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1、三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,海南教研培训院刘亨金年11月,抵显灰勤烂轩旭苇结毅鹊各鳃姥胁与窥奥察砖拔语综美秋负四调倔樟川蟹三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,问题,在“苏教版”技术与设计2中，给出了一个“小试验”。该试验要求对截面形状分别为环状矩形、环状圆形和环状三角形的悬臂梁进行强度对比，看看哪种截面形状的梁承受的“力”更大。关于试验的要求和具体操作请参看教材。,隆岂哑灿碎谁侥扎篓拯舟楚些氨肄佐溯君驰帽梧区塔驱筑遥殿火灾辩眶衰三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,保证可比性的三点规定,1.三种截面外围图形的面
2、积相等；2.环状截面的厚度相等；3.三种截面外围图形的高度相等。,翔箩谤茵氰富卑碱蘑格宵像疽惨擎向紫恩捧注耽僚叁墟沟鼓暑红重嘉铱吼三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,一、关于悬臂梁的载荷,悬臂梁是梁类结构的一种，其主要特征是梁的一端和支座的连接形式为“固定连接”（有时简称为“固连”或“固支”）。这种连接形式可以提供阻止结构转动、移动的约束。梁的另一端为自由端。其受力示意图如下。,至谎捌毁贝惕牌好汤幻闷钒毫怔窍俄呜拦袒甜哲教葱褐晋斡宾街冬亨晾庇三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,图中，P是试验时施加在自由端的法码的重量
3、Q是固定支座阻止梁移动的约束力，作用在梁的根部，且有 P=Q M是固定支座阻止梁转动的约束力矩（也可叫做反力矩）。且有 M=（P，Q）形成的力偶矩=PL,滨苞座噬壬硫插茬材熔哇橡桂簇饱蕾褥赖木橇祭遮挛娜惭颧唐猩窗摊应勒三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,显然，梁在P，Q，（P，Q）力偶矩和M的作用下处于平衡状态。既不移动，也不转动。P,Q;(P,Q)力偶矩和M,就是此时作用在梁上的平衡力系。它们都是分别由施力体和支座施加给梁的外力。,憋汗拣硅泻计税剧结叛晾掖座忱热赂彰擒垢吹吼核城旺消谐聂粹芝嚎析赌三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结
4、果的预期分析,在上述各力的作用下，梁会产生两种变形，一是因横向力P，Q而产生的剪切变形，因此在截面上会产生剪应力（抵抗变形的内力）。另一种变形就是由力矩作用而产生的弯曲，从而，在截面上会产生抵抗弯曲变形的正应力。这是内力。正应力的合力而形成的力矩，称为弯矩。因而弯矩是内力。在此题中，剪应力在梁的各个截面上是相等的。一般情况下，这种剪切变形对梁来说不是主要的，我们也不在这里作进一步分析。,楔驴清末蔷官橙底涵跑雀踏呼顺株旅梭伞涨睛铃鹊裳扔葬槽狙险臼炽部挫三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,在本问题中，弯矩是随截面的位置不同而变化的，自由端弯矩为零，根部截面弯矩
5、最大，产生的应力当然也是最大的。因此，下面的分析中，我们都是以根部截面为对象，其最大载荷为：M=PL,洋猿犀署挝敷尚挎涵换甜鞍厂氏竭艾褥鹃惹坞钡因仅责擦流鳖楚益翠掳莫三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,一、实心截面梁的强度比较,在分析环状截面之前，我们先对实心截面梁的强度作一分析。如图 设：矩形截面的高为h,宽为b;圆的直径为D，且有 D=h；,莽猴帝雕课何碍殉淀窿俯畴棠玉激俭替抗施躺肛耪期租增七萄悠咨佃毯帕三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,根据截面面积相等的规定，则有：b=h4=0.785h C=2b=1.57h
6、根据材料力学推得的结果，在截面弯矩为M时，离中性轴为y处的应力表达式为：=MyIX,赌瞎巫纽础陷蒲釜刊制罗恫引撼柱贴辈砍彦捉拘沏头烟梗局辑友肛胯剂窗三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,由材料力学可知，截面上的弯曲应力是随离中性轴（通过截面形心）的距离成线性变化的。因此，在作强度计算时都选择截面的顶点位置来计算应力的。表达式中，IX为该截面对于中性轴x的惯性矩，这个惯性矩是和截面形状相关的重要特性之一。在强度计算和型材的选择上，都离不开它。现设：矩形截面的应力为 j 圆形截面的应力为 y 三角形截面的应力为 s,火悄担恨盾丙呈论奠著飘肾或址降阿榔吏释酱武苦戴
7、狸店认勘钳羔埠菠贱三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,将计算点设为截面的顶点，则可得到：j；=M0.5hIXj y=M0.5hIXy s=M0.66hIXs 式中,IXj矩形截面对x轴的惯性矩 IXy圆形截面对x轴的惯性矩 IXs三角形截面对x轴的惯性矩,娶柒闭诌面否往心敛痴且确泄墅喀朵渴波句妥喧稗揍篮逾序砧京靠娱印呵三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,由材料力学中可以知道：IXj=bh3/12 IXy=h464 IXs=2bh336 现令：F=bh2=h34 可得：IXj=Fh12 IXy=Fh16 IXs=Fh18
8、 由此可知:IXj IXy IXs 从而得到:在实心截面时,矩形截面梁承载能力最大，圆形次之，三角形最小。,撬戮渝板烈洼狞龚哑炽辜陷滁摔腰遂粟灿邯刊拴狼颁巧踌障哉都暑铬秉酝三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,按照前面的规定，三种不同形状的环状截面如下图所示。,三、环状截面梁的强度比较,样拄鱼戌镑悲颐擅扛郑辈蝇陵沂蚁粹氟僻吴拍装谩牛澜否年绑赁差卢涯友三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,根据实心截面的分析思路，对环状截面的分析，仍然需要从截面的惯性矩入手。环状截面是组合合图形，其惯性矩等于各组成图形对同一轴线惯性矩的总合。
9、即 环状截面的惯性矩=外廓图形的惯性矩内廓图形 的惯性矩,锌主现柔套彬梭侨菊耿掷司镊谤骨刨积反蚕能猴彩颜直工位雕磐奢荔妻辆三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,为了与前面实心截面相区别，我们令：Ijx 代表矩形环状截面对x轴的惯性矩 IYX 代表圆形环状截面对x轴的惯性矩 ISX 代表三角形环状截面对x轴的惯性矩,笔其四掘臂萎焊蔓诸痰晒率龄迫耻藏跨科锥灭缩寡称钙妒藻盏赎脂稽轩稳三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,1.矩形环状截面的惯性矩,Ijx=外矩形惯性矩内矩形惯性矩=bh312（b2）（h2）312 将其展开，略去的
10、高阶项，合并整理后可得：Ijx=（816）h3=0.56 h3,虐鸵学皱今喷柄饯谋馆塘杀驰硫忠辨淀主梳弄貌咯索廷戏螺爽舜闹炼嫂雾三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,2.圆形环状截面的惯性矩,在材料力学教材中可以找到以圆环的平均半径和圆环厚度为参量计算惯性矩的公式:IYX=r3 为了便于比较，我们用r=（h-）2代入上式，展开，略去的高阶项，经整理后可得：IYX=h38=0.39h3,须鹊灼款莎队终冒尤充财病撮咯箍屡乐呼灰甭臆坝职裹郴降哎紊哇车被墙三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,3.三角形环状截面的惯性矩,根据组合图
11、形惯性矩公式 ISX=外三角形惯性矩内三角形惯性矩 用（2b2）和（h2）分别近似代替内三角形的底和高，则有：ISX=bh3（b）（h2）318 经展开，略去的高阶项，合并整理后可得：ISX=0.31h3,碎茨毁伊挎疑垦柄纳苞锥磕酗多令阶便巡彬宋俐压房捕钱速狠剿挎扑脸哉三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,4.各环状截面的强度比较,在弯矩相同时，各截面顶部的应力分别为:矩形环状截面 j=0.89Mh2 圆形环状截面 y=1.28Mh2 三角环状截面 s=2.1Mh2 因此可得到如下的预期结论：在给定的条件下，三种截面的抗弯强度比较结果为：矩形环状截面圆形环状
12、截面三角形环状截面,阑窟蜀赞陀劈楷沸哮郴靛计科暇级倍臣姻张棋攻益戳埠纽恃窜拎筑缓藏窖三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,四、几点说明,1.由于所有分析的基础都是基于材料的弹性范围，因此，试验件选用的纸板材料应具有一定的弹性变形特性，不然试验结果不会理想。2.由于三角形截面的中性轴上下不对称，如果将其反过来放，即底边在上，其结果会有变化。3.因为试验件属于薄壁结构，容易因薄壁失稳而提前破坏。因此在固定试件时，在梁的根部应留有弯曲变形的空间，不要因支座的尖锐边棱而使薄壁受损。,媒营夯破韭报又护揭胃蒲此冶狰醇瘦汤轨蔓昂霉舵橇衅朔找雪铸匪供捷姬三种截面悬臂梁强度试
13、验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,4.在推导三角环状截面的惯性矩时，内三角形的底边实际上要小于外三角形底边减去2。为了简化推导，连同高一起都作了近似处理。经验证，这种处理没有带来很大误差。至于推导中略去的高阶项，在与h相比很小时，这种处理也不会产生很大误差，对整体结论不会产生大的影响。5.由于薄壁试件对试验条件要求比较高，学生难于驾驭，容易出现不同结果，建议教学中采用实心截面试件。,似吭较悄南谓灸已疽柜井汹扛取亡责吱脖指泊收袄睫褥卿添朗淘氰定幼少三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,6.向学生解释试验结果时，不能用上述分析方法，而应该从惯性矩的物理涵义去解释。从应力公式推导过程中，我理解，惯性矩在一定程度上体现出某一高度处的局部面积占整个截面面积的比例。比例越大，惯性矩就越大。产生的应力就小。用这个理由来解释三种截面的抗弯能力学生是能接受的。,趋交结片拢冯滴诲伸馈藩裂拘谴除僵云吻伎悯顿灸棍阔檬璃盾牢妙灶沉蔽三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析,
