现代设计方法课程02优化设计ppt课件.ppt

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1、第二章 优化设计Optimization Design,本章主要内容 优化设计的基本概念与数学模型 优化问题的极值条件与数值迭代法 一维搜索方法 无约束优化方法 约束优化方法 多目标优化方法与离散变量优化问题,2.1 优化设计的基本概念与数学模型,引例【例1】有一边长为6m的正方形钢板，四角各截去一个小的方块，加工成盒子，试确定截去的四个小方块的边长，使加工的盒子具有最大的容积。,解：设截去的四个小方块的边长为x，则盒子的容积可表示成x的函数,求变量x，使函数 极大化其中，x称为设计变量，f(x)称为目标函数。由于目标函数是设计变量的一元三次函数，且没有附加的约束条件，因此该问题属于一元非线性

2、无约束优化设计问题。,该设计问题的最优解为,【例2】某工厂生产甲、乙两种产品，生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润以及能够提供的材料、工时和电力见表1。试确定两种产品每天的产量，以使每天可获得的利润最大。,表1 生产条件与供给数据,解：这是一个生产计划问题。归结为既满足各项生产条件，又使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。,设每天生产甲产品x1件，乙产品x2件，每天获得的利润可用函数f(x1,x2)表示，即：f(x1,x2)=60 x1+120 x2,每天实际消耗的材料用函数g1(x1,x2)表示，即：g1(x1,x2)=9x1+4x2 每天实际消耗的工时用函数g2(x1,x

3、2)表示，即：g2(x1,x2)=3x1+10 x2 每天实际消耗的电力用函数g3(x1,x2)表示，即：g3(x1,x2)=4x1+5x2,求变量：x1，x2设计目标函数：使函数f(x1,x2)=60 x1+120 x2极大化约束函数为gi(x1,x2)不等式的约束条件满足条件：,由于目标函数和所有约束函数均为设计变量的线性函数，因此该问题为线性约束优化问题，显然，这样的问题无法解决直接用于极值条件求解，须借助数值算法语言来 计算。该设计问题的最优解为：,一、优化设计的概念 1.什么是优化设计？优化设计是将工程设计问题转化为最优化问题，利用数学规划的方法，借助于计算机（高速度、高精度和大存储

4、量）的处理，从满足设计要求的一切可行方案中，按照预定的目标自动寻找最优设计的一种设计方法。2.产生和发展,机构学问题结构运动参数优化,机构运动学优化设计机械零部件和产品的优化设计,3.典型举例(1)美国。辛格采用优化设计方法设计了一种十级转速的机床主轴箱，使各轴的中心距总和比用传统设计方法所取得的结果减少16.55%，从而体积和重量相应的减少。(2)意大利。扎罗蒂用优化设计方法对工程机械中的柴油机变速箱等作了最佳匹配设计，显著提高了其性能。(3)中国。葛洲坝二号船闸人字门启闭机构经过优化设计，使驱动力矩由400t.m降为232t.m。,二、优化设计的数学模型 优化设计的问题首先是建立数学模型，

5、即把实际问题转化为数学模型的形式，一般包括三个方面：设计变量与设计空间、约束条件和目标函数。1.设计变量与设计空间 在机械设计中，每一个设计方案都可以用一组参数来表示，这些参数有几何参数和物理参数。几何参数如构件的长度、位置角、构件上点的坐标等；物理参数如质量、转动惯量、力及力矩等。这些参数中，在优化设计前根据要求预先给定的，称为设计常量。,在优化设计中待选择的参数，也是变化的量，称为设计变量。设有n个设计变量，可用一个向量X表示。写成,式中 表示n维空间，它包括了所有的设计变量，称为设计空间，一个设计向量X代表着一个设计方案，它对应着n维空间的一个点，其中最优设计方案用 表示，称为最优点或优

6、化点。,设计变量的数目称为维数，维数越多，优选方案越多，效果越好，但计算更复杂，难度增加。一般在优化设计中，不应过多地增加设计变量，应尽可能根据以往经验将一些参数确定为设计常量，而只将那些对设计指标影响比较大的设计参数定为设计变量。另外，还要兼顾求解的精读和复杂性方面的要求。,设计空间中的一个设计点 X 构成一个以坐标原点为起点，以X为终点的向量。两个设计点X(1)和X(2)则构成三个向量，其中X(1)X(2)代表以X(2)为起点，以X(1)为终点的向量。,二维设计平面,三维设计空间,2.约束条件与可行域(1)约束条件 对任何设计都有若干不同的要求和限制，将这些要求和限制表示成设计变量的函数并

7、写成一系列不等式和等式表达式，就构成了设计的约束条件简称约束。其作用是对设计变量 的取值加以限制。根据形式的不同：不等式约束和等式约束 根据性质的不同：边界约束和性能约束。,不等式约束与等式约束的几何意义：,(2)可行域 任何一个不等式约束都把设计空间分为两部分，一部分是满足约束条件的称为可行域，另一部分是不满足约束条件的称为非可行域，这两部分分界是(约束方程)。在约束边界上的点称为边界点，两个以上约束的交点称为角点。,例2的5个约束方程分别是：,其可行域是什么？,【例3】根据下列约束条件画出可行域。,可行域在约束边界的哪一边怎么确定？,(3）起作用约束 设X为设计空间中的一个点：满足所有约束

8、条件的点称为可行点（内点）不满足所有约束条件的点称为非可行点（外点）X在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的起作 用约束 X不在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的不 起作用约束,起作用约束,设计点X(k)的所有起作用约束的函数序号下标集合用Ik表示，即,3.目标函数 优化设计的任务是在许多可行的方案中找出最优的方案，所谓最优方案是在设计变量中能最好的满足所需追求的某些特点的目标，而这些目标又可表达为设计变量的函数，称为目标函数。目标函数可用来评价设计方案的好坏，所以又称为评价函数。常表示为：,一般目标函数可用经济指标和性能指标来表示。经济指标如机器的寿命最长、重量最轻、体积最小、用料最省

9、、所需功率最小等；性能指标主要是满足运动学与动力学的要求，如牛头刨床要求刨刀在工作行程上近似等速，港口起重机要求点轨迹近似直线，凸轮机构要求压力角小于许用压力角等等。,4.优化设计的数学模型 一般形式：,用“max、min”表示极大、极小化，用“s.t”表示“满足于”，“m、p”表示不等式约束与等式约束的个数，则表示如下形式：,本课程中，所有的优化设计问题都是求目标函数的极小值。遇到求极大值的问题，则先通过转化变成极小值问题。与此同时，所有的不等式约束都采用的形式。,三、优化设计的分类 按目标函数的多少：单目标优化和多目标优化 按所能求解的维数：一维优化法(一维搜索)和多维优化法 按约束情况：

10、无约束优化方法和约束优化方法 用数学模型表达的求优方法称为数学优化方法，包括数学规划法和最优控制法 按求优的途径：数学迭代法、解析法、图解法,数值迭代法：利用已有信息及再生信息进行试探及迭代求 优方法，是目前优化设计中广泛采用的方法。解析法：利用函数性态通过微分或变分求优；图解法：利用作图求优，主要用于不超过二维的优化问题。,四、优化问题的图解法 1.等值线的概念 以二维优化为例。设目标函数为，它的图形是三维空间中的一个曲面。用一个平面z=c(常数)去截这个曲面，其交线是空间中的一条曲线，在这条曲线上所有的点距平面xoy有同一高度，即具有相同的目标函数值，称这条曲线为等高线。,为方便起见，往往

11、将这条曲线投影到xoy平面，这条曲线称为该函数的等值线，不同的常数c1、c2,所截的平面曲线不同，得到不同的等值线。,求优的出发点：不同的圆函数值不同，越靠近中心函数值越小，同心圆的中心函数值最小。,例2中目标函数的等值线,2.优化问题的图解法 例2的图解法。,最优解是等值线在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点。,【例4】用图解法求解,最优解是等值线在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点。,非线性问题的最优解要么是一个内点，要么是一个边界点；非线性问题的最优解如果是一个边界点，那么它必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点；线性问题的最优解必定是等值线（面）在函数值下降

12、方向上与可行域的最后一个交点；,一般情况下：,【本节思考题】1.优化设计模型的组成要素及其表示方法。2.什么是可行域？什么是等值线（面）？3.通过简单优化问题的图解法分析优化问题最优解的特点。,【作业】用图解法求解：,1.,2.,2.2 优化问题的极值条件与数值迭代法一、优化问题的数学基础 1.方向导数 一元函数在点 的导数 表示函数在该点的变化率。一阶导数大于0，说明函数在这一点随x的增大而增大；一阶导数小于0，说明函数在这一点随x的增大而下降；一阶导数等于0的点，称为函数的驻点。一元函数的极值往往在驻点取得。,多元函数 在某点 对坐标变量 的一阶偏导数：,仿照多元函数沿各坐标轴方向的导数，

13、可以定义多元函数沿任意方向S的方向导数:,设方向S与各坐标轴 正向夹角分别为，则有:,其中，为函数在点 的梯度，为方向S上的单位向量，为方向余弦。,2.梯度 函数在点 的梯度是由函数在该点的各个一阶偏导数组成的向量，即,根据矢量代数的概念，方向导数可以写成：,其中：,向量S的模：,向量 的模：,方向导数与梯度,也就是说，函数在某点沿任意方向S的方向导数等于该点的梯度在该方向上的投影。而梯度方向是函数在该点的方向导数最大的方向，或者说是函数值增长最快的方向。,梯度具有如下性质：1)函数在一点的梯度是一个向量。梯度的方向是该点函数值上升得最快的方向，梯度的大小就是它的模长；负梯度方向则是函数值下降

14、得最快的方向。2)一点的梯度方向与过该点的等值线或等值面的切线或切面垂直，或者说是该点等值线或等值面的法线方向。3)梯度是一点函数在某点邻域内局部形态的描述。在某点上升得最快的方向，离开该邻域后不一定上升得最快，甚至可能下降。,【例5】,解：根据定义，梯度,梯度的模,单位梯度向量,在设计平面x1ox2内标出点(2，2)和点(0，2)，并将此两点分别与原点相连得到向量 和。将这两个向量各自平移至点X(1)和X(2),所得新的向量就是点X(1)和X(2)的梯度。,3.凸集、凸函数与凸规划(1)凸集 设D是n维欧式空间 内的一个点集，即，若任意两点 的连线上的一切点（），则称D为凸集。从直观上讲，凸

15、集的内部没有空洞，边界上也没有凹陷部分。凸集的几何特征是：其任意两点连线上的一切点都位于这个几何内。,(2)凸函数 设D为 中的一个凸集，为定义在D上一个函数，若对D内任意两个点 及任意，恒有则称 为凸函数。凸函数的几何意义是：点 的连线完全处在曲线或曲面 的上方或在 上。,(3)凸规划 对于非线性规划 若其中 和 均为凸函数（对于 约束则为凹函数），则这样的规划问题称为凸规划。,二、优化问题的极值条件 1.无约束问题的极值条件 由微分理论可知，一元函数f(x)再点xk取得极值的必要条件是函数在该点的一阶导数等于零，充分条件是对应的二阶导数不等于零。即,当 时，函数f(x)在点xk取得极小值。

16、当 时，函数在xk取得极大值。极值点与极值函数记作,与此相似，多元函数 在点 取得极小值的条件是：函数在该点的梯度为0，二阶导数矩阵为正定，即 同理，多元函数 在点 取得极大值的条件是：函数在该点的梯度为0，二阶导数矩阵为负定。,2.约束问题的极值条件 约束问题的极值有多种状态：(1)极值点为可行域的内点，此时目标函数的极小点也就是约束问题的极小点。此时，约束条件均不是起作用。,(2)当目标函数的极小点在可行域外时，约束问题的极小点是约束边界上的一点，该点是约束边界与目标函数的一条等值线（等值面）的切点。当极值点位于某约束边界上时，该约束被称为起作用约束。,(3)约束问题还可能有多个极值点。,

17、1)等式约束的极值条件 对于等式约束问题 由高等数学可知，可以建立拉格朗日函数 其中，为拉格朗日向量。,令，得 这就是等式约束问题在点 取得极值的必要条件。,上式的几何含义是：在等式约束问题的极值点上，目标函数的负梯度等于诸约束函数在该点梯度的线性组合。,2)不等式约束的极值条件 对于不等式约束问题 可以通过引入松弛变量，将上面的不等式约束变成等式约束问题,然后类似地，建立拉格朗日函数式中，为松弛变量组成的向量。令这个拉格朗日函数的梯度等于0。即令则可以得到,以上两点可以统一用一个条件来表示：,设点X*的起作用约束有w个，即起作用约束，则必有,称为不等式约束的极值条件，又称为Kuhn-Tuck

18、er条件，简称kt条件,k-t条件的含义是：若点X*是函数的极值点，则该点目标函数的负梯度等于起作用约束的函数梯度的非负线性组合。若点X*是是函数f(X)的极值点，要么要么目标函数的负梯度位于起作用约束梯度所成的夹角或锥体内。,【例6】用k-t条件判断点X*=2,0T是否为以下优化问题的极小点。,解 由于所以，点X*的起作用约束是。在点X*有将以上各梯度值代入k-t条件式，即 当 时上式成立，k-t条件满足，故X*=2,0T就是所求约束优化问题的极小值。,例6的极小值判断,三、数值迭代法 1.数值迭代法的基本思想 从一个初始点 出发，按照一个可行的搜索方向和适当的步长走一步，达到，再从 出发，

19、选一个可行的搜索方向和适当的步长走一步，达到，并保证每一步函数值必须是下降的，即(这称为新点的适用性)，这样一步一步地重复进行数值计算，最终达到目标函数的极小点。,(1)无约束优化问题,第k个迭代点,从第k个迭代点出发寻找下一个迭代点的搜索方向沿 前进的步长,由于每次迭代求得的新点均为使函数值有所下降的适用点（如果不是适用点，可改变方向和步长另行搜索适用点），则所得各点必将逐步向该函数的极小值点逼近，最后总可求得非常接近该函数理论最优点的近似最优点。,(2)有约束优化问题 对于有约束的优化问题，除了检查每个新点的适用性外，还要检查其可行性，即是否满足的约束条件，如果适应性和可行性兼备，再仿照无

20、约束优化方法进行下一次迭代，最终自然也能求得非常接近约束最优点的近似最优点。,综上所述，采用数值法进行迭代求优时，除了选择初始点 以外，如何确定迭代方向 和步长 成为非常重要的环节，他们将直接决定着搜索的效率，函数值逐步下降的稳定性和所需的时间等。,2.终止准则(收敛准则)用迭代法求优时，虽然所得各新点依次逐步向理论上的无约束或约束最优点靠拢，而且理论上可以无限的趋近，但又不会真正达到。另一方面，从工程实际需要和经济上的考虑，追求问题的精确解也是没有必要的，因此，就应根据不同的优化方法、迭代过程中产生的信息及所需的计算精度（足够小的正数），定出某个相应的终止准则，一旦满足终止准则，则可停止迭代

21、，输出近似的最优解 和。,无约束优化问题常用的迭代终止准则有：(1)点距准则：根据相邻两迭代点 与 间的距离足够小而建立的点距准则，可表示为,或,(2)值差准则：根据相邻的两迭代点的函数值下降量足够小而建立的函数值下降量准则。当 时，用绝对下降量准则 当 时，用相对下降量准则,(3)梯度准则：一般来说，梯度等于0的点是极小点，根据这种思路，梯度近似于0的点就是近似极小点，因此根据迭代点的函数梯度模长达到足够小可以建立梯度准则。,或,四、优化方法分类,优化方法,线性,单纯形法,非线性,单变量,一维搜索法,黄金分割法,二次插值法,多变量,无约束,约 束,导数法,梯度法,牛顿法,变尺度法,共轭梯度法,模式法,坐标轮换法,Powell法,间接法,拉格朗日乘子法,惩罚函数法,序列线性规划法,直接法,复合形法,可行方向法,【本节思考题】1.为什么说k-t条件只是约束问题极值条件的必要条件而不是充分条件？2.三个数值迭代终止准则各有什么局限性？,【作 业】用k-t条件判断X=1，1，1T是否为以下约束优化问题的最优解。,