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1、,第10章 材料力学中的能量方法,专题篇之一,材料力学,下一章,上一章,返回总目录,第10章 材料力学中的能量方法,天之道，损有余而补不足。是以虚击实，以不足胜有余。,第10章 材料力学中的能量方法,基本思想的变迁：从牛顿、莱布尼兹的局部化数理分析到欧拉、拉格朗日的整体化数理分析,几何法确定结构位移的复杂性,第10章 材料力学中的能量方法,为了计算B点沿加力方向的位移，需要首先计算AB杆的伸长量和BC的缩短量；然后建立这些量与加力点的位移之间的关系。,承载的构件或结构发生变形时，加力点的位置都要发生变化，因而外力作功。,第10章 材料力学中的能量方法,能量守恒原理的应用及其局限性,如果不考虑加
2、载过程中其他形式的能量损耗，根据机械能守恒定理，外力所作的功，全部转变为应变能储存于构件或结构内。,第10章 材料力学中的能量方法,通过计算构件或结构的应变能，可以确定构件或结构在加力点处沿加力方向的位移。,能量守恒原理的应用及其局限性,但是，根据机械能守恒定律，难以确定构件或结构上任意点沿任意方向的位移，也不能确定构件或结构上各点的位移函数。,第10章 材料力学中的能量方法,应用更广泛的能量方法，可以确定:,构件或结构上加力点沿加力方向的位移;,构件或结构上任意点沿任意方向的位移;,不仅可以确定特定点的位移，而且可以 确定梁的位移函数。,第10章 材料力学中的能量方法,本章将介绍：,功和能的
3、基本概念；,虚位移原理与虚力原理；,卡氏定理。,功和余功,讨论一般的力和位移关系：,广义力与广义位移 力线位移；力偶角位移；均匀分布载荷？；均匀分布压力？；,一般的力和位移关系,基本概念,功(work)以位移作为积分变量,dW=FPd,W=dW=FPd,功和余功,基本概念,余功(complementary work)以力作为积分变量,dWc=dFP,Wc=,dWc,功和余功,基本概念,余功：“虚构”的概念功、余功、互补和对偶思想,广义的应力应变关系(),=(),可以是正应力 也可以是切应力,可以是正应变 也可以是切应变,应变能和余应变能,基本概念,应变能(strain energy)以为积分变
4、量,=d应变比能,V dV 应变能,应变能和余应变能,基本概念,余应变能(complementary strain energy)以 为积分变量,vc=d 余应变比能,Vc vc dV 余应变能,应变能和余应变能,基本概念,余应变能：“虚构”的概念应变能、余应变能、互补与对偶思想,几个前提：杆件变形后横截面保持平面；静力学方程成立；FNx=A dA Mz=-A y dA My=A z dA Mx=A dA 细长杆忽略剪力影响。,基本概念,杆件应变能和余应变能的计算,对于线性问题,以及 E 和 G 得到,基本概念,杆件应变能和余应变能的计算,上式也可以通过微段变形分析得到,对于拉伸和压缩杆件，微
5、段的应变能为,则拉伸和压缩杆件的应变能为,基本概念,第10章 材料力学中的能量方法,对于拉伸和压缩杆件,如果,其中d为微段两截面绕中性轴相对转过的角度，,代入上式积分后，得到梁的应变能表达式,基本概念,第10章 材料力学中的能量方法,忽略剪力影响，微段的应变能为,对于承受弯曲的梁,其中d为微段两截面绕杆轴线的相对扭转角：,代入上式积分后，得到圆轴扭转时的应变能表达式,基本概念,第10章 材料力学中的能量方法,微段的应变能为,对于承受扭转的圆轴,在小变形的情形下，杆件的横截面上同时有轴力、弯矩和扭矩作用时，由于这三种内力分量引起的变形是互相独立的，因而总应变能等于三者单独作用时的应变能之和。于是
6、有,对于杆件长度上各段的内力分量不等的情形，需要分段计算然后相加：,或者采用积分计算：,基本概念,第10章 材料力学中的能量方法,对于一般受力形式,上述应变能表达式必须在小变形条件下，并且在弹性范围内加载时才适用。,基本概念,第10章 材料力学中的能量方法,叠加原理的应用限制,基本概念,第10章 材料力学中的能量方法,基本概念,第10章 材料力学中的能量方法,线弹性，位移可以叠加,=1+2,基本概念,第10章 材料力学中的能量方法,线弹性,位移可以叠加,但应变能不能叠加,基本概念,第10章 材料力学中的能量方法,基本概念,第10章 材料力学中的能量方法,基本概念,第10章 材料力学中的能量方法
7、,叠加法最本质的内涵力的独立作用原理。,基本概念,第10章 材料力学中的能量方法,不同的内力分量引起的应变能，在什么条件下才能叠加？,功的互等定理,位移互等定理,互等定理,第10章 材料力学中的能量方法,基本概念,第10章 材料力学中的能量方法,线弹性、小变形下，应变能是状态量，具有随加载顺序无关性（联想：积分与路径无关）,FP 系统,FS 系统,功的互等定理(reciprocal theorem of work),互等定理,第10章 材料力学中的能量方法,FP 系统,功的互等定理,FS 系统,互等定理,第10章 材料力学中的能量方法,FP 系统,FS 系统,功的互等定理,互等定理,第10章
8、材料力学中的能量方法,功的互等定理的证明,互等定理,第10章 材料力学中的能量方法,小变形、弹性范围加载的情形下，最后的变形状态与加载顺序无关。而应变能只与最后的变形状态有关。,功的互等定理,互等定理,第10章 材料力学中的能量方法,功的互等定理,互等定理,第10章 材料力学中的能量方法,功的互等定理：一个力系的力在另一个力系引起的相应的位移上所作之功，等于另一个力系的力在这一个力系引起的相应的位移上所作之功。,功的互等定理特殊情形,互等定理,第10章 材料力学中的能量方法,?=?,互等定理,第10章 材料力学中的能量方法,?=?,互等定理,第10章 材料力学中的能量方法,?=?,互等定理,第
9、10章 材料力学中的能量方法,位移互等定理,互等定理,第10章 材料力学中的能量方法,返回总目录,第10章 材料力学中的能量方法,返回,虚位移原理,虚位移原理,第10章 材料力学中的能量方法,虚位移原理,应用虚位移原理计算各种受力形式 下的内力虚功,虚位移模式的多样性,虚位移原理的应用条件,对于作用在刚体上的平衡力系，当给刚体一微小虚位移时，如果仍然保持平衡，则该力系中所有的力（包括力偶）在各自的虚位移上所作之功之和等于零。,We=0,虚位移原理,第10章 材料力学中的能量方法,刚体的虚位移原理,虚位移原理,第10章 材料力学中的能量方法,作用在刚体上的力为,各加力点的虚位移分别为，,虚位移原
10、理,第10章 材料力学中的能量方法,对于刚体，虚位移原理的表达式为,外力在虚位移上所作之功为，,需要指出的是：虚位移并不是任意的，首先它必须是微小的；其次它必须是约束条件所许可的。,此外，还必须注意，在应用虚位移原理计算力在虚位移上作功时，这个虚位移是在系统处于平衡状态下给出的（保持力不变）。,虚位移原理,第10章 材料力学中的能量方法,所以这是一个常力作功的过程，力在虚位移上所作之功均为力与虚位移的乘积。,处于平衡状态的变形体，自平衡位置令其产生一位小虚位移，则外力在虚位移上所作之功（称为“外力虚功”），等于内力在相应的虚变形上所作之功（称为“内力虚功”）,即：,虚位移原理,第10章 材料力
11、学中的能量方法,变形体的虚位移原理,We Wi,变形体平衡,反过来，如果变形体上外力虚功等于内力虚功,则变形体处于平衡状态。即：,We Wi,变形体平衡,综合上述命题，有虚位移原理：变形体平衡的充分必要条件是，外力虚功等于内力虚功。即：,We Wi,变形体平衡,必要条件的简单证明,以承受分布载荷的简单支承梁为例,平衡时，有,令梁自变形后的平衡位置起，有一虚位移 w,微段dx上的外力qdx在虚位移 w上所作虚功为,全部外力在虚位移 w上所作之总虚功为,(qdx)w,虚位移必须是微小的，满足变形协调条件(包括约束条件),可以是与真实位移有关的位移，也可以是与真实位移无关的位移。,可以是真实位移的增
12、量，这时外力的虚功全部转变为应变能的增量。虚位移原理变为,We V,虚位移原理,第10章 材料力学中的能量方法,虚位移模式的多样性,虚位移原理,第10章 材料力学中的能量方法,可以是某一(或某几个)真实位移的增量。,虚位移必须是微小的，满足变形协调条件(包括约束条件),可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实位移无关。,虚位移原理,第10章 材料力学中的能量方法,虚位移必须是微小的，满足变形协调条件(包括约束条件),虚位移原理,第10章 材料力学中的能量方法,可以是另外一个与之相关的系统的真实位移。,可以是某一(或某几个)真实位移的增量。,可以是与真实位移有关的位移，也可以是与真实位移无关的位
13、移。,可以是真实位移的增量，这时外力的虚功全部转变为应变能的增量。虚位移原理变为,We V,虚位移必须是微小的，满足变形协调条件(包括约束条件),所有推证过程，只涉及小变形条件下的平衡问题。,虚位移原理的应用条件仅为小变形。,虚位移原理既适用于线性物性关系也适用于非线性物性关系。,虚位移原理,第10章 材料力学中的能量方法,虚位移原理的应用条件,求解位移曲线的近似方程,由虚位移原理导出卡氏第一定理,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,求解位移曲线的近似方程,例 题,已知：F、EI、l求：梁的位移曲线以及梁中点的挠度,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,1.假设位移函数,
14、2.计算应变能,3.由虚位移计算外力虚功和应变能增量,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,例 题,虚位移：,外力虚功：,应变能增量：,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,2.计算应变能,3.由虚位移计算外力虚功和应变能增量,例 题,4.应用虚位移原理确定待定常数,We V,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,虚位移：,外力虚功：,应变能增量：,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,3.由虚位移计算外力虚功和应变能增量,5.确定位移曲线方程以及梁中点的挠度,位移曲线方程,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,4.应用虚位移原理确定待定常数,We V,精确值,误差1.4%,能否通过虚位移原理确定弹性 杆件的内力和应力,进
15、而求得应力,怎样减小近似解的误差,如果假设位移函数,误差0.2%,请分析：由w(x)求得的弯矩，其误差为多大？为什么不同于位移的误差？怎样减小弯矩的误差？,卡氏第一定理(Castigliano first theorem),载荷系统：F1、F2、.、Fi、.、Fn,加力点位移：1、2、.、i、.、n,虚位移模式 1 2.n0,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,卡氏第一定理(Castigliano first theorem),外力虚功：,应变能增量：,应变能：,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,虚位移模式 1 2.n0,卡氏第一定理(Castigliano first theorem),外力虚功：
16、,应变能增量：,应变能：,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,任意虚位移模式,卡氏第一定理(Castigliano first theorem),系统的总应变能对于某个力作用点沿加力方向位移的一阶偏导数等于这个力。,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,例 题,已知：图示结构中，A、B、C三处均为铰链，AB杆和BC杆的拉压刚度均为EI。FP、l、EI 等均为已知。求：加力点B处的位移。,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,一般情形下，都是先由变形前的平衡位置求得杆的受力，再由受力计算变形或位移。现在必须考察变形以后的平衡位置才能求得杆的受力，然后求得位移。,问题的性质,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,解决问
17、题的思路,先将系统的应变能V表示成位移 B函数:V V(B)；,再应用卡氏第一定理建立力FP与 位移 B的关系。,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,1，建立位移 B与变形 l 之间的关系,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,1，建立位移 B与变形 l 之间的关系,2,建立应变能表达式 V V(B),虚位移原理在 弹性杆件上的应用,3,应用卡氏第一定理建立力FP与位移 B之间的关系,虚力原理 卡氏第二定理 莫尔法 图乘法,能量原理在求解超静定 问题上的应用,结论与讨论,第10章 能量原理在杆件位移分析中 的应用(2),原理表述,必要性的证明方法,虚力模式的多样性,虚力原理直接应用举例,虚力原理,对于变
18、形协调的弹性体，自变形后的状态始，保持变形不变，令其上的力有一改变，这一改变，称为“虚力”（Virtual Force）,则外力虚余功等于内力虚余功:,变形协调,变形协调,弹性体变形协调的充分和必要条件是：,变形协调,总体变形满足约束条件和连续条件（微段平面保持平面）；,数学上：分部积分法；,必要性的证明方法,虚力可以是全部真实力的增量，也可以是某个或某几个真实力的增量。,虚力可以是任意的，但必须满足平衡条件;,虚力可以与真实力有关，也可以与真实力无关;,虚力为作用在弹性体上的真实力的增量时，则虚力 原理可改写为,虚力模式的多样性,对线性和非线性问题,对于线性问题,卡氏第二定理的应用,卡氏第二
19、定理,卡氏第二定理(Castigliano Second Theorem),1.对线性和非线性问题,令,外力虚余功为：,余应变能为,恩格塞定理,任意虚力模式,卡氏第二定理,2.对于线性问题：,杆件或杆件系统对于某个力的一阶偏导数，等于这个力作用点处、沿着这个力方向的位移。,卡氏第二定理,再看对偶,第10章 材料力学中的能量方法,We V,虚力原理,虚位移原理,例题,1.自由端A处的挠度；2.梁中点B处的挠度。,解：1求A点的挠度：因为A点有力FP作用，所以可以直接应用平面弯曲时的卡氏定理表达式，,第10章 材料力学中的能量法,悬臂梁在自由端受有集中力FP,梁的长度为l、弯曲刚度为EI。若FP、
20、l、EI等均已知，并且忽略剪力影响，试求：,应用举例,解：1求A点的挠度：因为A点有力FP作用，所以可以直接应用平面弯曲时的卡氏定理表达式，,可以看出，应用这一定理时，井不要求写出应变能的表达式，而只要写出弯矩方程即可。,第10章 材料力学中的能量法,解：1求A点的挠度：因为A点有力FP作用，所以可以直接应用平面弯曲时的卡氏定理表达式，,第11章 材料力学中的能量法,补充：从卡氏第二定理到单位载荷法、莫尔积分法和图形互乘法,第11章 材料力学中的能量法,令：,注：,解：2求中点B处的挠度：由于B处没有外力作用，所为不能直接应用卡氏定理。为了应用卡氏定理，必须在B处作用一假想力F P，,写出梁的
21、弯矩方程：,第11章 材料力学中的能量法,解：2求中点B处的挠度：由于B处没有外力作用，所为不能直接应用卡氏定理。为了应用卡氏定理，必须在B处作用一假想力F P，,第11章 材料力学中的能量法,解：2求中点B处的挠度：由于B处没有外力作用，所为不能直接应用卡氏定理。为了应用卡氏定理，必须在B处作用一假想力F P，,令,第11章 材料力学中的能量法,卡氏第二定理在超静定问题上的应用,以未知力作为已知量，写作出结构的应变能表达式，例如：,卡氏第二定理在超静定问题上的应用,根据多余约束处的约束条件，应用卡氏第二定理写出多余约束力必须满足的变形协调方程,对于直杆：,对于曲杆：,(i=1,2,n),(i
22、=1,2,n),卡氏第二定理在超静定问题上的应用,例 题,根据约束性质分析约束力,A、B二处均为铰链，各有两个约束力。,确定超静定次数,431,对称性分析,A、B二处的约束力大小相等、分析相反。,确定图示结构的约束力,建立变形协调方程,B处的水平相对位移等于零,应用卡氏第二定理,应用卡氏第二定理,实心圆柱体承受轴向拉伸，请分析有几种方法可以确定其体积改变量？,如果将体积改变量作为广义位移，相应的广义力应该是什么？,开放式思维案例,等刚度简支梁，受力如图所示。若EI、l、FP等均为已知。,开放式思维案例,请分析和研究确定:梁变形前的轴线与变形后的轴线之间的面积的方法。,EI,开放式思维案例,开放
23、式思维案例,一句话说虚功原理,虚位移原理（卡氏第一定理）,是满足变形协调条件的平衡方程,虚力原理（卡氏第二定理）,是满足平衡条件的变形协调方程,并不可笑的追求,达朗贝尔 Jean le Rond d Alembert，1717-1783,论动力学（Trait de dynamique），1743年，法文。提出和总结了力学中的达朗贝尔原理和虚功原理。流体的阻力（Essai dune nouvelle thorie de la rsistance des fluides），1752年，法文。提出理想流体中没有阻力的矛盾，后人称为达朗贝尔佯谬。,并不可笑的追求,“笑傲江湖”的Cantor,“好人”康
24、托尔 德国数学家 无穷集合论的创始人。他从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了革命性的变化，从根本上改造了数学的结构，促进了数学许多新的分支的建立和发展。,Cantor的“两个信念”,Cantor成功地证明了单位长度线段上的点能够与任意线段上的点、平面上的点、空间中的点“一一对应”，从而带来了一场关于无穷的革命。,虽然屡屡遭受一些数学家的攻击，但是历史是公正的，Cantor的工作被誉为“这个时代所能夸耀的最伟大的工作”。,Cantor思想的颠覆性,Cantor“一一对应”思想的颠覆性：正整数1，2，3，4，5，6，由偶数2，4，6，和奇数1，3，5，组成，且各占一半：偶数的个数=奇数的个数全体正整数个数=全体偶数的个数=全体奇数的个数（局部=整体）,
