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1、2023/1/8,1,近世代数及其应用,罗守山 教授 博士生导师北京邮电大学计算机学院,2023/1/8,2,第3章 正规子群与商群,本章继续研究特殊重要的群：正规子群，并引出商群，介绍群同态基本定理，低阶群的构造。,2023/1/8,3,第1节 陪集 拉格朗日（Lagrange）定理,先在群中引入一种特殊等价关系，由此对该群进行分类群的陪集分解。进而引出拉格朗日（Lagrange）定理：子群的阶都是有限母群阶的因子。,2023/1/8,4,集合的积,设,为群,是群,子集,定义,若,，则,的两个非空,2023/1/8,5,陪集的引入,引例 对于整数加群,，模4的剩余类：,构成,的一个分类：,现
2、利用群的观点，分析此分类的特点：,分类中存在一个特殊的类0是子群,而其余的类都不是子群.,每个类正好是这个子群“乘”上这个类中任取定的一个元素.i=i+0.,2023/1/8,6,2023/1/8,7,2023/1/8,8,2023/1/8,9,陪集,陪集思想：利用子群的一种等价关系,对群进行分类。,2023/1/8,10,2023/1/8,11,2023/1/8,12,陪集,2023/1/8,13,2023/1/8,14,2023/1/8,15,陪集例,2023/1/8,16,2023/1/8,17,2023/1/8,18,2023/1/8,19,2023/1/8,20,2023/1/8,2
3、1,例,在,中的全部不同的左陪集有:,2023/1/8,22,例,在,中的全部不同的右陪集有:,2023/1/8,23,陪集的性质及陪集分解,左陪集的性质及左陪集分解,2）,3）,4）,1）,群,中每个元素属于且只属于一个左陪集，,可以按照其子群,的左陪集分类.,的按照其子群,的左陪集分类中除去,外，再无子群,因此群,群,存在.,2023/1/8,24,定义,设,是子群,在群,中的所有不同的左陪集，称等式,为群,关于子群,的左陪集分解，而称,为群,的一个左陪集代表系.,关于子群,2023/1/8,25,右陪集的性质及右陪集分解,1）,2）,3）,4）,2023/1/8,26,右陪集与左陪集的对
4、应关系,定理 设,，则群,陪集含有相同个数的元素；且,在,中,是,到,的一一映射;,是,则,是,到,映射.,的任何两个,证明,集的个数与右陪集的个数相同.,左陪,到,的一一,映射;,的一一,2023/1/8,27,由上定理知，,，即,是群,关于子群,的一,是群,的一个右陪集代表系.,个左陪集代表系，,关于子群,2023/1/8,28,2023/1/8,29,2023/1/8,30,2023/1/8,31,陪集,2023/1/8,32,Lagrange定理证明,证明 因为,所以,也是有限群，,，且,由前定理,且,所以,2023/1/8,33,2023/1/8,34,Lagrange定理推论,20
5、23/1/8,35,2023/1/8,36,2023/1/8,37,2023/1/8,38,2023/1/8,39,乘积集的例,2023/1/8,40,第2节 正规子群 商群,2023/1/8,41,2023/1/8,42,2023/1/8,43,2023/1/8,44,2023/1/8,45,2023/1/8,46,2023/1/8,47,2023/1/8,48,2023/1/8,49,2023/1/8,50,2023/1/8,51,2023/1/8,52,2023/1/8,53,要判断一个子群是不是不变子群，一般来说，使用上述定理中所描述的判断方法比较方便,2023/1/8,54,2023
6、/1/8,55,2023/1/8,56,2023/1/8,57,2023/1/8,58,正规子群,2023/1/8,59,2023/1/8,60,2023/1/8,61,2023/1/8,62,2023/1/8,63,2023/1/8,64,2023/1/8,65,2023/1/8,66,2023/1/8,67,2023/1/8,68,2023/1/8,69,商群,2023/1/8,70,商群,2023/1/8,71,2023/1/8,72,2023/1/8,73,单群,2023/1/8,74,第3节 群同态基本定理,2023/1/8,75,定义,若存在群,到群,的同态满射,，则称群,与群,同
7、态；,若存在群,到群,的同构映射,，则称群,与群,同构.,假定,是集合,到,的一个满射，,，称,为,在,之下的象；,，称,为,在,之下的逆象.,为,2023/1/8,76,定理,两个代数系统,同态，,与,若,是群，,则,也是群.,证明：,，,是群，有结合律，则,也有结合律；,是同态满射，有,是,的左单位元；,是,的左逆元,也是群.,2023/1/8,77,例 证明,关于,做成群.,证明：取,是,到,的同态满射，,而,是群，,因此,是群.,2023/1/8,78,例,是,到,的同态满射，,全体正负奇数，,代数运算均为数的普通乘法,正奇数,1,负奇数,-1,是群，,而,不是群.,2023/1/8,
8、79,2023/1/8,80,2023/1/8,81,2023/1/8,82,2023/1/8,83,2023/1/8,84,2023/1/8,85,2023/1/8,86,2023/1/8,87,2023/1/8,88,定理（群同态基本定理）,群,与,同态，,是,到,满射，则,的同态,证明：取,2023/1/8,89,说明：,定理说明任何群都同它的商群同态；,同另一个群,同态，,在同构意义下是,的一个商群.,定理说明一个群,则这个群,因此，在同构意义下，上述定理的意,思是：每个群能而且只能同它的商群同态.,2023/1/8,90,定理,若,是群,到群,的同态映射,是单射,，则,证明：,而,是单射,若,，则,是单射.,2023/1/8,91,2023/1/8,92,2023/1/8,93,2023/1/8,94,2023/1/8,95,2023/1/8,96,2023/1/8,97,2023/1/8,98,2023/1/8,99,2023/1/8,100,2023/1/8,101,第4节 群的直积 低阶群的构造,2023/1/8,102,2023/1/8,103,2023/1/8,104,2023/1/8,105,2023/1/8,106,2023/1/8,107,2023/1/8,108,2023/1/8,109,2023/1/8,110,2023/1/8,111,谢 谢,
