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1、2023/1/6,1,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,第7 章鲁棒控制与鲁棒控制器设计,薛定宇 著控制系统计算机辅助设计 MATLAB语言与应用 清华大学出版社,2023/1/6,2,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,主要内容,线性二次型 Gauss 控制鲁棒控制问题的一般描述 鲁棒控制器的计算机辅助设计新鲁棒控制工具箱及应用分数阶控制系统分析与设计,2023/1/6,3,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.1 线性二次型 Gauss 控制,7.1.1 线性二次型 Gauss 问题,假设对象模型的状态方程表
2、示为,为白噪声信号，分别表示模型的不确定性与输出信号的量测噪声。,2023/1/6,4,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,定义最优控制的指标函数为,2023/1/6,5,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.1.2 使用 MATLAB 求解 LQG 问题,带有 Kalman 滤波器的 LQG 结构,2023/1/6,6,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,Kalman 滤波器的增益矩阵,式中,满足下面的 Riccati 代数方程,2023/1/6,7,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,
3、【例7-1】,2023/1/6,8,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,LQG 控制器设计的分离原理,2023/1/6,9,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,基于观测器的 LQG 调节器设计,2023/1/6,10,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,由 Kalman 滤波器方程,可以写出基于观测器的 LQG 调节器为,2023/1/6,11,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,2023/1/6,12,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-2】,2023/1
4、/6,13,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.1.3 带有回路传输恢复的 LQG 控制,LQG/LTR 控制器设计算法,使用 LQG 控制器，系统的开环传递函数表示为,直接状态反馈系统的开环传递函数为,2023/1/6,14,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-3】,2023/1/6,15,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,2023/1/6,16,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,回路传输恢复技术(loop transfer recovery，LTR),加权函数的选择,20
5、23/1/6,17,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,先求解标准的 LQ 问题，然后应用 LTR 技术,2023/1/6,18,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,2023/1/6,19,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-4】对【例7-3】不同的 q 值应用 LTR 技术,2023/1/6,20,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,2023/1/6,21,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,应用 MATLAB 求解 LQG/LTR 问题,若想使得系统在输
6、入端恢复环路传递函数，则,若想在对象模型的输出端恢复环路传递函数，则,2023/1/6,22,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-5】对【例7-3】选定一个 q 向量，设计 LTR 控制器，并绘制出不同 q 值下环路传递函数 的 Nyquist 图。,2023/1/6,23,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.2鲁棒控制问题的一般描述,小增益定理鲁棒控制器的结构鲁棒控制系统的 MATLAB 描述,2023/1/6,24,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.2.1 小增益定理,(a)标准反馈控制结构,(
7、b)小增益定理示意图,2023/1/6,25,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,假设 为稳定的，则当且仅当小增益条件,满足时,图(b)中所示的系统对所有稳定的 都是良定的，且是内部稳定的。,小增益定理,即如果系统的回路传递函数的范数小于 1，则闭环系统将总是稳定的。,2023/1/6,26,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.2.2 鲁棒控制器的结构,闭环系统中引入的增广对象模型,其对应的增广状态方程为,2023/1/6,27,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,闭环系统传递函数为,2023/1/6,28,控制
8、系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,最优控制问题 其中需求解；最优控制问题 其中需求解；控制问题 需要得出一个控制器满足,鲁棒控制问题的三种形式：,鲁棒控制的目的是设计出一个镇定控制器 使得闭环系统 的范数取一个小于 1 的值，亦即,2023/1/6,29,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,加权灵敏度问题的控制结构框图,加权函数，使得 均正则。即传递函数在 时均应该是有界的。,2023/1/6,30,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,式中,假定系统对象模型的状态方程为，加权函数 的状态方程模型为 的状态方程模型为，而
9、非正则的 的模型表示为,2023/1/6,31,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,这时鲁棒控制问题可以集中成下面三种形式：,灵敏度问题 并不指定 稳定性与品质的混合鲁棒问题 假定 为空一般的混合灵敏度问题 要求三个加权函数都存在。,2023/1/6,32,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.2.3 鲁棒控制系统的 MATLAB 描述,鲁棒控制工具箱中的系统描述方法,建立鲁棒控制工具箱可以使用的系统模型,2023/1/6,33,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,2023/1/6,34,控制系统计算机辅助设计MA
10、TLAB语言与应用东北大学信息学院,2023/1/6,35,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-6】,2023/1/6,36,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,分析与综合工具箱和 LMI 工具箱的 模型描述,2023/1/6,37,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,变换出系统矩阵 P,2023/1/6,38,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-7】用【例7-6】中的对象模型和加权函数，得出其系统矩阵模型 P,2023/1/6,39,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与
11、应用东北大学信息学院,7.3 鲁棒控制器的 计算机辅助设计,鲁棒控制工具箱的设计方法基于线性矩阵不等式工具箱的设计方法基于 分析与综合工具箱的 控制器设计基于回路成型技术的鲁棒控制器设计,2023/1/6,40,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.3.1 鲁棒控制工具箱的 设计方法,鲁棒控制器的状态方程表示,其中,X 与 Y 由下面的两个代数 Riccati 方程求解,2023/1/6,41,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,控制器存在的前提条件为,足够小,且满足；控制器 Riccati 方程的解为 正定矩阵；观测器 Riccati 方
12、程的解为 正定矩阵；。该式说明两个 Riccati 方程的积矩阵的所有特征值均小于。,2023/1/6,42,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-8】对【例7-6】中的增广的系统模型，分别 设计,2023/1/6,43,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,绘制在控制器作用下系统的开环 Bode 图和闭环阶跃响应曲线,2023/1/6,44,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-9】,设计最优 控制器，并绘制出该控制器作用下的阶跃响应曲线和开环系统的奇异值曲线。,并设置,加权矩阵,2023/1/6,45,
13、控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,2023/1/6,46,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-10】带有双积分器的非最小相位受控对象,，选择加权函数,并选择极点漂移为,设计系统的最优 控制器。,2023/1/6,47,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,2023/1/6,48,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.3.2 基于线性矩阵不等式 工具箱的设计方法,问题转换成线性矩阵不等式的最优化问题,2023/1/6,49,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院
14、,【例7-11】采用【例7-6】中增广的系统模型，用 LMI 工具箱的相关函数设计最优 控制器,2023/1/6,50,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.3.3 基于 分析与综合工具箱 的 控制器设计,【例7-12】采用【例7-6】中增广的系统模型，用 分析与综合工具箱的相关函数设计最优 控制器,2023/1/6,51,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,2023/1/6,52,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.3.4 基于回路成型技术的 鲁棒控制器设计,假设前向回路的数学模型为，由典型反馈系统有，则系统
15、的灵敏度控制传递函数，灵敏度函数,2023/1/6,53,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,加权和数与回路成型示意图,2023/1/6,54,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,2023/1/6,55,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.4 新鲁棒控制工具箱及应用,7.4.1 不确定系统的描述,2023/1/6,56,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-13】典型二阶开环传函,选定标称值为,构造不确定系统模型。,2023/1/6,57,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应
16、用东北大学信息学院,对叠加型不确定性,对乘积型的不确定性,2023/1/6,58,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.4.2 灵敏度问题的鲁棒控制器设计,一般情况下，受控对象 G 的 D 矩阵为非满秩矩阵时，不能得出精确的成型控制器，这时回路奇异值的上下限满足式子,当 时，控制器作用下实际回路奇异值介于 之间。,2023/1/6,59,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-14】,2023/1/6,60,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,绘制在此控制器下的回路奇异值及闭环系统的阶跃响应曲线,2023/1/
17、6,61,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.4.3 混合灵敏度问题的鲁棒 控制器设计,2023/1/6,62,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-15】,2023/1/6,63,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,假设系统的不确定部分为乘积型的，且已知，并已知不确定参数的变化范围为,设计固定的 控制器,2023/1/6,64,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.5 分数阶控制系统分析与设计,7.5.1 分数阶微积分学与数值计算,分数阶微积分的定义,2023/1/6,65,控
18、制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,当系数简单表示,2023/1/6,66,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,编写求取给定函数的分数阶微分函数,2023/1/6,67,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,Riemann-Liouville 定义为目前最常用的分数阶微积分定义,2023/1/6,68,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,Caputo 分数阶微分定义为,Caputo 分数阶积分定义为,2023/1/6,69,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,分数阶微积
19、分的性质,解析函数 的分数阶导数 对 都是解析的。,为整数时，分数阶微分与整数阶微分的 值完全一致，且。,分数阶微积分算子为线性的，即对任意常数，有,2023/1/6,70,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,2023/1/6,71,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.5.2 分数阶线性系统频域 与时域分析,单变量线性系统的分数阶传递函数一般形式为,2023/1/6,72,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,分数阶系统的频域分析,2023/1/6,73,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院
20、,分数阶系统的时域分析,2023/1/6,74,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.5.3 分数阶微分的滤波器近似及应用,分数阶微分的滤波器近似,Oustaloup 算法,滤波器零极点和增益为,假设选定的拟合频率段为，则可以构造出连续滤波器的传递函数模型为,2023/1/6,75,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,编写设计连续滤波器的函数。,2023/1/6,76,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-16】,2023/1/6,77,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,2023/
21、1/6,78,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,非线性分数阶系统的 Simulink 仿真,2023/1/6,79,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-17】用近似方法求解分数阶非线性微分方程,2023/1/6,80,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.5.4 分数阶系统的模型降阶技术,2023/1/6,81,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-18】,利用最优降阶函数opt_app()对其进行降阶处理，并绘制出高阶近似与最优降阶近似模型的阶跃响应曲线。,2023/1/
22、6,82,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,7.5.5 分数阶系统的控制器设计,分数阶 PID 控制器的数学模型为,2023/1/6,83,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-19】,根据 Wang-Juang-Chan 算法设计最优 ITAE 准则的PID 控制器,2023/1/6,84,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,2023/1/6,85,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-20】已知分数阶受控对象为，其中分数阶次变化范围为，且标称，选择滤波器近似的值,选择加权函
23、 数,设计最优 控制器,2023/1/6,86,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,2023/1/6,87,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,【例7-21】对【例7-19】中的分数阶受控对象模型，用 PID 控制的仿真、优化框图求解,2023/1/6,88,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,分数阶系统的最优 PID 控制器设计框图,2023/1/6,89,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,选择控制器参数为,若受控对象模型变化为,2023/1/6,90,控制系统计算机辅助设计MATLAB
24、语言与应用东北大学信息学院,7.6 本章要点简介,线性二次型 Gauss 问题，即 LQG 问题，带有 Kalman 滤波器 的 LQG 控制器结构，并指出了该控制器结构存在的问题，引出了 LQG/LTR 控制器结构，探讨了 q 值选择对控制效果的影像。小增益定理以及基于范数的鲁棒控制三种形式：控制、控制及最优 控制器，三种鲁棒控制问题，即灵敏度问题、稳定性与品质的混合鲁棒问题及一般混合灵敏度问题，并介绍了在加权函数下受控对象模型的增广方法。,2023/1/6,91,控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院,基于范数的鲁棒控制问题的 MATLAB 描述方法和鲁棒控制器的计算机辅助设计的理论与求解方法，初步探讨了加权函数的选取问题，并介绍了受控对象虚轴上零点的双线性变换方法。新版本的鲁棒控制工具箱将三种著名的方法，统一到一个框架下，给出了统一的模型描述与设计函数。分数阶微积分的定义与数值求解方法，分数阶系统的时域与频域分析方法、分数阶系统的整数阶近似算法、分数阶受控对象模型的整数阶 PID 控制器以及 控制器的设计方法。,知识回顾Knowledge Review,谢 谢！,放映结束 感谢各位的批评指导！,让我们共同进步,
