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1、数学推理方法,数学推理方法是寻求新结果、由已知进入到未知的方法；也是解答数学问题、进行数学证明的工具。,推理的结构：任何推理都包含前提和结论两部分。前提是推理的依据部分，可以是一个也可以是几个；结论是根据前提所推出的判断。,（3）因为 S=180，S四边形=2180，S五边形=3180，所以 Sn边形=(n-2)180.（4）(5),归纳推理,类比推理,类比推理,显然这个推理是错误的,二、演绎推理与合情推理,1、演绎推理属逻辑推理范畴。逻辑推理要求，在推理的过程中要合乎逻辑推理的形式，遵守推理的规则。演绎推理中常用的方法是三段论法，所遵守的规则是：若集合A中所有元素都具有属性F，则A中每一个元
2、素也具有属性F。即 三段论法 大前提（定理、公理等）小前提（已知）结论 演绎推理是从一般到特殊的推理方法。,归纳推理与类比推理都属于合情推理。演绎推理多用于证明，而合情推理多用于发现。在数学领域中，合情推理的方法也被称为是数学发现的方法。数学家的发现多用的是这种方法。,2、合情推理是运用观察、实验、归纳、类比、猜想、验证等一套自然科学中常用的、探索式的方法进行的推理。,1、归纳推理是观察资料、认识模型并从观察作出概括的过程，所得出的概括叫做猜想。归纳推理是由特殊到一般的推理方法。归纳推理又称为归纳法。,三、归纳推理,由于用完全归纳法解决问题时考虑到了事物的所有对象的情况，所以完全归纳法是一种严
3、格的推理方法。其前提和结论之间有着必然的联系，如果把演绎推理看成是前提和结论之间有着必然的联系的推理，那么完全归纳法实质上是演绎推理。,完全归纳法是根据某类事物中每一个对象（或每一个子类）的情况，作出关于事物一般性结论的推理（又叫枚举法）。,不完全归纳法具有不可靠性，应用不完全归纳法推理得出的结论只是一种猜想，其正确与否还要经过验证或证明。在用不完全归纳法进行数学归纳时，应注意归纳的基础，一部分对象应当有一定的数量，过于少了会影响猜想的正确性。,不完全归纳法是根据事物中一部分对象的情况，而作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。,（1）帮助学生进入研究问题的起点（发现的起点）万事开头难，尤其是
4、低年龄段的学生（大学以下），习惯与接受式学习方式的学生，对于一个有待于研究的问题，往往无从下手。如果有一种方法可以把你的学生带到研究问题的起点，何乐而不为呢？,2、不完全归纳法在学生进行数学发现中的作用,我国著名数学家华罗庚先生有一个主张，叫做“退回到1”，其实质就在于研究问题要从最简单的做起，从特殊的做起。,多边形内角和的获取：从三角形开始，然后四边形、五边形、六边形，寻找规律得到n边形内角和公式。,特殊情形是具体的不抽象的，这就使学生在研究问题时，有一个具体的对象。例如：有关n条线段的问题，可以两条线段、三条线段的问题；有关求前n项和的问题，可以先研究前两项和、前三项和问题。从特殊的、具体
5、的问题入手，学生可以下手进行操作，在实验、操作过程中，去思考一些问题，寻求问题的答案。,（2）便于学生思考问题（进行发现的过程）,在归纳的过程中，经过对大量的、简单的、具体的情形，进行观察、比较后，经过思考结论就在其中了。同时，正确的归纳方法本身，就提供了发现结论的途径，有时还提供了证明的方法。例如：十字相乘法则的归纳过程 多边形对角线条数的归纳过程,（3）有利于学生发现结论和证明方法（达到有所创新）,直接比较法：比较所得结果与实验次数n的关系或所得结果与具体问题的关系。递推法：寻求：后面的结果是在前面的基础上发生了哪些变化。,3、正确地进行归纳的方法,从图形的规律中找结果与n的关系：一个顶点
6、处有n-3条对角线，每条对角线属于两个顶点，n个顶点共有 条对角线。,直接比较法,例如：多边形内角和定理的发现 边数 3 4 5 6 n 三角形数 1 2 3 4 n-2 结果 n边形内角和=（n-2)180,证明思路：第n条直线与前面n-1条直线交于n-1个点，使平面区域增加n个，所以f(n)=f(n-1)+n。,f(n),例如，如图，在有公共边的三角形和矩形的边上有规律地排列一些点，填空：每边有2个点，每边有3个点，每边有4个点，每边有n个点，共有 个点；共有 个点；共有 个点；，共有 个点,（选自朝阳区2002-2003第一学期初三期末统考题）,每边有2个点，每边有3个点，每边有4个点，
7、每边有n个点，共有 5 个点；共有 11 个点；共有 17 个点；，共有？个点,这样归纳不利于得到猜想，其主要原因是，没有注意到在n的变化过程中，点的总数的变化过程。,每边有2个点，每边有3个点，每边有4个点，每边有n个点，共有 5 个点；共有 5+6 个点；共有 5+6+6 个点；，共有？个点,这样归纳，注意到了后次比前次多6个点，因此很快得到猜想：每边有n个点时，共有5+6(n-2)=6n-7 个点,这就是递推法：寻求后面的结果是在前面的基础上发生了哪些变化。本题还可以通过观察图形特点，直接得到猜想。,类比推理，是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们其它属性也相同的推理方法 从
8、特殊到特殊的推理方法。类比推理与归纳推理一样具有不可靠性。例如：由 a(b+c)=ab+ac 类比 sin(A+B)=sinA+sinB lg(M+N)=lgM+lgN 结论是不正确的 由类比得到的结论，只是猜想，经过证明的才是正确的。,四、类比推理,五、数学课程标准对合情推理的要求,课程标准在对学生学习内容的要求中指出：学生的学习内容应该是现实的、有意义的、富有挑战性的，应该有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。课程标准在学生学习的方式中指出：动手实践、自主探索、合作交流是学生数学学习的重要方式。课程标准把数学教学称为数学教学活动，并指出教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习。,这就意味着，学生学习数学应该是自己做会的，而不只是凭老师教能会的；定理、概念、法则的得出，应该是学生探索出来的，而不是老师给的。学生的动手实践、自主探索、再发现的过程，正是合情推理的过程。因此，我们在设计教学过程的时候，应该给学生提供动手实践的素材、提供自主探索的载体、提供合情推理的环境，指导学生得出猜想，发现新知。,学生的学习过程是动手实践、自主探索的主动建构过程，是学生再创造、再发现的过程。,
