻弹簧的长度一定相等答案：C（利用函数图像分析）五、受迫振动与共振。1.受迫振动。物体在周期性外力（既驱动力）作用下的振动叫受迫振动。（1）物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。（2）物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。2.共振。当驱动力的频率跟物体的
14、固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。 要求会用共振解释现象，知道什么情况下要利用共振，什么情况下要防止共振。（1）利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千（2）防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢。3、无阻尼振动:振幅不变的振动。可以受到阻力阻尼振动：振幅逐渐减小的振动。典型问题和方法：3利用简谐运动对称性分析：例1. 如图所示，质量为m的小球放在劲度为k的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。最大振幅A是多大？在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力Fm是多大？解：该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。在平衡位置弹力和重力等大反向，合
15、力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力，F- mg=ma，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力，mg-F=ma，越往上弹力越小。平衡位置和振动的振幅大小无关。因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。这时弹簧恰好为原长。最大振幅应满足kA=mg,A=小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：Fm-mg=mg，Fm=2mg例2如图所示,竖直悬挂的轻质弹簧下端系着A、B两个重球,质量分别为mA=100g,mB=500g，系统静止时弹簧伸长x=15cm，未超出弹性限度，若剪断A、B间的细绳，则A在竖直方向做简谐运动，g取1
16、0m/s2，求： （1）A球的振幅多大？ （2）A球的最大加速度多大？答案：（1）12.5cm（2）50m/s2例3.一平台沿竖直方向作简谐振动，一物体置于振动的平台上随台一起运动。当振动平台处于什么位置时，物体对平台的压力最大？A.当振动平台运动到最高点时 B.当振动平台向下过振动中心时 C.当振动平台运动到最低点时 D.当振动平台向上过振动中心时答案：C讨论：（1）若平台放在轻弹簧上，要使上面的物体不离开平台，振动的最大加速度满足什么条件？答案：（可以讨论M=0和M不等于零的两种情况）（2）若平台与物体恰能再竖直平面内做简谐运动，则运动到最低点时物体对平台的压力是多少？答案：2mg（3）若
17、物体从离静止的平台上方一定高度h的地方释放，与平台碰撞后一起向下运动，则运动到最低点时平台和物体的加速度满足什么条件？答案：（可以讨论M=0和M不等于零的两种情况）例4.如图所示，质量.kg的物体，放在64 kg的平台上，平台跟竖立在地面上的轻弹簧相连接，弹簧的下端固定，若物块与平台一起上下振动，振幅为10 cm，当滑块运动到最高点时，对平台压力恰好为零，则：弹簧的劲度系数多大?滑块运动到最低点时，对平台的压力多大?答案：6.45103；10 N 4单摆周期：例1 秒摆摆球质量为0.2kg，它振动到最大位移时距最低点的高度为0.4m，当它完成10次全振动回到最大位移时，因有阻力作用，距最低点的
18、高度变为0.3m，如果每振动10次给它补充一次能量，使摆球回到原高度，那么1min内总共应补充多少能量（g取10m/s2）答案：0.6J例2. 已知单摆摆线长为L，悬点正下方3L/4处有一个钉子。让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？解：该摆在竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为和，因此该摆的周期为:例3 在相同时间内单摆甲做了10次全振动，单摆乙做了6次全振动，两个单摆的摆长之差为16cm，试求两摆的摆长各是多大？答案：0.09m、0.25m5等效单摆：例1.固定圆弧轨道弧AB所含度数小于10，末端切线水平。两个相同的小球a、b分别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑，比较它们到达轨道底
19、端所用的时间有tatb，比较它们到达底端的动能有Ea2Eb。解：两小球的运动都可看作简谐运动的一部分，时间都等于四分之一周期，而周期与振幅无关，所以ta= tb；从图中可以看出b小球的下落高度小于a小球下落高度的一半，所以Ea2Eb。例2 如图所示，A是半径为R的光滑圆弧轨道的最低点，B、C为两个相同的小球（可视为质点），将B放在A点正上方h处，将C放在离A点很近的轨道上，让B、C同时从静止开始释放（不计空所阻力），正好在A点相遇，则h的高度是多少？答案：例3 有一水平轨道AB，在B点处与半径为300m的光滑弧形轨道BC相切，一质量为0.99kg的木块静止于B处，现有一颗质量为10g的子弹以5
20、00m/s的水平速度从左边射入木块且未穿出，如图所示，已知木块与该水平轨道AB间的动摩擦因数.g取10m/s2，试求子弹射入木块后，木块需经多长时间停止？（cos5o=0.996）答案： ABCD例4、如图所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A、B、C三点由静止同时释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D，其中甲是从圆心A出发做自由落体运动，乙沿弦轨道从一端B到达另一端D，丙沿圆轨道从C点运动到D，且C点很靠近D点。如果忽略一切摩擦阻力，试比较三球到达D点的时间的大小？解：， ，（提示：计算时用到一个结论：竖直面内园弧上物体从园弧上最高点静止开始沿任一条光滑弦到达另一点（或从任一点静止开
21、始沿光滑弦到达最低点）所花的时间相同，都等于物体静止从最高点自由落体到最低点的时间。6等效摆长和等效重力加速度：7摆钟问题例1北京的重力加速度为，南京的重力加速度为，在北京走时准确的摆钟，如果放在南京，钟走快还是走慢，一昼夜差多少？要使其准确，应如何调整摆长。解析：（1）设标准时间为t，由，因,所以。一昼夜摆的次数,钟上显示的时间（为摆钟一次全振动摆钟走的时间，对相同的摆钟应相同）,所以摆钟在南京走慢。（2）设一昼夜的时间t，在北京摆的周期为，一昼夜振动的次数为,在北京摆的周期为，一昼夜振动的次数为.一昼夜摆的次数，所以钟上显示的时间，所以一昼夜相差的时间为（3）若要调整，要缩短摆长，减小振动
22、周期，增加振动次数即可。，当，摆钟走时准确。 所以8共振问题例1 把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周给筛子一个驱动力，这就做了一个共振筛，筛子自由振动时每次全振动用时2s，在某电压下电动偏心轮转速是36r/min，已知，如果增大电压可以使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期，那么，要使筛子的振幅变大，可采取哪些措施？答案：降低电压、减小质量例2 如图所示，一弹簧振子做受迫振动时振幅A跟驱动力频率f的关系图象，由此可知，弹簧振子的固有频率为 ，当f=f1时，振子振动频率为 .振幅A最大时，驱动力频率f= .若f2- f1= f3- f2，且当驱动力频率
23、为f1时，振幅为A1，当驱动力频率为f3时，振幅为A3试比较A1和A3的大小。答案：f2、f1、f2 无法比较9简谐运动的能量例1 光滑水平面上的弹簧振子，质量为50g，若在弹簧振子被拉到最大位移处释放时开始计时，在t=0.2s时振子第一次通过平衡位置，此时速度为4m/s，则在t=1.2s末，弹簧的弹性势能为多大？该弹簧振子做简揩运动时其动能的变化频率是多大？答案：0.40J、2.5H2例2、若弹簧振子的振子质量增加为原来的4倍，振子经过平衡位置时的速度减小为原来的1/2，则弹簧振子的A.频率不变，振幅不变 B.频率不变，振幅改变C.频率改变，振幅改变 D.频率改变，振幅不变答案：D例3、若单
24、摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的1/2，则单摆振动的A.频率不变，振幅不变 B.频率不变，振幅改变C.频率改变，振幅改变 D.频率改变，振幅不变答案：B例3一轻弹簧直立在地面上，其劲度系数为400，在弹簧的上端与盒子连接在一起，盒子内装物体，的上下表面恰与盒子接触，如图所示，和的质量1，102，不计阻力，先将向上抬高使弹簧从原长伸长5后从静止释放，和一起做上下方向的简谐运动，已知弹簧的弹性势能决定于弹簧的形变大小（1）试求的振幅；（2）试求的最大速率；（3）试求在最高点和最低点对的作用力解：（1）振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩：（），5开始释放时振子处在最大位移处，故振幅5510（2）由于开始时弹簧的伸长量恰等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量，故弹性势能相等，设振子的最大速度为，从开始到平衡位置，根据机械能守恒定律，得22，1.4，即的最大速率为1.4（3）在最高点，振子受到的重力和弹力方向相同，根据牛顿第二定律，得（）（）202，对的作用力方向向下，其大小110在最低点，振子受到的重力和弹力方向相反，根据牛顿第二定律，得（）（）202对的作用力方向向上，其大小230
