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1、第8章-矩阵习题课,1-矩阵的概念2-矩阵在初等变换下的标准形 3 不变因子与行列式因子4 矩阵相似的条件5 初等因子 6 Jordan标准形的理论推导7 矩阵的有理标准形,1-矩阵的定义、秩、可逆性,一.概念设P是一个数域,是一个文字,作多项式环P.如果一个矩阵其元素是的多项式,即P的元素,就称为-矩阵.常用A(),B()表示.数字矩阵:特殊情形.运算:与数字矩阵相同.,-矩阵的行列式,(1)-矩阵的行列式与数字矩阵的行列式有相同的性质.(2)-矩阵的行列式是关于文字 的一个多项式。(3)可定义-矩阵行列式的子式、非零子式、-矩阵的秩等概念。零矩阵的秩规定为0.,三.-矩阵的逆矩阵,定义 设
2、A()是一个nn的-矩阵,如果有一个nn的-矩阵B()使 A()B()=B()A()=E则称A()是可逆的,称B()为A()的逆矩阵.注(1)这里 E是n阶单位矩阵;(2)这样的矩阵B()是唯一的,记作A-1().,伴随矩阵A*():同数字矩阵.,定理 一个nn的-矩阵A()可逆的充分必要条件为行列式|A()|是一个非零的数.,2-矩阵在初等变换下的标准形,一.初等变换与初等矩阵-矩阵的初等变换:指下面的三种变换(1)矩阵的两行(列)互换位置;(2)矩阵的某一行(列)乘以非零的常数c;(3)矩阵的某一行(列)加另一行(列)的()倍,()是一个多项式.,初等矩阵都是可逆的,并且有 P(i,j)-
3、1=P(i,j),P(i(c)-1=P(i(c-1),P(i,j()-1=P(i,j(-).,-矩阵的初等矩阵:由单位矩阵经一次-矩阵的初等变换得到的-矩阵称为初等-矩阵.P(i,j);P(i(c);P(i,j(),对一个sn的-矩阵A()作一次初等行变换就相当于在A()的左边乘上相应的ss初等-矩阵;对A()作一次初等列变换就相当于在A()的右边乘上相应的nn的初等-矩阵.,定义-矩阵A()称为与B()等价,如果可以经过一系列初等变换将A()化为B().-矩阵之间的等价满足如下三条;(1)自反性:每个-矩阵与自己等价.(2)对称性:若A()与B()等价,则B()与 A()等价.(由于初等变换
4、具有可逆 性).(3)传递性:若A()与B()等价,B()与C()等价,则A()与C()等价.,命题 矩阵A()与B()等价的充分必要条件为有一系列初等-矩阵P1,P2,Ps,Q1,Q2,Qt,使 A()=P1P2PsB()Q1Q2Qt.,定理 任意一个非零的sn的-矩阵A()都等价于下列形式的矩阵,其中r1,di()(i=1,2,r)是首项系数为1的多项式,且 di()di+1()(i=1,2,r-1)。,3 不变因子,一.行列式因子定义 设-矩阵A()的秩为r,对于正整数 k,1kr,A()中必有非零的k阶子式.A()中全部k阶子式的首项系数为1的最大公因式Dk()称为A()的k级行列式因
5、子.,由定义可知,对于秩为r的-矩阵,行列式因子一共有r个.行列式因子的意义就在于,它在初等变换下是不变的.,定理 等价的-矩阵具有相同的秩与相同的各阶行列式因子。,二.标准形的唯一性定理-矩阵的标准形是唯一的,三.不变因子定义 标准形的主对角线上非零元素 d1()d2(),dr()称为-矩阵A()的不变因子.定理 两个sn 的-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子,或者说,有相同的不变因子.,注 由上可见,在-矩阵的行列式因子之间,有 Dk()Dk+1()(k=1,2,r-1).在计算-矩阵的行列式因子时,常常是先计算最高阶的行列式因子.这样就大致有了低阶行列式因子的范围了.,特别
6、地,当B()=E时,就得到如下结果,定理-矩阵A()可逆的充分必要条件是:A()的标准形为单位矩阵E.定理-矩阵A()可逆的充分必要条件是:A()能表成一些初等矩阵的乘积.,定理 两个sn的-矩阵A()与B()等价的充分必要条件是:存在可逆的s阶-矩阵P()与可逆的n阶-矩阵 Q(),使得 B()=P()A()Q().,4 矩阵相似的条件,定理 设A,B是数域P上两个nn矩阵.则A与B相似当且仅当E-A和E-B等价.,5 初等因子,一.初等因子的概念定义 把方阵A(或线性变换A)的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积,所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为
7、矩阵A(或线性变换A)的初等因子.,二.不变因子与初等因子的关系命题 n阶矩阵A的不变因子与初等因子是互相确定的.,命题 两个同阶方阵有相同的初等因子当且仅当它们有相同的不变因子.定理 两个同阶方阵相似当且仅当它们有相同的初等因子.,三.初等因子的求法,定理 按初等变换化A的特征矩阵E-A为对角形,将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积,则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是A的全部初等因子.,推论 设A()是一个准对角矩阵则A1(),A2(),As()的全部初等因子合起来就是A()的全部初等因子.,6 Jordan标准形的理论推导,一.Jordan标准形的初等因
8、子Jordan块的初等因子是(-0)n.Jordan形矩阵,的全部初等因子是 其中 是Ji的初等因子.,定理 每一个n阶的复数矩阵A都与一个Jordan形矩阵相似,这个Jordan形矩阵除去其中Jordan块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的,它称为A的Jordan标准形。（这里的Jordan块是由A 的初等因子决定的）,定理 复矩阵A 相似于对角阵，当且仅当A的初等因子都是一次的。,推论 复矩阵A 相似于对角阵，当且仅当A的不变因子都没有重根。引理 n 阶矩阵A 的最小多项式就是A的最后一个不变因子dn()。,7 矩阵的有理标准形,本节将在任意数域中讨论一.伴侣矩阵定义 对数域上的一个多项式 d()=n+a1n-1+an 称矩阵为多项式d()的伴侣矩阵.,d()的伴侣矩阵A的不变因子是1,1,1,d()证 因为,二.有理标准形定义 下列准对角矩阵其中Ai分别是数域P上的某些多项式di()的伴侣矩阵.且满足d1()d2()ds(),就称A为P上的一个有理标准形矩阵.,定理 数域P上nn方阵A在P上相似于唯一的一个有理标准形,称为A的有理标准形.,线性变换的语言定理 设A是数域P上n维线性空间V的一 个线性变换,则在V中必定存在一组基,使A在这组基下的矩阵是有理标准形,并且这个有理标准形由A唯一决定,称为A的有理标准形.,
