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,第八节,一般周期的函数的傅里叶级数,一、以2 l 为周期的函数的,傅里叶展开,一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开,周期为 2l 函数 f(x),周期为 2 函数 F(z),变量代换,将F(z)作傅氏展开,f(x)的傅氏展开式,设周期为2l 的周期函数 f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为,(在 f(x)的连续点处),其中,定理.,证明:令,则,令,则,所以,且它满足收敛,定理条件,将它展成傅里叶级数:,(在 F(z)的连续点处),变成,是以 2 为周期的周期函数,其中,令,(在 f(x)的 连续点处),证毕,说明:,其中,(在 f(x)的连续点处),如果 f(x)为偶函数,则有,(在 f(x)的连续点处),其中,注:无论哪种情况,在 f(x)的间断点 x 处,傅里叶级数,收敛于,如果 f(x)为奇函数,则有,例.把,展开成,(1)正弦级数;(2)余弦级数.,解:(1)将 f(x)作奇周期延拓,则有,(2)将,作偶周期延拓,则有,说明:此式对,也成立,由此还可导出,据此有,为正弦 级数.,内容小结,1.周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式,(x 间断点),其中,当f(x)为奇 函数时,(偶),(余弦),2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法,延拓,
