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1、4.1 差商（均差）及性质,1 差商（均差）,即有定义：,4 差商与牛顿插值多项式,定义4,即,2 基本性质,定理5,均差与节点顺序无关，即,例如：,共6个,的线性组合，即,分析：,当k=1时,(1)可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到。只证(1),证明：,（1）当k=1时,表2.4,3 差商表,计算顺序:同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列 上一行的差商再作差商。,4.2 牛顿插值多项式,由差商定义及对称性，得,1 牛顿插值多项式的推导,将(b)式两边同乘以,(d)式两边同乘以,把所有式子相加,得,(c)式两边同乘以,记,-牛顿插值多项式,-牛顿插值余项,可得以下结论。,定理6
2、,（牛顿插值多项式）,-牛顿插值余项,2 n+1阶差商函数与导数的关系,由n次插值多项式的唯一性，则有,牛顿插值多项式,只是表达方式不同.,?,因为,而 的基函数可为:,已知 函数表,阶导数存在时，由插值多项式的唯一性有余项公式,n+1阶差商函数,导数,则n 阶差商与导数,的关系为,其中,n+1阶差商函数与导数的关系,定理7,计算步骤:,(2)用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算.,3 牛顿插值多项式计算次数(当k=n 时),(1)计算差商表(计算 的系数),除法次数(k=n):,(2)用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算.,乘法次数:n,优点:,(1)计算量小,较 L-插值法减少了3-4倍.,(2)
3、当需要增加一个插值节点时,只需再计算一项,即,-递推公式,(适合计算机计算).,乘除法次数大约为:,4 两函数相乘的差商,定理8（两函数相乘的差商）,显然公式成立。,事实上，,一般情况，可用归纳法证明。#,设,证明：,阶差商为,5 重节点差商,（通过差商极限定义）,定义5(重节点差商),若,互异，有了重节点差商的定义，该式中的节点可以相同。,说明：,?,则定义,类似的有,其中,-牛顿插值多项式,-牛顿插值余项,4 差商与牛顿插值多项式,牛顿插值公式,5 重节点差商,定义5(重节点差商),若,?,则定义,类似的有,证明：,(2)首先,由定义,泰勒展开式,本课重点：,1、理解差商定义,3、会用牛顿插值多项式解简单题目。,2、掌握牛顿插值公式,-牛顿插值余项,一、Lagrange 插值多项式,，k=0,1,n.,复习：,过n+1个节点，满足插值条件：L j(xj)=yj(j=0,1,n)的n次插值,或,插值基函数,优点：,计算量大,缺点：,乘除法次数：,多项式Ln(x)：,二、列维尔(Neville)方法与埃特金(Aitken)方法,改进的方法,列维尔方法:,埃特金算法,计算量：,较L插值减少了.,
