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1、第四章 环与域,第一节 环的定义第二节 环的零因子和特征第三节 除环和域第四节 环的同态与同构,第五节 模n剩余类环第六节 理想第七节 商环与环同态基本定理第八节 素理想和极大理想,第四章 环与域,第一节 环的定义,环的基本概念 环的基本性质 子环的定义及其判定 矩阵环和循环环,定义1 设非空集合,叫做加法并用加号+表示,另一个叫做乘法并用乘号,具有两个代数运算,一个,表示.如果,1),作成一个加群;,2),作成一个半群;,3),乘法对加法满足左右分配律:,一 环的基本概念,则称,可以记这个环为,.,是一个环,在不产生混淆的前提下,定义2 如果环,的乘法满足交换律,即对,中任意元素,都有,则称
2、,为交换环(可,为非交换环(非可换环).,换环).否则称,例,中设,为整数集,“+”和“”为,中通常的整数加法和乘法.易知,习惯上称它为整数环,记为,.,是一个环.,同理还有有理数环,实数环,复数环.,上述的四个环都是由数组成.故称为数环.,偶数集,对于整数通,常的加法和乘法也是一个环.,例1 设,是一个加群，再对,中任意元素,规定,则,显然作成一个环.这种环称为零,乘环.,例2 设,为整数集.则,对以下二运算作成环:,证 容易验算,对,作成一个加群,1是零元,是元素,的负元.,此外,对乘法显然满足交换律,且易验证也,满足结合律.,下面仅证乘法对加法也满足分配律:,因为,故,.因此,对,作成环
3、,且是一个交换环.,定义3 如果环,中有元素,它对,中每个元素,都有,则称,为环,的一个左单位元;如果环,中有元素,它对,中每个元素,都有,则称,为环,的一个右单位元.,环,中既是左单位元又是右单位元的元素,叫,做,的单位元.,实际上,由于环,对其乘法显然作成一个半群,故,的左,右单位元或单位元也是该半群的左,右单,位元或单位元.,例3 证明:集合,的幂集,对运算,作成一个有单位元的交换环.这个环称为,的幂集环.,证 显然,上述加法是,的代数运算且满足交,换律;又显然空集,是,的零元,而,的负元为,身.因此,欲证,自,足结合律.,作成加群只剩下证该代数运算满,先证:,(),任取,则,;或,1)
4、若,则,或,若为前者,即,则得,从而,若为后者,即,则得,从而,也可得上式.因此,2)若,则类似推理也可得().因,故,因此,对上述加法作成,此,()式总成立.同理可得,一个加群.,又显然乘法满足结合律和交换律.至于乘法对,加法的分配律,可类似于加法满足结合律的证法知,也成立.又,且显然,是,此,的单位元.因,对以上二运算作成一个有单位元的交换环.,二 环的基本性质,设R是一个环,那么有如下性质:,性质1:,且,;,;,性质2:,性质3:,性质4:,性质5:,;,;,;,性质6:,;,性质7:,性质8:,;,.,三 子环的定义及其判定,定义4 设,是环,的一个非空子集.如果,对,的加法与乘法也
5、作成一个环,则称,是,的一个子,.,环,记为,例4 设,为任意集合.则,(包括空集)作成幂集环,的一个子环.,的全体有限子集,定理1 环,的非空子集,作成子环的充要条件是:,.,设,是环,的一个子环,应注意,当,有单位元时,不一定有;当,有单位元时,不一定有;即使二者,都有单位元,此二单位元也未必相同.,例5 设,为任意环,称,为环,上的一个,矩阵.当,时,称,为环,上的一个n阶方阵.,四 矩阵环和循环环,结论:环,上的全体,阶方阵关于方阵的加法,表示,并称为环,上的,阶全阵环.,与乘法作成一个环.这个环用,定理2 设,是一个有单位元的交换环.则,上n阶全阵环,的方阵,在,中可逆的充要条,的行
6、列式,在,中可逆.,件是:,一个环,关于其加法作成一个加群,用,表示,称其为环的加群.如果加群,是一个循,环群,则称环是一个循环环.,例如:整数环是一个无限循环环.显然循环,环必是交换环,且循环环的子环也是循环环,但,是循环环不一定有单位元.,定理3,阶环必为循环环(,是两个互异,素数).,第二节 环的零因子和特征,零因子的定义及其性质 环的特征及其性质,定义1 设,是环,的一个元素,如果在,中存在元素,使,则称,是,的一个左,零因子.,同理可定义右零因子.左或右零因子统称,为零因子.,一 零因子的定义及其性质,不是左零因子也不是右零因子的元素,叫,正则元.,注 1),中左零因子和右零因子这两
7、个概念是,有右零因子.,彼此依赖,彼此依托“共存亡”:有左零因子,2),若,是,的左零因子,一般,未必同时是,的右零因子.,由上可知,欲说明,是左零因子,则只需证,明存在,使,.欲说明,不是左零因子,只需证明任一个,都有,(或一旦,).,例1 设,为由一切形如,的方阵作成的环,则,是,的一个左零因子,因,为有,但,不是,的右零因子,因为,若,只有,例2 数域,上二阶全阵环中,上二阶全阵环中,既是左,零因子又是右零因子,因为有,数环以及数域上的多项式环,都无零因子.,定理1 在环,中,当,不是左零因子时,则,不是右零因子时,则,.,;当,证 由,得,.由于,且,不是左零因子,故,同理可证另一结论
8、.,推论 当环,无左(或右)零因子时,则消去律,中有一个消去律成立,则,中无左,成立;反之,若,及右零因子,且另一个消去律也成立.,定义2 无零因子的交换环称为整环.,对环,中任意元素,有,左消去律成立;,右消去律成立.,定义3 若(任意)环,的元素(对加法)有最大阶,则称,的特征(或特征数).用,表示环,的特征.,二 环的特征及其性质,若环,的元素(对加法)无最大阶,则称,为无限(或零).,的特征,有限环的特征必有限.一阶环的特征为1.在数,环中,除去,外,其特征均无限.,为环,定理2 设,是一个环.令,是空集时,的特征无限;当,非空时,中最小的正整数就是环,的特征.,则当,证 若,为空集,
9、则说明,中元素的阶没有,是,中一个最大阶元,且,最大的.因若不然,设,阶为,.由于,对加法是交换群,则由第二章2,中任何元素的阶都是,的因数,从而,定理5知,中任何元素,都有,对,于是,.这与,是空集矛盾.,若,非空,且,是,中的最小正整数,则,中每个元素的阶都有限且是,的因数,故,最大阶元.由上知,这个最大阶就是,因此,有,定理3 设,是一个无零因子环,且,.则,中所有非零元素(对加法)的阶均相同;,的特征有限,则必为素数.,1),2)若,证 1)若,已对;若,中每个非零元素的阶都无限,定理,中有某个元素,的阶为,则在,中,有,任取,但,零因子,故,又无,设,则,故,从而,.因此,即,中每个
10、非零元素,的阶都是,2)设,且,则在,中任取,中每个非零元素的阶都是,故,由于,但是,这与,是无零因子环矛盾,故,必是素数.,定理4 若环,有单位元,则单位元在加群,中的阶就是的特征.,证 若单位元1在,中的阶无限,则,的特征,当然无限;若1的阶是正整数,则在,中任取,有,.即,是,中非零元素的最大阶,亦即,定理5 若环,是交换环,特征是素数,则对,中任意元素,有,.,证 因为将,展开后除去项,外,其余各项的系数都是,的倍数,而,是,的特征,其余项都是零,结论得证.,定义4 设,是一个阶大于1且特征是素数,的环,如果对,中任意元素,都有,则称,是一个,环.,定理6,环是交换环.,定义5 设,是
11、环,的一个非空子集.如果,中元素,中任何元素,即对,都有,则称,是,的一个左零化子,并简,记为,.,右零化子可类似定义.,左或右零化子统称为零化子.,使,第三节 除环和域,除环与域的概念与性质 子除环与子域的判定,定义1 设,是一个环,如果,又,有单位元且每个非零元素都有逆元,则称是,一 除环与域的概念与性质,一个除环.,可换的除环称为域.,定理1 除环和域都没有零因子.,注:除环和域的特征只能是素数或无限.,例1 令,并称,中的元素为四元数.另规定系数为零的项可以略去,不写,且,于是,由第二章1例4知,对所规定的乘法作成一,的乘法现在再规定：,个群,即四元数群.根据,1),当且仅当,对应系数
12、相等;,2),3),法带入相应元素,即,两个四元数相乘可按通常分配律先展开,再合并各项中的实系数,最后根据四元数群的乘,因此,任意两个四元数的和与积仍是一个,四元数.,对以上规定的加法和乘法,可以验算,作成,一个环,1是它的单位元.又因为,故当,时有逆元,且,因此,作成一个除环,通常称为四元数除环.,必有单位元,且每个非零又非零因子的元素都是,定理2 有限环若有非零元素不是零因子,则,可逆元.,证 设,是有限环,的任意非零因子元素,则,中必有相等的.不妨设,于是有,.但,且,不是零因子,故,从而对任意,有,于是,同理有,.即,是环,可知,是,的可逆元.,的单位元.,再由,推论 阶大于1的有限环
13、,则必为除环.,若无零因子,定理3 设,是环且,则,是除环当且仅当对,中任意元素,方程,在,中有解.,证 必要性显然,下证充分性.,在,中任取,由条件可设,于是,从而,即,无零因子.,又因为方程,在,中有解,设为,.则有,但,又无零因子,故,从而,是环,的全体非零元素的右单位元.再由于方程,在,中有解且此解显然不是零元素,即每个,的乘法作成一个群,而这个群的单位元就是,的单位元,从而,是除环.,非零元素都有右逆元.因此,的全体非零元素对,二 子除环与子域的判定,定义2 设,是域(除环),的一个子集,且,.如果,对,的两个运算也作成一个域(除,是,的一个子域(子除环).,环),则称,定理4 设,
14、是域,的一个子集,且,则,作成,的一个子域当且仅当,.,简言之,即对“减法与除法”封闭.,定义3 设,是一个有单位元的环,则,的可逆,的单位;,的全体可逆元(单位)作成的,的乘群或单位群,并用,或,表示.,元也称为,群,称为,例2 证明:,作成一个有单位,.,元的整环(这个环称为Gauss整环),并且其单位群,是,证,作成有单位元的整环显然.又易知,均为其单位.下证:,没有别的单位.,设,是,的任一单位,则有,使,从而,于是,或,则,只能是,及,因此,和,是环,的全部单位.故,第四节 环的同态与同构,如果,是满射(单射、双射),则称,满射(环同态单射,环同构).特别,是环同态满射,与,同态,记
15、为,.,为环同态,时,则称,定义 设,与,是两个环.如果有一个,到,满足,则称,是环,到,的一个同态映射.,映射,的,定理1 设,与,是各有两个代数运算的集合,.则当,是环时,也是一个环.,且,定理2 设,与,是两个环,且,.则,元的象是,的零元,的元素,的负元的象是,象的负元;当,是交换环时,也是交换环;当,单位元时,也有,并且单位元的象是单位元.,的零,的,有,例1 设,是整数环,为4阶循环环,即,其中,在加群,中的阶为4(从而其特征为4),且,.则易知映射,是环,到环,的一个同态满射.在这里,整数环,没有零因子,但是循环环,却有零因子,因为在,中,即,是环,的零因子.,例2 设,是整数环
16、,又,可以验算,是环,到,的一个同态满射.又因为,作成一个环,且易知,对运算,即环,有零因子,但它的同态象,却没有零因子.,定理3 设,与,是两个环,且,.则,环(除环、域)当且仅当,是整环(除环、域).,是整,例3 设,是域,上的,阶全阵环.任取,如果矩阵的加法不变,但乘法改为,证明:1),上全体,阶方阵对此二运算作成环,此环记为,2),当且仅当,为满秩方阵.,证 易验算,作成环;又当,为满秩方阵时,易知,是环,到,的一个同构映射,故,反之,设,而,为降秩方阵且设,则由高等代数知,存在秩为,的,阶方阵,使,于是对任意,都有,从,而环,没有单位元.这与,相矛盾.因此,必为满秩方阵.,定理4(挖
17、补定理)设,是环,的一个子环,且,与环,同构,即,.又若,即,同,在,里的余集,无公共元素,则存在环,使,.,证 令,且在同构,之下,的象是,;又,在,中余集,的元素用,表示.于是,现在作一个新的集合,并规定,到,的一个映射:,则显然这是,到,的一个双射.,再在集合,中规定二运算:,其中,为,中任意元素,且,为,在,之下的逆象.易知此二运算是,的两个代数,运算,并且,是,与,的一个同构映射.因此,也是环且,.特别,保持原同构,以及环,的原来的运算,因此,.从而,例4 设,是例2中所给出的环,又令,则显然在,之下,.又,因此由定理4知,且,第五节 模n剩余类环,复习回顾:,在第二章里,我们曾讨论
18、模,的剩余类加群,.下面给出同余类的加法和乘,法,使,作成一个环.,规定,可以验证,关于上述两个运算作成一个环.称,其为以,为模的剩余类环,或简称模,剩余类环.,中非零元,如果与,互素,则为可逆,互素,则为零因子.,定理1,元;如果不与,证 设,且,则存在整数,使,于是,即,是,的逆元.,又当,时,令,是,且,即此时,子.,的一个零因,定理2 如果,是素数,则环,是一个域,如果,是合数,则环,有零因子,从而不是域.,证 因为,的所有非零元素都同,互素,于是,由定理1知,每个非零元素都有逆元,故,是一个,域.当,是合数时,设,则,且,故,有零因子,从而不是域.,例1,是域.又由于,故,的逆元是自
19、身,而,与,互为逆元.,例2,是环不是域.又由于,故,是,的可逆元,但,的零因子.,是,定理3 设,是两个正整数,则,证 令,并设,且,为其一同态满射,则在,之下单位元的,象是单位元,即,从而对任意整数,有,特别有,.由于有,故,反之设,则易知上面的对应,是剩余类环,到,的一个满射,而且是一个满同态,故,定理4 除去零乘环外,在同构意义下,循环环,有而且只有整数环及其子环以及剩余类环及其子环.,证 整数环及其子环以及剩余类环及其子环都,循环环.,是循环环,这是显然的.下证在同构意义下只有这些,设,为任意循环环,且不是零乘环.则,.如果,在加群,无限,则易知,中的阶,(,为任意整数),是循环环,
20、到整数环,的子环,的一个同构映射,因此,.,在加群,中的阶有限,而且是,以上的对应法则,是,阶循环环到模剩余类环,的子环,如果,此时,则,.且易知,的一个同构映射.,因此,.这就是说,阶循环环,可同构,嵌入到模,剩余类环,中.即在同构意义下,是,的子环.,例3,的子环,与,的子环,都是3阶循环环,但它们不同构.,的加群都是3阶循环群,当然同构.,之下必有,但作为环它们不同构:因若不然,设有同构,证,则,与,在,或,从而均有,矛盾.,第六节 理想,理想的概念及其性质 主理想,一 理想的概念及其性质,定义1 设,是环,的一个子加群,即对,的一个左理想;,则称,是,的一个,既是环,的左理想又是右理想
21、,则称,的一个双边理想,或简称为理想,并用符号,表示.否则记为,是,任意元素,差,仍属于,.如果又有,则称,如果,中,右理想;,如果,是,.,例1 令,为域,上的2阶全阵环,并设,则易知,是环,的一个左理想(但不是双边理想),是,的一个右理想(也不是双边理想).,而,另外易知,又是环,的一个双,边理想,但它却不是全阵环,的左理想也不是右,理想.,例2 令,是多项式环,为零的全体多项式作成的集合,则易知,是,个理想.,是一个域,中常数项,的一,例3 令,为任一域,又令,则易知,但是,.因此,同正规子群情况,类似,理想的理想不一定是原环的理想,亦即理想,也不具有传递性.,对任意环,如果,则至少有两
22、个理想:,称之为,的平凡理想.其它的理想如果还有,的话就称为真理想.,是循环环,的,是,的一个子加群(子环).,一个理想,当且仅当,定理1,定义2 只有平凡理想的非零环称为单环.,证 理想当然是子加群.反之,设,是循环环,的一个子加群,则对任意,令,其中,为整数.则,又因循环环是可换环,故,定理2 除环和域只有平凡理想,即它们是单环.,证 设,是除环,的任意一个理想.如果,在,中任取,则,于是,从而对,中任意元素,有,故,.即,只有平凡理想,因此,是单环.,定理3 设,是一个阶大于1的环,并且除平凡理,有单位元时,为除,无单位元时,是素阶零乘环.,想外无其它左或右理想.则当,环;当,证 设,除
23、,和,外无其他左理想.在,元素,则显然,中任取,是,的一个左理想.,有单位元时,从而,.于是,当,.这表明方程,在,除环.,中有解,因此,是,无单位元时,则由3定理3知:总存在元素,.于是,而且,是环,的一个左理想,也是一个循环零乘环.故,再由假设可知,只能是一个素阶零乘环.,当,使,当,除,和,外无其他右理想时,同理可证.,推论1 阶大于1的可换单环必为域或素阶零乘环.,定理4 设,是一个有单位元的环,则存在,惟一的,使,证 令,为由,中一切,阶方阵的所有元素作成,的集合.,下证:,用,表示,元素是1而其余元素全,阶方阵.则易知,是0的,(1),而且,上每个,阶方阵都可由这,个方阵,线性,则
24、在,中存在方阵,使,从而根据(1)和(2)以及,可得,表示.任取,(2),因此,再任取,则由于,而,故,从而,.因此,并且,反之,任取,并令,再任意取定,则在,中有方阵,于是,由于,故,.,从而由(3),.于是,可知,设另有,使,.则对任意,有,.于是,从而,理有,.因此,同,(3),推论2 设,是一个有单位元的环,且,.则,是单环,全阵环,是单环.,证 若,是单环,则由定理4直接可知,是单,是单环且,则由矩阵乘法易知:,环.反之,设,从而只有,或,.于是由定,或,.即,是单环.,惟一性可知,理4中的,定理5 设,是一个阶大于1的整环.如果,只有有限个理想,则,必为域.,证 在,中任取元素,由
25、3定理3知,在,中有解即可.,但由于整环,只有有限个理想,故必有正整数,与,满足,只需证明方程,易知,从而由(4)知,在,中有,使,元素,或,即方程,在,中有解,(4),二 主理想,设,是一个环,任取,.易证,是,中包含,的理想中最,的由,生成的主理想.,令,则,小的一个,称为,结论:当环,可交换时(或者生成元,在,的中心内时),;,当环,中有单位元,时,;,当,有单位元且,可交换(或,有单位元,在中心时),.,定义3 设,为环,的,的和.,并称其为子集,个子集,令,定理6 若,是环,的,也是环,的一个(子环)理想.,个(子环)理想,则,证 对,用数学归纳法.,当,时定理显然成立.当,时,作成
26、,的子加群.又设,且,显然,则由于,是,的理想,故,都属于,从而,即,时定理成立.,假定对,定理成立,则由于,故易知定理对,也成立.,例4 设,是整数环,则,证 显然,因此,.又由于,故,.因此,.,例5 整数环上的多项式环,的理想,不是主理想.,证 因若不然,设,则,由于,是有单位元的交换群,故可令,这只有,.但因为,显然是由常数项为,偶数的所有整系数多项式作成的理想,故,矛盾.,定义4 设,是环,又,.则令,有限和,并称其为理想,与,的乘积.,易证:,第七节 商环与环同态基本定理,商环的基本概念 环同态基本定理,一 商环的基本概念,在前一讲中已知,当,是环,的理想时,仅加法,得到加法商群,
27、.,而言知,今将说明商加群,中可以合理地引入一个,做成一环,这个乘法定义为,乘法并使,或,.,定理1 设,是环,的理想,则,对陪集的加法,关于,的商环,且,.,与乘法作成一个环,称为,证 令,则易知这是,到,的一个关于加法与乘法的同态,满射,故,由于,是环,因此,也是环.,二 环同态基本定理,定理2 设,与,是两个环,且,1)这个同态核,即零元的全体逆象,是,的一个理想;,.则,2),证 设,是环,到环,的一个同态满射.,1)由第三章知,核,首先是环,的一个子,加群;其次,设,则,于是在,之下有,故,即,是,的理想.,2)令,则由群同态基本定理知,作为加群,是,到,的一个同构映射.又由于,而,
28、因此,是环,到环,的一个同,构映射,从而,例1 设,是整数环,是任意正整数.证明:,证 商环,而,由于商环中元素(即陪集)的加法,与乘法同,中元素(即同余类)的加法与乘法一致,故显然,是环,与,的同构映射,因此,例2 设,是Gauss整环,是由全体整系数,多项式作成的环.证明:,证 这里,是虚单位,即,的一个根.易知,是环,到,的一个满同态,且,由环同态基本定理知,故,定理3 在环,到环,的同态映射下,则,的子环(理想)的象是,的一个子环(理想);,的子环(理想)的逆象是,的一个子环(理想).,1),2),定理4(环的第二同构定理)设,是环且,则,1),;,2),.,以下证明2).,是,到,的
29、自然同态,则易知在,之下有,且这个同态的核为,.于是由定理2知,证 1)是显然的.,令,定理5(环的第三同构定理)设,是环且,则,且,证 令,分别为,到,以及,到,同态,则易知,是,到,的自然,满同态,且有,的一个,.又易知,故由定理,且,2知,第八节 素理想和极大理想,定义1 设,是一个交换环,.如果,则称,为,的一个素理想.,是,的一个理想,那么,例1 设,是一个素数,则,有,所以,是,的素理想.,例2 设,是偶数环,是奇素数,又,则,不是,的素理想,而,是,的素理想.,证 因为,但,故,偶数环的素理想.又设,不是,其中,是偶数.,设,其中,为整数.则由于,是奇素数,故可知,.从而,或,.
30、由此可知,必有,或,即,是,的素理想.,定理1 设,是交换环,的一个理想,则,是,的素理想的充分必要条件是:商环,无零因子,即为整环.,证 设,是,的素理想,则在商环,二元素,中任取,且令,.于是有,即,.但因,是素理想,故有,或,.亦即有,或,.因此,商环,无零,因子.又因为,可换,故,也可换,从而为整环.,反之,设,无零因子,且令,.则,即,.于是,或,亦即,或,.因此,是,的一个素理想.,定义2 设,是,的一个理想且,如果除了,和,以外,再也没有能包含,的其他理想,那么称,是,的一个极大理想.,例3 显然零理想,是,的素理想,但不是极大,理想.,在模8剩余类环,中,令,则,不是,的素理想
31、,也不是,的极大理想.,既是,的素理想也是,的极大理想.,欲判断理想,是极大理想的一般有二步:,(即,但,)一般当,证,1)验证,2)设,且,则,定理2 整数环,的理想,是,的极大理想,当且,是由素数生成的理想.,仅当,证 设,是素数,又,是,的一个理想,且,令,则,.只有,即只有,或,从而,是,的,极大理想.,反之,设,是,的极大理想,由于,的理想都,是主理想,故可设,且不妨设,是正整数.,如果,是合数,令,则,的理想,但却有,这与,是,的极大理想矛盾.故,必为素数.,定理3 设,是环,的一个理想,则,是极大理想,是单环.,证 用,表示,到,的自然同态.,设,是,的一个极大理想,而,为,的任
32、一非零,理想,则由上节知,在,之下,的逆象,是,的一个,理想.由于,而,的逆象为,故,.又因,故,即,.但,是,的极大理想,故,即,只有平凡理想.,反之,设,.但由于,是单环,是单环,故,又因,故,则,从而有,是,的一个理想,且,则,任取,于是,使,.因此,即,是,的极大理想.,定理4 设环,是一个单环,则当,有单位元且,是一个域.,可换时,证 在,中任取,则,.但,是单环,只,有平凡理想,故,.于是单位元,.但对,有单位元可换环来说,中元素都可表为,于是,其中,.即,中每个非零元都有逆,元,从而,是一个域.,推论1 设,是一个有单位元的交换环,是,的一个理想.则,是域的充分必要条件是:,是,的一个极大理想.,环,证 设,是域,而域是单环,于是由定理3知,是,的一个极大理想.,是,的一个极大理想,由定理3,反之,设,是单环.又因环,有单位元且可换,从而,也有,单位元且可换,故由定理4,是一个域.,推论2 有单位元交换环的极大理想必为素理想.,例6 由素数,生成的理想是整数环,而,的极大理想,有单位元且可换,故由定理2知,即,域.,是一,
