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1、水利工程制图（上）课程辅导（二）这一节我们要解决的主要问题是：平面与立体的截交线及两回转体表面的相贯线。工程建筑物的表面常产生一些交线，如图，为准确地表达物体，需要将这些交线画出来。立体表面交线 立体表面交线分截交线和相贯线两种。截交线是平面与立体表面相交所产生的交线，请同学们看左图，涵洞洞身与胸墙的交线就是截交线；相贯线是两立体表面相交所产生的交线，如右图中廊道主洞和支洞的表面交线就是相贯线。截交线和相贯线的求法是本课程的难点内容。实际上，无论立体表面的性质如何，无论截交线和相贯线的形状如何，求交线的作图问题总是通过求交线上点的投影来解决的，而这些点又都位于立体表面上，因此，立体表面取点是解
2、决立体表面交线问题的基础，所以我们首先来看一下一、立体表面取点1.如何在表面上取点已知棱锥表面上点和点的V投影，求另外两投影。这是在平面立体上取点的问题。要想在平面立体上取点，首先我们应判断出要取的点位于平面立体的哪个棱面上，然后用平面上取点的方法取点。图中所绘点的正面投影位于棱面SAB和棱面SAC的正面投影范围内，所以点肯定在这两个面中的一个上，到底在SAB面还是在SAC面上呢？要根据1的可见性，因为点的正面投影可见，所以一定位于可见棱面SAB上，确定出点所在棱面后，就可用面上取点的方法可作出点的水平投影和侧面投影。为了在SAB面上取点，可先在SAB上作一条过点的辅助直线SD，求出辅助线SD
3、的水平投影sd和侧面投影，点的水平投影和侧面投影一定在SD的同面投影上，根据点的投影规律就可求出点的另外两个投影来。注意：求出点的投影后，还要判别点的可见性。如何判断立体表面上的点是否可见呢？要根据点所在表面的对应投影是否可见。在本题中，因为1点所在棱面的水平投影和侧面投影均可见，所以1点的水平投影和侧面投影可见。下面再求点，点正面投影位于平面SBC和SAC的正面投影范围内，因为2点的正面投影不可见，所以它一定在正面投影不可见的棱面上。SBC棱面的正面投影是可见的，而SAC面正面投影不可见，所以可断定点在SAC棱面上，因为SAC的侧面投影有积聚性，所以点的侧面投影可直接求出。根据正面投影和侧面
4、投影求出水平投影即可。水平投影是可见的。2如何在圆柱面上取点已知圆柱面上点A的正面投影，并知其可见，求另外两投影。因为整个圆柱面的水平投影积聚在圆周上，所以圆柱面上所有点的水平投影都一定在圆周上。A点的水平投影当然也在圆周上。因此A点的水平投影可由正面投影引投影连线直接求出。由于A点的正面投影可见，所以A点一定在前半个圆柱面上，它的水平投影一定在前半个圆周上。由正面投影引投影连线即可得水平投影。这种利用表面有积聚性的投影来取点的方法，称为积聚性法。有了点的两面投影后，第三个投影就好求了。侧面投影与正面投影高平齐，侧面投影到圆柱前后对称面的距离应等于水平投影到前后对称面的距离。注意：因为A点在前
5、半个圆柱面上，所以作侧面投影时，要从轴线向前量取而不能向后量取。这是初学者容易犯的错误。另外，还要注意判断可见性。因为A点在右半个圆柱面上，在左视图上，右半个圆柱面上的点是不可见的，所以A点的侧面投影是不可见的。3如何在圆锥面取点已知圆锥面上A点的水平投影a，求正面投影和侧面投影。方才我们在圆柱面上取点是用积聚性法。在圆锥面上取点能否用积聚性法呢？不能。因为圆锥面的三个投影都没有积聚性，所以不能用积聚性法，需借助于圆锥面上的辅助线。由于圆锥面是直母线绕轴线旋转而成，故可用圆锥面上的直素线作辅助线，请大家看立体图，过A点作辅助素线SM，在三视图上求出辅助素线SM的三个投影，A的投影一定在辅助素线
6、的同面投影上。（1）圆锥面上取点素线法下面我们具体作图。首先过A点的水平投影作出辅助素线SM的水平投影，注意M点在底圆上，所以M点的正面投影和侧面投影都应在底边上，求出SM的正面投影和侧面投影后，用直线上取点法即可求出A的投影来。求出投影后还应注意判别可见性。由于圆锥面的水平投影均可见，所以A点的水平投影可见。又由于A点位于左半个圆锥面上，所以A点的侧面投影可见。方才我们是利用辅助素线在圆锥面上取点的。这种利用辅助线求点的方法称为素线法。请同学们考虑一下是否还有其它方法呢？因为A点在圆锥面上，我们可以过A点在圆锥面上作一个水平圆，只要找出这个水平圆的三个投影，A点的投影一定在水平圆的同面投影上
7、。（2）圆锥面上取点辅助圆法以s为圆心，sa为半径作圆，此圆即过点 A的水平圆的水平投影；水平圆所在的平面为水平面，所以正面投影和侧面投影应积聚为水平方向的直线，“长对正”即得水平圆的正面投影，“高平齐”即得水平圆的侧面投影。水平圆的正面投影和侧面投影求出后，用点的投影规律就可定出a和 a。这种过点的已知投影在回转体表面作辅助圆来求点的方法称为辅助圆法。4如何在球面上取点。已知圆球面上点A的正面投影，求水平和侧面投影。圆球面上取点辅助圆法由于球的三个投影均无积聚性，所以在球面取点时，只能用球面上平行于投影面的圆作辅助线。过a作水平圆（正面投影出现），求出水平圆的水平投影和侧面投影，A点的投影一
8、定在水平圆的同面投影上。请同学们考虑一下是否可以过A点作一个平行于侧立面的圆做辅助线呢？也可以。如果给出的是点的水平投影和侧面投影，我们还可以用平行于正立面的正平圆做辅助线。方才我们学习了在立体表面上取点的方法。现在请同学们回顾一下我们都用了哪些方法。在平面立体表面上取点，首先要判断点在哪个棱面上，然后用面上取点法；在圆柱面取点用积聚性法；在圆锥面可用素线法和辅助圆法；在球面上取点只能用辅助圆法。表面上取点是学习截交线和相贯线的基础，希望大家熟练掌握。二、平面与立体的截交线1平面与立体相交平面与立体相交，也称平面截断立体，此平面称截平面，截平面与立体表面的交线称截交线，它是截平面与立体表面的公
9、有线。截平面所围成的平面图形称截断面。首先我们来研究平面与平面立体的截交线。1平面与平面立体相交平面与平面体相交，截交线是由直线段围成的封闭多边形。多边形的边数是截平面所截到的棱面数，多边形的各顶点是截平面与平面体上相应棱线的交点。因此求平面与平面体的截交线只要分别求出与截平面相交的棱线与截平面的交点即可。我们大纲上只要求我们掌握截平面为特殊位置的情况，即截平面为投影面平行面或投影面垂直面的情况。具体求截交线的步骤如下：求平面立体截交线的步骤：（1）分析 截交线形状及投影形状；（2）求点 利用截平面的积聚性求棱线与截平面的交点；（3）连线 按一定顺序并根据可见性连线。分析时要注意两个相对位置的
10、分析，第一个相对位置是截平面与立体的相对位置，它决定截交线的形状；第二个相对位置是截平面与投影面的相对位置，它决定截交线投影的形状。由于我们只讨论截平面为特殊位置的情况，所以截平面至少有一个投影有积聚性；所以我们可以从有积聚性的投影着手，利用截平面的积聚性求棱线与截平面的交点画出截头三棱锥的截交线分析 从主视图可知，截平面与三个棱面相交，截交线为三角形。截平面垂直于V面，在主视图上，截交线的投影积聚成直线。在俯视图和左视图上，截交线的投影都应是截断面的类似形 三角形。求截交线各顶点下面我们来求截交线的各顶点。因为截平面的正面投影有积聚性，所以截平面与三条棱线交点的正面投影已知。即为三棱线的正面
11、投影与积聚投影的交点。我们为其编号为、。1为SA棱线与截平面的交点，1的侧面投影和水平投影应在SA的同面投影上，所以可得1和1，同理可求2和3点的水平投影和侧面投影。注意点所在的棱线是一条侧平线，可用比例法求2点的水平投影，但较麻烦，如果由正面投影先求侧面投影要简单一些。交点都求出后，接下来连线并判断可见性。连线顺序。俯视图上1231全部可见，这时因为棱锥头部被截断，所以S、S、S不存在。左视图上，截断面不可见，SAB可见，SBC不可见，SCA有积聚性；在SAB上，12可见，在SCA上，13与sa重合，为SBC与截平面交线，23不可见。又因为锥顶截断，s1及s2不存在。2曲面立体的截交线曲面立
12、体的截交线一般为封闭的平面曲线，但也可能是多边形，或者是直线和曲线的组合图形，如图所示。截交线是截平面与曲面立体表面的共有线。截交线上的任何点都是截平面与曲面立体表面的共有点。因此求截交线可归结为求截平面与曲面立体表面的若干个共有点，以后会看到，经常要利用“共有点”及“在曲面立体表面取点”的方法求截交线的投影。求曲面立体截交线的方法如下：（1）分析：截交线的形状及投影形状。截交线的形状取决于两个因素：1立体表面的性质，如是圆柱、圆锥还是圆球。2截平面与曲面立体的相对位置；截交线投影的形状取决于截平面与投影面的相对位置。（2）求点：我们只讨论截平面为特殊位置的情况，既然是特殊位置，至少有一个截交
13、线投影具有积聚性，从这一个或两个投影出发，先取若干点，再根据在曲面立体表面上取点的方法，求得它们的其它投影。取点时，先取特殊点，再取一些中间点。（3）连线：把求得点按相邻顺序连接，连线时应注意曲线的光滑、图形的对称性及可见性。立体如被截断，其轮廓线一定会发生变化。截交线在立体的可见部分，是可见的，不在可见部分则不可见。方才我们说，在求点时要先求特殊点，再求一般点。为什么要这样？哪些点属于特殊点呢？请同学们思考。为了确切地表示截交线，我们应首先求出确定截交线形状和范围的点，这些点称为特殊点。特殊点主要包括：（1）曲面外形轮廓线上的点（2）曲面边界上的点（3）反映截交线特征的点（4）极限位置点曲面
14、外形轮廓线上的点；曲面边界上的点，当圆柱、圆锥的底边参与相交时，应求出底边上的点。反映截交线特征的点，如椭圆长、短轴的端点，双曲线、抛物线的顶点等；极限位置点，如截交线的最高、最低点、最前、最后、最左、最右点。首先讨论圆柱的截交线。平面截圆柱时，截交线有三种情况： 当截平面平行于圆柱轴线时，截交线是两条素线；当截平面垂直于圆柱轴线时，截交线是圆；当截平面倾斜于圆锥轴线时，截交线是椭圆；当截交线是前两种情况时，截交线都好求，当截交线是椭圆时，我们如何求呢？下面我们看个例题。求圆柱的截交线分析：由于截平面与圆柱轴线倾斜，截交线是椭圆。下面我们来分析截交线的投影形状。截交线是截平面与立体表面的共有线
15、，由于截平面的正面投影有积聚性，所以截交线的正面投影已知，圆柱面的水平投影有积聚性，积聚在圆周上，所以截交线的水平投影已知，只需求其截交线的侧面投影。下面我们求点：（1）求特殊点先求特殊点：首先找曲面外形轮廓线上的点，、是正视外形轮廓线上的点，也是最低点和最高点，同时也是椭圆长轴的两个端点。、点是侧视外形轮廓线上的点，也是最前点、最后点，也是椭圆短轴的两端点。从1、3、2、4直接引投影连线，即可求得1、3、2、4及1、3、2、4。（2）求中间点特殊点都求出后，再求中间点：在正面投影1、3之间取5、（6），在2、4之间取7（8），引投影连线可这些点的水平投影5、6、7、8，再根据水平投影到前后对
16、称面的距离等于侧面投影到前后对称面的距离可求得它们的侧面投影5、6、7、8。（3）连线判别可见性并连线：由于圆柱被截断，其上方的轮廓线不存在，所以截交线的侧面投影可见，用实线连接。由俯视图可知，它的连线顺序是153728461。同理，光滑连接153728461即为左视图上的椭圆。 平面截圆锥圆锥的截交线平面截圆锥，截交线可能是三角形、圆、椭圆、抛物线或双曲线。当截平面通过锥顶时，截交线是三角形；当截平面垂直轴线时，截交线是圆；当截平面于所有素线相交时，截平面是椭圆；当截平面平行于圆锥面上的某一素线时，截交线是抛物线；当截平面平行于圆锥的轴线时，截交线是双曲线。举例说明截交线的求法：圆锥被平行于
17、轴线的平面所截，求其截交线。分析：由于截平面为正平面，平行于圆锥轴线，所以截交线为双曲线。由于截平面的水平投影有积聚性，所以截交线的水平投影已知。截交线的正面投影反映实形。我们可根据截交线的水平投影，在其上取特殊点和若干中间点，通过面上取点的方法求出这些点的正面投影，连线即可。下面求点：先求特殊点，首先求出截平面与底圆的两个交点1、2，1、2也是最低点，和最左、最右点；因为1、2在底圆上，作投影连线即得它们的正面投影。是双曲线的顶点，也是最高点，可利用辅助圆法求出。再取两个左右对称的中间点4、5，用辅助圆法求出正面投影。判断可见性并连线：因为截平面的正面投影可见，所以用实线连接。（1）求特殊点
18、方才我们讨论的都是用单一截平面截切立体，当用多个截平面截立体时，只需求出每个截平面与立体的截交线，另外还应注意求出两个截平面之间的交线。三、相贯线1两立体相贯两立体相交也称两立体相贯，立体表面的交线称为相贯线。相贯线的形状随立体表面的性质及两立体的相对位置而变，一般是封闭的空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直线。我们只要求掌握轴线正交的两回转体相贯的情况。相贯线的基本性质有两个：表面性和共有性。所谓“共有性”是指相贯线是两个立体表面的公有线，相贯线上的点是两立体表面的公有点。所谓“表面性”是指相贯线位于两立体的表面上。相贯线的投影必位于两立体投影重叠的范围之内。求相贯线的步骤和求曲面立体截交线的
19、步骤类似，通常有以下三步：（1）分析：分析两立体之间的相对位置及它们与投影面的相对位置，初步确定相贯线的形状和投影性质。（2）求点：相贯线上点是两立体表面的公有点，因此求相贯线就是要求出两立体表面的一系列公有点：求点时，首先求特殊点，再求中间点，相贯线的特殊点，除极限位置点之外，还有转向点，即可见与不可见的分界点。（3）判别可见性，连线：判别可见性的原则是：只有当相贯线同时位于两立体的可见表面上时，相贯线的投影才是可见的，否则，不可见。连线完毕后，注意是否需要补全或修正其轮廓线。1圆柱与圆柱相贯时相贯线的求法。线分析首先分析相贯线的空间形状本例为直立小圆柱和横放半个大圆柱相贯，相贯线为空间曲线
20、。整个立体是前后、左右对称的，相贯线也一定是前后、左右对称的。下面我们再分析相贯线的投影。由于相贯线是两立体表面的共有线，即在小圆柱上，又在大圆柱上。小圆柱的水平投影积聚在圆周上，所以相贯线的水平投影也在圆周上；横放大圆柱的侧面投影有积聚性，积聚在半个圆周上，所以相贯线的侧面投影也在半个圆周上，是介于两立体侧面投影重叠的部分。即这段圆弧。求点 通过方才的分析我们了解到，现在我们已知相贯线的水平投影和侧面投影，只需求出侧面投影。我们可以在已知的两投影上取一系列点，根据每个点的两个投影求出第三投影。求点时要先求特殊点。首先求外形轮廓线上的点，在A 圆柱水平投影上确定1、2、3、4点，1、2也是最高
21、点和最左、最右点，3、4是最低点，也是最前、最后点。先找出它们的侧面投影，然后，再找出正面投影。再求几个中间点。在水平投影上取对称的中间点5、6、7、8，找出他们的侧面投影，再根据水平投影和侧面投影求出正面投影。连线由于相贯线前后对称，可见部分和不可见部分重合，所以连成实线。注意：当轴线正交的两个半径不等的圆柱相贯时，相贯线总是向半径大的圆柱轴线凹进。当半径相等、轴线正交的两圆柱相贯时，相贯线是平面曲线椭圆。这属于相贯线的特殊情况，书上有介绍，请同学们下课看一下。具体作图：例 求圆柱与圆锥的相贯线分析：相贯线是空间曲线。由于圆柱和圆锥具有共同的前后对称平面，所以相贯线是前后对称的。由于圆柱面的
22、侧面投影有积聚性，所以相贯线的侧面投影已知。需要求的是相贯线的水平投影和正面投影。求点：可以在已知的侧面投影上取一系列点，然后用圆锥面上取点的方法将这些点的水平投影和侧面投影求出。这里我介绍另外一种方法辅助平面法。假想用一个辅助水平面将两立体切开，辅助平面与圆柱有一个截交线，与圆锥也产生一条截交线，这两个截交线的交点既在圆柱面上，又在圆锥面上，是两立体表面的共有点，即相贯线上的点。我们可以做若干个辅助平面，求出若干个共有点，依次连接，即为相贯线。选择辅助平面时应注意：应使辅助平面截两曲面立体所得的截交线的投影形状最为简单易画。例如圆或矩形等。一般应选投影面平行面或投影面垂直面做辅助面。辅助平面
23、法先求特殊点。先求圆柱正视外形轮廓线上的点，也是相贯线的最高点和最低点。利用辅助平面法求相贯线的最前、最后点。再用辅助平面法求一些中间点。判别可见性并连线。由于相贯线前后对称，正视图中前、后两段相贯线的正面投影重合；连成实线；在水平投影中，位于圆锥面上的点都可见，但对圆柱面来说，只有位于上半个圆柱面上的点才可见。所以在水平投影中，以c、d为界，cda段可见，dbc段不可见。本讲介绍了平面与立体的截交线和两回转体的相贯线。求截交线和相贯线都是求两立体的共有线，求共有线的问题是求共有点。截交线和相贯线的求法有以下几种：1 当交线的两个投影具有积聚性时，2 可按投影关系直接求第三投影；3 当交线的一
24、个投影有积聚性时，4 可用立体表面上取点的方法求其他投影；也可用辅助平面法求其他投影。当截交线的投影均无积聚性时，5 例如当圆锥和球相贯时，6 只能用辅助面法求相贯线。用什么样的辅助平面要视两相交元素的具体情况而7 定。求截交线和相贯线之前，应对题目做空间分析和投影分析，搞清楚已知的是什么，需求做的是什么，并对交线的形状和投影特征有一个初步的分析和预见，以减少作图的盲目性。然后确定用什么方法解题，最后作图。作图步骤为：1 求特殊点2 求一般点3. 判别可见性，连线。解决相贯线问题时，由于同学们缺乏较充分的感性认识，很难想象相贯线的空间形状。缺乏预见性。怎么办呢？有条件的同学应多看相贯线的模型，增强感性认识。另外可借助特殊点的相对位置（主要是轮廓线上的特殊点）分析和判断截交线的趋势和大概形状。
