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1、1,第七章 梁的强度问题,2,对于梁的受力弯曲，其横截面上的应力分布将不再均匀，如何确定梁横截面上的应力分布便成了首要解决的问题。只有确定了梁上任意横截面的应力分布情况，才能知道“危险截面”进而进行强度设计，考虑是否存在安全问题等。绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关，切应力的影响是次要的，本章将主要确定梁横截面上正应力以及与正应力有关的强度问题。,3,7.1 工程中的弯曲构件,4,7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质,不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于内力分量的类型、大小以及杆件的尺寸，而且与杆件横截面的几何形状有关。因此，研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳
2、定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。,5,7.2.1 静矩、形心及其相互关系,1.截面一次矩 或 静矩,静矩单位为m3,如果将dA视为垂直于图形平面的力，则ydA和zdA分别为dA对于z轴和y轴的力矩，而Sz和Sy则分别为A对z轴和y轴的力矩。,6,图形几何形状的中心称为形心(Centroid of an area),若将面积视为垂直于图形平面的力，则形心即为合力的作用点。,设zc、yc为形心坐标，则根据合力矩定理：,形心坐标与静矩之间的关系,7,根据上述关于静矩的定义以及静矩与形心之间的关系可
3、以看出：静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩：对某些坐标轴静矩为正；对另外一些坐标轴静矩则可能为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零(证明见下一页)。如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。,8,y,z,b,h,C,对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零.,9,对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(72)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和，即,10,再利用式子(7-3)，可以得到组合图形的形心坐标：,11,7.2.2 惯性
4、矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径,1)截面二次轴距(second moment of an area),惯性矩(moment of inertia),2)二次极距(second polar moment of an area),极惯性矩,单位为m4,单位为m4,12,3)惯性积(Product of inertia),4)惯性半径(radius of gyration),单位为m4,定义,惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，可能为负。三者的单位均为m4。,13,对于圆形横截面：,此时坐标轴通过横截面的形心，得到极惯性矩为：,类似的得到圆环截面对于圆环中心的极惯性矩为
5、：,14,当坐标轴通过某圆形横截面的中心，则该圆形横截面对其中任意两根轴具有相同的惯性矩。其数值均为：,类似的，对于圆环形状的横截面，具有类似的结果为：,15,当坐标轴原点位于矩形横截面的中心，则其惯性矩分别为：,16,7.2.3 惯性矩与惯性积的移轴定理,dA,z,y,y,z,o,z1,y1,y1,z1,O,?,b,a,移轴定理要求坐标轴通过横截面的形心。,17,18,7.2.4 惯性矩与惯性积的转轴定理,dA,z,y,y,z,o,z1,y1,y1,z1,?,转轴定理不要求坐标轴通过横截面的形心。,19,7.2.5 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心惯性矩,如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积
6、等于零，则称这一对坐标轴为过这一点的主轴(principal axis)。图形对于主轴的惯性矩称为主惯性矩(principal moment of inertia of an area)。主惯性矩具有极大值或极小值的特征。,主惯性矩为：,20,21,22,23,24,25,26,小结,dA,y,z,z,y,r,面积：,截面一次矩(静矩),截面二次矩(惯性矩),截面二次极矩(极惯性矩),截面二次矩(惯性积),惯性半径,27,特点：,静矩、惯性矩、惯性积、极惯性矩、惯性半径都是对某一指定坐标系而言。其中静矩和惯性积可正可负，也可以为零。惯性矩、极惯性矩、惯性半径都是大于零的正值，且它们的值随不同坐
7、标系变化而变化。惯性半径的量纲是长度的一次方，面积的量纲是长度的二次方，静矩的量纲是长度的三次方，其余的(惯性矩、惯性积、极惯性矩)量纲是长度的四次方。,28,静矩和形心位置的确定,单个图形的情况：,组合图形的情况：,29,注意几点：,平面图形有两个对称轴，则形心必定位于两个对称轴的交点上。平面图形有一个对称轴，则形心必定必在这一条对称轴上，只需确定其具体位置即可。,30,在工程中求平面图形形心时，往往不用积分方法求静矩，而尽量采用组合图形求静矩。对同一平面图形选取不同的参考坐标系，其形心位置的坐标也会不同。但形心在平面图形中的位置是不变的。平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩为零，因此若平面图
8、形对某个轴的静矩为零，则该坐标轴必通过平面图形的形心。,y,z,h,b,31,平行移轴公式,dA,z,y,y,z,o,z1,y1,y1,z1,O,?,b,a,如果参考坐标系oyz的原点位于形心，则：,32,dA,z,y,y,z,o,z1,y1,y1,z1,转轴公式的几点说明：,角从原坐标轴y量起，以逆时针为正，顺时针为负。对于同一坐标原点的任意两个坐标系yoz和y1o1z1存在下列关系：,33,主轴与形心主轴、主惯性矩与形心惯性矩,如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零，则称这一对坐标轴为过这一点的主轴(principal axis)。图形对于主轴的惯性矩称为主惯性矩(principal
9、 moment of inertia of an area)。主惯性矩具有极大值或极小值的特征。,主惯性矩为：,34,几个简单平面图形的形心主惯性矩,圆形截面,环形截面,矩形截面,35,7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力,7.3.1 平面弯曲和纯弯曲的概念,对称面：梁的横截面具有对称轴，所有相同的对称轴组成的平面，称为梁的对称面(symmetric plane),梁的横截面没有对称轴，但是都有通过横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，称为梁的主轴平面(plane including principal axis)。由于对称轴也是主轴，所以对称面也是主轴平面；反之则不然。以下的分
10、析和叙述中均使用主轴平面。,36,平面弯曲：所有外力(包括力、力偶)都作用梁的同一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外力作用平面内，这种弯 曲称为平面弯曲(plane bending)。,37,纯弯曲：一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个内力分量，就是剪力和弯矩。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量，这种平面弯曲称为纯弯曲(pure bending),纯弯曲情形下，由于梁的横截面上只有弯矩，因而，便只有垂直于横截面的正应力。,仅在AB段区间,38,横向弯曲：梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横截面上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面上不仅有正应力，还有切应
11、力。这种弯曲称为横向弯曲，简称横弯曲(transverse bending)。,7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析,分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。由于横截面上的应力是看不见的，而梁的变形是可以看见的，应力又和变形有关，因此，可以根据梁的变形情形推知梁横截面上 的正应力分布。,39,1.平面假定与应变分布,在伸长层与缩短层交界处的那一层，既不伸长也不缩短，该层称为中性层或中性面(neutral surface)。,中性层与横截面的交线，称为中性轴(neutral axis),中性轴垂直于加载方向，对于具有对称轴的横截面梁，中性
12、轴垂直于横截面的对称轴。,40,变形前,变形后,整体变形效果,假设OO为中性层，并建立如图所示的坐标OXY。,弧AA=,弧OO=dx=,那么弧AA的绝对伸长量为：,那么弧AA的相对伸长量为：,41,(2)物理方程,假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。,横截面上的弯曲正应力沿横截面的高度方向从中性轴为零开始呈线性分布。该式子还只是给出了正应力分布情况，但是还不能具体求出数值。主要因为：y坐标是从中性轴开始计算的，而中性轴的位置还没有确定；中性轴的曲率半径也没有确定。,42,(3)纯弯曲情况下的静力学关系：,中心轴Z通过截面形心，并且垂直于对称轴，所以，中心轴的位置就是确定截
13、面的形心位置。,纯弯曲时，在任何一个横截面上只能有弯矩一个内力分量，轴力必须等于零。,43,因为y轴为横截面的一个对称轴，所以其截面的惯性积等于0。,(7-34),(7-29),(3)纯弯曲情况下的静力学关系：,在横截面上：,44,5.最大正应力公式与弯曲截面模量,圆形截面,环形截面,矩形截面,Wz称为弯曲截面模量,45,6.梁弯曲后其轴线的曲率公式,这一结果表明：梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度成反比。,46,7.3.3 梁的弯曲正应力公式的应用与推广,需要注意几个问题,首先是关于正应力的正负号：决定正应力是拉应力还是压应力。确定正应力正负号比较简单的方法是：首先确定横截面上弯矩
14、的实际方向，确定中性轴的位置；然后根据所要求应力的那一点的位置，以及“弯矩是由分布正应力合成的合力偶矩”这一关系。就可以确定这一点的正应力是拉应力还是压应力(图7-17)。其次是关于最大正应力计算：如果梁的横截面具有一对相互垂直的对称轴，并且加载方向与其中一根对称轴一致时，则中性轴与另一对称轴一致。此时最大拉应力与最大压应力绝对值相等，由式(7-30)计算。,47,如果梁的横截面只有一根对称轴，而且加载方向与对称轴一致，则中性轴通过截面形心并垂直对称轴。这时，横截面上最大拉应力与最大压应力，可由绝对值不相等，下列二式分别计算：,48,此外还要注意的是，某一个横截面上的最大正应力不一定就是梁内的
15、最大正应力，应该首先判断可能产生最大正应力的那些截面，这些截面称为危险截面；然后比较所有危险截面上的最大正应力，其中最大者才是梁内横截面上的最大正应力。保证梁安全工作而不发生破坏，最重要的就是保证这种最大正应力不得超过允许的数值。,2.纯弯曲正应力可以推广到横向弯曲 以上有关纯弯曲的正应力的公式。对于非纯弯曲，也就是横截面上除了弯矩之外、还有剪力的情形。如果是细长杆，也是近似适用的。理论与实验结果都表明，由于切应力的存在，梁的横截面在梁变形之后将不再保持平面，而是要发生翘曲，这种翘曲对正应力分布的影响是很小的。对细长梁更小，通常都可以忽略不计。,49,7.4 平面弯曲正应力公式应用举例,50,
16、51,x,M,52,53,54,55,56,7.5 梁的强度计算,7.5.1 梁的失效判据,与拉伸或压缩杆件失效类似。对于韧性材料制成的梁，当梁的危险截面上的最大正应力达到材料的屈服点时，便认为梁发生失效；对于脆性材料制成的梁，当梁的危险截面的最大正应力达到材料的抗拉强度时，便认为梁发生失效。即,57,7.5.2 梁的弯曲强度计算准则,根据上述强度条件，同样可以解决三类强度问题：强度校核、截面尺寸设计、确定许用载荷。,58,7.5.3 梁的弯曲强度计算步骤,根据梁的弯曲强度设计准则，进行弯曲强度计算的一般步骤为：根据梁约束性质，分析梁的受力，确定约束力。画出梁的弯矩图：根据弯矩图，确定可能的危
17、险截面。根据应力分布和材料的拉伸与压缩强度性能是否相等，确定可能的危险点:对于拉、压强度相同的材料(如低碳钢等)，最大拉应力作用点与最大压应力作用点具有相同的危险性，通常不加以区分；对于拉、压强度性能不同的材料(如铸铁等脆性材料)最大压应力作用点和最大压应力作用点都有可能是危险点。,秘笈,59,应用强度条件进行强度计算：对于拉伸和压缩强度相等的材料，应用强度条件式(7-38)和式(7-39)；对于拉伸和压缩强度不相等的材料，强度条件式(7-38)和式(7-39)可以改写为,抗拉许用应力,抗拉强度,60,61,62,63,64,2.根据危险截面上的正应力分布确定可能的危险点,65,3.计算危险点
18、的正应力，进行强度校核,上述结果表明：梁上所有危险截面的危险点的强度都是安全的。,66,67,由此解出：,于是得到了Fp加在辅助梁上作用点的范围为：,68,2.确定辅助梁所需要的工字钢型号,69,70,7.6 斜弯曲,当外力施加在梁的对称面(或主轴平面)内时，梁将产生平面弯曲。所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面不是对称面(或主轴平面)，梁也将会产生弯曲，但不是平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲(skew bending)。还有一种情形也会产生斜弯曲。这就是所有外力都作用于对称面(或主轴平面)内，但不是同一对称面(梁的截面具有两个或两个以上对称轴)或主轴平面内。,71,7.3 斜弯曲,为了确定斜
19、弯曲时梁横截面上的应力，在小变形的条件下，可以将斜弯曲分解成两个纵向对称面内(或主轴平面)的平面弯曲，然后将两个平面弯曲引起的同一点应力的代数值相加。便得到斜弯曲在该点的应力值。,72,上式不仅对于矩形截面，而且对于槽形截面、工字形截面也是适用的。因为这些截面上由两个主轴平面内的弯矩引起的最大拉应力和最大压应力都发生在同一点。,对于圆截面，上述计算公式是不适用的。这是因为，两个对称面内的弯矩所引起的最大拉应力不发生在同一点，最大压应力也不发生在同一点。,对于圆截面，因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横截面上同时作用有两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示，然后求二者的矢量和，这一合矢量仍然沿
20、着横截面的对称轴分布，合弯矩的作用面仍然与对称面一致，所以平面弯曲的公式依然适用。于是，圆截面上的最大拉应力和最大压应力计算公式为,73,此外还可以证明，斜弯曲情形下，横截面依然存在中性轴，而且中性轴一定通过横截面的形心，但不垂直于加载方向，这是斜弯曲与平面弯曲的重要区别。,74,y,z,FP,75,3.计算两个平面弯曲情形下的最大正应力,76,77,具有很强的工程意义！,78,7.7 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,当杆件同时承受垂直于轴线的横向力和沿着轴线方向的纵向力时，杆件的横截面上将同时产生轴力、弯矩和剪力。忽略剪力的影响，轴力和弯矩都将在横截面上产生正应力。,如果作用在杆件上的
21、纵向力与杆件的轴线不一致，这种情形称为偏心加载。这时如果将纵向力向横截面的形心简化，同样，将在杆件的横截面上产生轴力和弯矩。,79,80,81,82,2.确定危险截面并计算最大应力,83,84,7.8 结论与讨论,7.8.1 关于弯曲正应力公式的应用条件,平面弯曲正应力公式只能应用于平面弯曲情形。对于截面有对称轴的梁，外加载荷的作用线必须位于梁的对称平面内，才能产生平面弯曲。对于没有对称轴截面的梁、外加载荷的作用线如果位于梁的主轴平面内，也可以产生平面弯曲。只有在弹性范围内加载，横截面上的正应力才会线性分布，才会得到平面弯曲正应力公式。平面弯曲正应力公式是在纯弯情形下得到的，但是，对于细长杆，
22、由于剪力引起的切应力比弯曲正应力小得多，对强度的影响很小，通常都可以忽略。由此，平面弯曲正应力公式也适用于横截面上有剪力作用的情形。也就是对于细长梁纯弯曲的正应力公式也适用于横弯曲。,85,7.8.2 弯曲切应力的概念,当梁发生横向弯曲时，横截面上一般都有剪力存在，截面上与剪力对应的分布内力在各点的强弱程度称为切应力，用希腊字母表示。切应力的方向一般与剪力的方向相同，作用线位于横截面内，如图7-30所示。,弯曲切应力在截面上的分布是不均匀的，分布状况与截面的形状有关，一般情形下最大切应力发生在横截面中性轴上的各点。,86,对于宽度为b、高度为h的矩形截面，最大切应力为:,对于直径为d的圆截面，
23、最大切应力为:,对于内径为d、外径为D的圆环截面，最大切应力为:,87,7.8.3 关于截面的惯性矩,横截面对于某一轴的惯性矩，不仅与横截面的面积大小有关，而且还与这些面积到这一轴的距离的远近有关。同样的面积，到轴的距离远者，惯性矩大；到轴的距离近者，惯性矩小。为了使梁能够承受更大的力，我们当然希望截面的惯性矩越大越好。,对于图7-31a中承受均布载荷的矩形截面简支梁，最大弯矩发生在梁的中点。如果需要在梁的中点开一个小孔，请读者分析：图7-31b、c中的开孔方式，哪一种最合理?,(b)图,(C)图,88,7.8.4 提高梁强度的措施,对于细长梁，影响梁强度的主要是梁横截面上的正应力，因此，提高
24、梁的强度，就是设法降低梁横截面上的正应力数值。工程上，主要从以下几方面提高梁的强度。,1、选择合理的截面形状,平面弯曲时，梁横截面上的正应力沿着高度方向线性分布，离中性轴越远的点、正应力越大。中性轴附近的各点正应力很小。当离中性轴最远点上的正应力达到许用应力值时，中性轴附近的各点的正应力还远远小于许用应力值。因此，可以认为，横截面上中性轴附近的材料没有被充分利用。为了使这部分材料得到充分利用，在不破坏截面整体性的前提下，可以将横截面上中性轴附近的材料移到距离中性轴较远处，从而形成“合理截面”。工程结构中常用的空心截面和各种各 样的薄壁截面(例如工字形、槽形、箱形截面等)，都是为了提高梁的强度。,89,90,2.采用变截面梁或等强度梁,如果使每一个截面上的最大正应力都正好等于材料的许用应力，这样设计出的梁就是“等强度梁”。,91,3.改善受力状况,改善梁的受力状况，一是改变加载方式；二是调整梁的约束。这些都可以减小梁上的最大弯矩数值。改变加载方式，主要是将作用在梁上的一个集中力用分布力或者几个比较小的集中力代替。,92,在某些允许的情况下，改变加力点的位置，也可以使梁内的最大弯矩有明显的下降。调整梁的约束，主要是改变支座的位置，降低梁上的最大弯矩数值。,93,x,x,L-2x,y,94,作业：7-5 7-7 7-8 7-9 7-10 7-11,The End,
