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1、第四章 力学量随时间的演化与对称性,4.1 力学量随时间的演化,在波函数(x,t)所描写的态中，力学量A的平均值为,(1),(2),一、力学量平均值随时间的变化,由薛定谔方程，,因为是厄密算符,(3),这就是力学量平均值随时间变化的公式。,若不显含t，即:,(4),则有:,二、守恒量,如果既不显含时间，又与对易,则有,即这种力学量在任何态之下的平均值都不随时间改变。,(5),在任意态下，此时A的概率分布也不随时间改变。,我们称这样的力学量A为运动恒量或守恒量。,=0,同时可以证明：,式中 即为守恒量 在 态中的概率，,证明守恒量F其概率分布不随时间而变化,任意状态可表为,且概率分布函数,其中
2、为 时力学量的概率分布函数，所以,故有,所以,即守恒量A的测量概率与时间无关，即概率分布不随时间而变化。,概括起来讲，对于Hamilton量不含时的量子体系，如果力学量既不显含时间，又与对易（,=0），则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测量的概率分布均不随时间改变。所以把A称为量子体系的一个守恒量。,守恒量有两个特点：(1)在任何态(t)之下的平均值都不随时间改变；(2)在任意态(t)下A的概率分布不随时间改变。,与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态，要根据初始条件决定
3、。若在初始时刻(t=0)，守恒量A具有确定值，则以后任何时刻它都具有确定值，即体系将保持在的同一个本征态。由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数。但是，若初始时刻A并不具有确定值（这与经典力学不同），即(0)并非的本征态，则以后的状态也不是的本征态，即A也不会具有确定值，但几率分布仍不随时间改变，其平均值也不随时间改变。,量子力学中的守恒量的概念，与经典力学中守恒量概念不同。这实质上是不确定度关系的反映。,(b)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。,例如，中心力场中的粒子，角动量的三个分量都守恒，但由于三个分量互相不对易，所以一般说来它们并不能同时取确定值（角动量等于零的态除外
4、）。,三、举例,1、自由粒子动量守恒,自由粒子的哈密顿算符：,所以自由粒子的动量是守恒量。,所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量,2、粒子在中心力场中运动：角动量守恒,又，,都是守恒量。,3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒,不显含t,又,即 守恒（能量守恒）。,即空间反演算符，它的作用是把波函数中的 它是厄米算符，它的本征值只有，即,四、宇称守恒,宇称算符,态函数的宇称:,宇称守恒 若体系哈密顿量具有空间反演不变性 则 即，亦即 是一个守恒量，或者说 描写的系统的宇称是不变的，称为宇称守恒定律。,1956年以前，人们一直认为自然界的各种基本相互作用过程都遵从宇称守恒，但是，后来杨
5、振宁、李政道和吴健雄证实了在弱相互作用过程中宇称不守恒，从而使人类对自然界的对称性有了新的认识。,宇称守恒要求：状态波函数的奇偶性不随时间变化。,四、能级简并与守恒量的关系,定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量，,则：体系能级一般是简并的。,证明：,推论：如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级 不简并（即对应于某能量本征值E只有一个本 征态），则 必为F的本征态。,证明：,判断下列提法的正误94页。,例题1：,例题2：,例题3：,4.4 教材95页。,4.4守恒量与对称性,德国数学家魏尔（H.Weyl,1885-1955）用严谨的概念描述对称性.他对上述现象作了如下表述：若某图形通过镜面反射
6、又回到自己，则该图形对该镜面是反射对称或双向对称的.若某一图形围绕轴作任何转动均能回到自身，则该图形具有对轴的转动的对称性.,（一）关于对称性,无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象.,20世纪初，人们认识了守恒定律和对称性的关系.爱因斯坦在狭义相对论将反映时空对称性的相对性原理从力学推广于全部物理学，爱因斯坦用对称性研究引力.20世纪中，人们还看到规范对称性决定着各种相互作用的特征.如粒子物理弱相互作用下由左右不对称，这意味着有对称又有不对称.从上述中已能看到对称性在现代物理学中的重要作用同时也看到物理学中的对称性已被研究得何等深入，包含了多么博大深邃的人类的智慧，科学美与艺术美也
7、统一起来了.,一个力学系统的对称性就是它的运动规律的不变性。在量子力学中，运动规律是薛定谔方程，它决定于系统的哈密顿算符，因此，量子力学系统的对称性表现为哈密顿算符 的不变性。,在量子力学中，我们将看到：,能量、动量、角动量的守恒与时空对称性有密切关系。,即：,这就使体系Hamilton量在变换Q下的不变性的数学表达,注意：,一般不是厄米算符，所以它本身不是守恒量算符，但它可以决定一个守恒量算符。,凡满足该式的变换称为体系的对称性变换,考虑到概率守恒，要求,则Q应为幺正变换（算符），即,对于连续变换，可考虑无穷小变换，令,即要求,F为厄密算符，称为变换Q的无穷小算符。,由于其厄密性，可用它来定
8、义一个与Q变换相联系的可观测量,将体系在Q变换下的不变性,应用到无穷小变换,可导致,F就是体系的一个守恒量,一个体系若存在一个守恒量，则反映体系有某种对称性，反之，不一定成立。对于幺正变换对称性，的确存在相应的守恒量,例1.空间平移不变性与动量守恒,考虑沿,方向的无穷小平移,，则波函数的变化为,于是平移变换算符为：,其中：,为相应的无穷小算符,对于三维空间的无穷小平移,，则有,其中：,即动量算符。,如果体系对于平移具有不变性，即,则有,根据力学量守恒条件可知：动量算符守恒。,例2.空间旋转不变性与角动量守恒。,先考虑一个简单情况：即体系绕轴旋转无穷小角度,则波函数的变化为,于是绕z轴旋转的变换
9、算符为：,其中：,是大家熟知的角动量的z分量算符,于是绕 轴旋转的变换算符为:,现在来考虑三维空间中的绕某方向,（单位矢）的无穷小旋转,则波函数的变化为,其中：,是大家熟知的角动量算符。,如果体系具有空间旋转不变性，即,则有,由力学量守恒条件可知：角动量守恒。,（1）全同粒子,质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。,（2）经典粒子的可区分性,经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的。因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有确定的位置和速度。,可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子,4.5.1 全同粒子和全同性原理,4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性,（一）
10、全同粒子的交换对称性,（3）微观粒子的不可区分性,量子力学,在波函数重叠区 粒子是不可区分的,（4）全同性原理,全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变,即具有交换对称性。,全同性原理是量子力学的基本原理之一。,对描述全同粒子体系的波函数带来限制：要求描述全同粒子体系的波函数对于粒子交换具有对称性。,（1）Hamilton 算符的对称性,N 个全同粒子组成的体系，其Hamilton 量为：,调换第 i 和第 j 粒子，体系 Hamilton 量不变。,即：,表明，N 个全同粒子组成的体系的Hamilton 量具有交换对称性，交换任意两个粒子坐标（q i,q j)后不变
11、。,（二）波函数的对称性质,（2）对称和反对称波函数,考虑全同粒子体系的含时 Shrodinger 方程,将方程中（q i,q j)调换，得：,由于 Hamilton 量对于（q i,q j)调换 不变,表明：（q i,q j)调换前后的波函数都是Shrodinger 方程的解。,因此，二者相差一常数因子。,再做一次（q i,q j)调换,对称波函数,反对称波函数,引入粒子坐标交换算符,全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的；初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。,证,方法 I,设全同粒子体系波函数 s 在 t 时刻是对称的，由体系哈密顿量是
12、对称的，所以 H s 在t 时刻也是对称的。,在 t+dt 时刻，波函数变化为,对称,对称,二对称波函数之和仍是对称的,依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。,同理可证：t 时刻是反对称的波函数a，在t 以后任何时刻都是反对称的。,（三）波函数对称性的不随时间变化,方法 II,全同粒子体系哈密顿量是对称的,结论：,描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。,实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。,（1）Bos
13、e 子,凡自旋为 整数倍（s=0，1，2，)的粒子，其多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为 Bose 子,如：光子（s=1）；介子（s=0）。,（四）Fermi 子和 Bose 子,（2）Fermi 子,凡自旋为 半奇数倍（s=1/2，3/2，)的粒子，其多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是反对称的，遵从Fermi 统计，故称为Fermi 子。,例如：电子、质子、中子（s=1/2）等粒子。,（3）由“基本粒子”组成的复杂粒子,如：粒子（氦核）或其他原子核。如果在所讨论或过程中，内部状态保持不变，即内部自由度完全被冻结，则全同概念仍然适用，可以作为一类全同粒子来处
14、理。,偶数个 Fermi 子组成,奇数个 Fermi子组成,奇数个 Fermi子组成,（1）对称和反对称波函数的构成,I 2 个全同粒子Hamilton 量,II 单粒子波函数,4.5.2 两个全同粒子波函数,III 交换简并,粒子1 在 i 态，粒子2 在 j 态，则体系能量和波函数为：,验证：,粒子2 在 i 态，粒子1 在 j 态，则体系能量和波函数为：,IV 满足对称条件波函数的构成,全同粒子体系要满足对称性条件，而(q1,q2)和(q2,q1)仅当 i=j 二态相同时，才是一个对称波函数；当 i j 二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。所以(q1,q2)和(q2,q1)
15、不能用来描写全同粒子体系。,构造具有对称性的波函数,C 为归一化系数,显然 S(q1,q2)和 A(q1,q2)都是 H 的本征函数，本征值皆为：,V S 和 A 的归一化,若单粒子波函数是正交归一化的，则(q1,q2)和(q2,q1)也是正交归一化的,证：,同理：,而,同理：,证毕,首先证明,然后考虑S 和 A 归一化,则归一化的 S,同理对 A 有：,（1）Shrodinger 方程的解,上述对2个全同粒子的讨论可以推广到N个全同粒子体系，设粒子间无互作用，单粒子H0 不显含时间，则体系,单粒子本征方程：,4.5.3 N 个全同粒子体系波函数,（2）Bose 子体系和波函数对称化,2 个B
16、ose 子体系，其对称化波函数是：,1，2 粒子在 i，j态中的一种排列,N 个Bose 子体系，其对称化波函数可类推是：,N 个 粒子在 i，j k 态中的一种排列,归一化系数,对各种可能排列 p 求和,nk 是单粒子态k 上的粒子数,例:N=3 Bose 子体系,，设有三个单粒子态分别记为 1、2、3，求：该体系对称化的波函数。,I、n1=n2=n3=1,II、n1=3，n2=n3=0 n2=3，n1=n3=0 n3=3，n2=n1=0,III、n1=2，n2=1，n3=0。,另外还有 5 种可能的状态，分别是：,n1=1，n2=0，n3=2,n1=0，n2=1，n3=2,n1=0，n2=
17、2，n3=1,n1=1，n2=2，n3=0,n1=2，n2=0，n3=1,附注：,关于重复组合问题,从m 个不同元素中每次取 n 个元素（元素可重复选取）不管排列顺序构成一组称为重复组合，记为：（m 可大于、等于或小于n）,重复组合与通常组合不同，其计算公式为：,通常组合计算公式：,重复组合计算公式表明：从m个不同元素中每次取n个元素的重复组合的种数等于从（m+n-1）个不同元素中每次取n个元素的普通组合的种数。,应用重复组合，计算全同Bose 子体系可能状态总数是很方便的。,如上例，求体系可能状态总数的问题实质上就是一个从 3 个状态中每次取3 个状态的重复组合问题。,（3）Fermi 子体
18、系和波函数反对称化,2 个Fermi 子体系，其反对称化波函数是：,行列式的性质保证了波函数反对称化,推广到N 个Fermi 子体系：,两点讨论,I。行列式展开后，每一项都是单粒子波函数乘积形式，因而 A 是 本征方程 H=E 的解.,II。交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波函数。此行列式称为 Slater 行列式。,（1）二 Fermi 子体系,其反对称化波函数为：,若二粒子处于相同态，例如都处于 i 态，则,写成 Slater 行列式,两行相同，行列式为 0,（2）N Fermi 子体系,（三）Pauli 原理,如果 N 个单粒子态
19、 i j k 中有两个相同，则行列式中有两行相同，于是行列式为0，即,两行同态,上述讨论表明，N Fermi 子体系中，不能有 2 个或 2 个以上Fermi 子处于同一状态，这一结论称为 Pauli 不相容原理。波函数的反对称化保证了全同Fermi 子体系的这一重要性质。,P95 习题4.2,解:(a)对两个全同的Boss子，体系波函数必须满足交换对称性。,当两个粒子处于相同的单态时，体系波函数必定交换对称：,可能态数目 3,当两个粒子处于不同的单态时，对称化的体系波函数：,可能态数目,所以，两个全同Boss子总的可能态数目6,例题4：,(b)对两个全同的Femi子，体系波函数必须满足交换反
20、对称要求。,对Femi子不允许两个粒子处于相同的单态，因此它们只能处于不同的单态，此时反对称化的体系波函数：,可能态数目,所以，两个全同Femi子总的可能态数目3,(b)对两个经典的粒子(可区分)，其体系波函数无对称性要求，即,可能态数目,两个自旋均为1/2的费密子体系的波函数为（12），如果两个费米子是全同的。则（1）（12）满足什么条件？（2）利用所给出的（12）所满足的条件，说明pauli不相容原理。,例题5：,解：（1）（12）要满足（12）（21），,因为全同费米子体系的波函数对两个粒子的交换反对称。,（2）由（12）（21）得，当两个粒子处于完全相同的量子态，即12时，则,（11）（11）,因此（11）0，这就是说，两个全同费米子不能处于完全相同的量子态，这就是Pauli不相容原理。,总 结,一、守恒量,如果既不显含时间，又与对易,守恒量有两个特点：(1).在任何态(t)之下的平均值都不随时间改变；(2).在任意态(t)下A的概率分布不随时间改变。,二、守恒量与对称性,一个体系若存在一个守恒量，则反映体系有某种对称性，反之，不一定成立。对于幺正变换对称性，的确存在相应的守恒量,三、全同粒子体系波函数,全同粒子波色子费米子,对称波函数反对称波函数,波函数的交换对称性,Pauli不相容原理,作业：95页4.3、4.5题,
