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1、1.4.2正弦函数余弦函数的性质第二课时,学习目标,2.能判断正、余弦函数的单调性，并会求其单调区间,3.掌握利用正、余弦函数单调性求其最大值及最小值，并能比较其大小,1.掌握正、余弦函数对称性，会求对称轴、对称中心。,正弦函数的图象,余弦函数的图象,问题：它们的图象有何对称性？,回顾正弦函数和余弦函数的图像、定义域、值域以及奇偶性。,对称轴：,对称中心：,一、正、余弦函数的对称性:,对称轴：,对称中心：,一、正、余弦函数的对称性:,（3）任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期。,说明（1）正弦函数、余弦函数的图象都有无穷多条对称轴，其对
2、称轴都是过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点垂直x轴的直线，即此时的正弦值、余弦值都为1或-1。,（2）正弦函数、余弦函数的图象都有无穷多个对称中心，其对称中心都是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值都为0。,例1:求函数 的对称轴和对称中心:,解:(1)令,则,的对称轴为,解得:对称轴为,的对称中心为,对称中心为,换元法,分析：应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元法，化归到基本的正、余弦函数的对称性。,C,（）,练习,复习回顾：求函数的单调区间的方法：,1.直接利用相关性质：,2.复合函数的单调性：,3.利用图象寻找函数的单调区间。,同增异减,复合函数的单调性：设
3、y=f(u),u=g(x),xa,b,um,n都是单调函数，则y=fg(x)在a,b 上也是单调函数.若y=f(u)是m,n上的增函数，则y=fg(x)的增减性与u=g(x)的增减性相同；若y=f(u)是m,n上的减函数，则y=fg(x)的增减性与u=g(x)的增减性相反.以上规律还可总结为：“同增异减”.,增区间:其值从-1增至1,0,-1,0,1,0,-1,减区间:其值从 1减至-1,二、正、余弦函数的单调性:,增区间:其值从-1增至1,-1,0,1,0,-1,减区间:其值从 1减至-1,-0,二、正、余弦函数的单调性:,例2:利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小:,又 y=cosx
4、 在 上是减函数,分析：先通过诱导公式把角化为同一单调区间内的角，然后利用三角函数的单调性比较大小。,解(1)：,又 y=sinx 在 上是增函数,sin()sin(),解(2)：,例3:求函数 的单调递增区间:,y=sinz的增区间,原函数的增区间,解:,换元法,分析：求三角函数的单调区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元法，化归到基本的正、余弦函数的单调性。,变式1:求函数 的单调递增区间:,解答三角函数的单调性问题一定要注意复合函数的单调性法则，还要注意函数的定义域。,画数轴，盖小屋,由例3知,文字叙述,变式2:求函数 的单调递增区间:,分析：为了防止出错，以及计算方便，
5、遇到负号要提出来,最大值：,当 时，,最小值：,当 时，,三、探究：正弦函数的最大值和最小值:,三、探究：余弦函数的最大值和最小值:,最大值：,当 时，,最小值：,当 时，,例4.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.,解：,这两个函数都有最大值、最小值.,（1）使函数 取得最大值的x的集合，就是使函数 取得最大值的x的集合,使函数 取得最小值的x的集合，就是使函数 取得最小值的x的集合,函数 的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.,例4.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大
6、、最小值分别是什么.,解：,（2)令z=2x,因为使函数 取最大值的z的集合是,所以使函数 取最大值的x的集合是,同理，使函数 取最小值的x的集合是,函数 取最大值是3，最小值是-3。,例5:求下列函数的值域：,解:(1),令,画图可得,例5:求下列函数的值域：,解:(2),画图可得,例6:求下列函数的值域：,解:(1),换元法,画图可得,令,例6:求下列函数的值域：,解:(2),换元法,画图可得,时，,时，,时，,时，,增函数,减函数,增函数,减函数,对称轴：,对称中心：,对称轴：,对称中心：,奇函数,偶函数,课堂小结1：,(2)对于函数yAsin(x)(A0，0)，可先用诱导公式转化为yAsin(x)，即把x的系数化为正数，则yAsin(x)的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间，或把x看作一个整体t，考虑函数yAsint(或yAsint)的单调区间利用复合函数单调性判定方法，构造不等式解之,余弦函数yAcos(x)的单调性讨论同上,(1)对于函数 yAsin(x)(A0，0)，把x看成一个整体，由2k x2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2k x2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为减区间,2、求函数yAsin(x)单调区间的方法：,
