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1、24.2 点和圆、直线和圆的位置关系,24.2.1 点和圆的位置关系,第二十四章 圆,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点）2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.（重点）3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.4.了解反证法的证明思想.,学习目标,导入新课,你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？,情境引入,视频引入,问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？,.,C,.,.,.,.B,.,.A,.,点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.,问题2：设点到圆心的距离为d,圆
2、的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？,点P在O内,点P在O上,点P在O外,d,d,d,r,P,d,d,P,r,d,r,r,=,r,反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？,1.O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与O的位置关系是：点A在；点B在；点C在.,练一练：,圆内,圆上,圆外,2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在（）A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外,D,数形结合：,位置关系,数量关系,例1：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4
3、.,（1）以A为圆心，4为半径作A，则点B、C、D与A的位置关系如何？,解：AD=4=r，故D点在A上 AB=3r，故C点在A外,（2）若以A点为圆心作A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求A的半径r的取值范围？（直接写出答案）,3r5,变式：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），P是x轴上一点，要使PAO为等腰三角形，满足条件的P有几个？求出点P的坐标.,问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？,合作探究,以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.,A,问题2：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？
4、,A,B,作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.,问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？,o,经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.,经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.,经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.,定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.,o,归纳总结,已知：不在同一直线上的三点A、B、C.求作：O,使它经过点A、B、C.,作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3、以O为圆心，OB为半径作圆。
5、所以O就是所求作的圆.,O,N,M,F,E,A,B,C,练一练,问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？,方法:1、在圆弧上任取三点A、B、C;2、作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;3、以点O为圆心，OC长为半径作圆.O即为所求.,A,B,C,O,某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等。请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？,B,A,C,针对训练,试一试：已知ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.,O,1.外接圆O叫做ABC的_，ABC叫做O
6、的_.,到三角形三个顶点的距离相等.,2.三角形的外心：定义：,O,外接圆,内接三角形,三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.,作图：,三角形三边中垂线的交点.,性质：,要点归纳,判一判：下列说法是否正确(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆()(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形()(3)经过三点一定可以确定一个圆()(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等(),画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.,锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外.,经过三角形
7、的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫三角形的外心；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.,要点归纳,例2：如图，将AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，ABO60，若AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)(1)求DAO的度数；(2)求点A的坐标和AOB外接圆的面积,解：(1)ADOABO60，DOA90，DAO30；,典例精析,(2)求点A的坐标和AOB外接圆的面积,(2)点D的坐标是(0，3)，OD3.在直角AOD中，OAODtanADO，AD2OD6，点A的坐标是(，0)AOD90，AD是圆的直径，AOB外接圆的面积是9.,方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定
8、外接圆的直径(或半径)长度,例3 如图，在ABC中，O是它的外心，BC24cm，O到BC的距离是5cm，求ABC的外接圆的半径,解：连接OB，过点O作ODBC.,D,则OD5cm，,在RtOBD中,即ABC的外接圆的半径为13cm.,思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？,l1,l2,如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1l，l2l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆,先假设命题的结论不
9、成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法,假设命题的结论不成立从这个假设出发，经过推理，得出矛盾由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确,例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60.,已知：ABC求证：ABC中至少有一个内角小于或等于60.,证明：假设，则。，即.这与矛盾假设不成立,ABC中没有一个内角小于或等于60,A60,B60,C60,A+B+C180,三角形的内角和为180度,ABC中至少有一个内角小于或等于60.,A+B+C60+60+60=180,1.如图，请找出图中圆的圆
10、心，并写出你找圆心的方法?,A,B,C,O,当堂练习,2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作A，则点B在A；点C在A；点D在A.,上,外,上,3.O的半径r为5，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与O的位置关系为（）A.在O内 B.在O上 C.在O外 D.在O上或O外,B,4.判断：（1）经过三点一定可以作圆（）（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点（）（3）三角形的外心到三边的距离相等（）（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内（）,5.已知：在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径=.,5,6.如图，ABC内接于O，若OAB20
11、，则C的度数是_,70,7.如图，在55正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）,A点P B点Q C点R D点M,B,8.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A第块 B第块 C第块 D第块,D,2cm,3cm,9.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.,O,10.如图，已知 RtABC 中，若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径.,解：设RtABC 的外接圆的外心为O，连接OC，则OA=OB=OC.O是斜边AB 的中点.C=900，AC=12cm，BC=5cm.AB=13cm，OA=6.5cm.故RtABC 的外接圆半径为6.5cm.,能力拓展：一个812米的长方形草地，现要安装自动喷水装置,这种装置喷水的半径为5米,你准备安装几个?怎样安装?请说明理由.,点与圆的位置关系,位置关系数量化,作圆,过一点可以作无数个圆,过两点可以作无数个圆,定理：过不在同一直线上的三个点确定一个圆,一个三角形的外接圆是唯一的.,注意：同一直线上的三个点不能作圆,课堂小结,
