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1、第四章 平面任意力系,若所有力的作用线都在同一平面内，且它们既不相交于一点，又不平行，此力系称为平面任意力系，简称平面力系。本章将研究该力系的简化与平衡问题，这是静力学的重点之一。本章还介绍平面简单桁架的内力计算。,平面任意力系实例,当物体所受的力对称某一平面时，也可简化为在对称平面内的平面力系。,1、力的平移定理,4-1 平面任意力系向作用面内一点简化,可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩.,说明：,力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=Fd,力线平移定理是力系简化的理论基础。,一个力平移的结果可得到同
2、平面的一个力和一个力偶.反之同平面的一个力F1和一个力偶矩为m的力偶也一定能合成为一个大小和方向与力F1相同的力F其作用点到力作用线的距离为,平面任意力系向一点简化的实质是一个平面任意力系变换为平面汇交力系和平面力偶系,(1)主矢和主矩,设在刚体上作用一平面任意力系F1,F2,Fn各力作用点分别为 A1,A2,An 如图所示.,o,在平面上任选一点o为简化中心.,2、平面任意力系向作用面内一点简化主矢和主矩,根据力的平移定理,将各力平移到简化中心O.原力系转化为作用于O点的一个平面汇交力系F1,F2,Fn以及相应的一个力偶矩分别为m1,m2,mn的附加平面力偶系.其中,M1,M2,Mn,F1=
3、F1,F2=F2,Fn=Fn,M1=Mo(F1),M2=Mo(F2),Mn=Mo(Fn),将这两个力系分别进行合成,一般情况下平面汇交力系 F1,F2,Fn 可合成为作用于O点的一个力,其力矢量R称为原力系的主矢.,一般情况下附加平面力偶可合成一个力偶,其力偶矩 Mo 称为原力系对于简化中心O的主矩.,主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.,主矢,主矩,主矢 大小,方向,作用点,作用于简化中心上,主矩,结论：平面任意力系向作用面内已知点简化,一般可以得到一个力和一个力偶.这个力作用在简化中心,其矢量称为原力系的主矢,并等于这个力系中各力的矢量和;这个力偶的力偶矩称为原力系对于简化中心的
4、主矩,并等于这个力系中各力对简化中心的矩代数和.,力系的主矢 只是原力系中各力的矢量和,所以它的大小和方向与简化中心的位置无关.,力系对于简化中心的主矩Mo,一般与简化中心的位置有关.,平面固定端约束,在工程实际中，有一种约束称为固定端支座。物体一端被固定，完全限制了物体在图示平面内的运动，构成固定端约束。,=,=,=,固定端约束的约束力是作用在接触面上的分布力系。将其向固定端处A简化得一力和一力偶，力的大小、方向未知，以两个未知的正交分量表示。固定端约束的约束力包括两个分力和一个力偶矩。,固定端（插入端）约束,说明,认为Fi这群力在同一 平面内;将Fi向A点简化得一 力和一力偶;RA方向不定
5、可用正交 分力YA,XA表示;YA,XA,MA为固定端 约束反力;YA,XA限制物体平动,MA为限制转动。,3、平面任意力系的简化结果分析,=,合力作用线过简化中心,合力矩定理,若为O1点，如何?,合力偶,与简化中心的位置无关,平衡,与简化中心的位置无关,简化结果：主矢，主矩 MO，下面分别讨论。,=0,MO0 即简化结果为一合力偶,MO=M 此时刚 体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。,=0，MO=0，则力系平衡,下节专门讨论。,0,MO=0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）,。（此时 与简化
6、中心有关，换个简化中心，主矩不为零）,简化结果小结,0,MO 0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力。,合力 的大小等于原力系的主矢合力 的作用线位置,主矢,主矩,最后结果,说明,合力,合力,合力作用线过简化中心,合力作用线距简化中心,合力偶,平衡,与简化中心的位置无关,与简化中心的位置无关,例4-1.图示力系有合力.试求合力的大小,方向及作用线到A点的距离.,解:求力系的主矢,Rx=20cos60o+18cos30o=25.59 kN,Ry=25+20sin60o-18sin30o=33.32 kN,求力系的主矩,R,MA=125+2 20sin60o-3 18sin30o=
7、32.64 kNm,MA,R,d,4 平行分布的线荷载,q,qx,(1)定义,分布荷载;平行分布线荷载(线荷载),线荷载集度q,N/m;kN/m,均布线荷载,非均布线荷载,荷载图,(2)均布线荷载,R,C,l/2,l,C,l/2,l,R,合力大小:,R=q xi=q xi=ql,合力作用线通过中心线AB的中点C,xi,qxi,(3)按照线性规律变化的线荷载,dx,C,x,2l/3,l,R,qdx,合力大小:,合力作用点C的位置,(4)梯形分布 求图示按线性规律变化的线荷载的合力 大小和合力作用点C的位置.,解:方法1,R,C,dx,qdx,方法(2)应用叠加原理,R1=q1l,C1,C2,2l
8、/3,R,C,R=R1+R2,例4-2,已知：,求：,合力作用线方程,解：,（1）向O点简化，求主矢和主矩,方向余弦,主矩,大小,（2）、求合力及其作用线位置.,（3）、求合力作用线方程,即,有：,平面任意力系平衡的充要条件是：,力系的主矢和对任意点的主矩都等于零,4-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,因为,1、平面任意力系的平衡方程,平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零.,平面任意力系的平衡方程,一般式,平面任意力系的平衡方程另两种形式,二矩式,两个取矩点连线，不得与投影轴垂直,三矩式,三个取矩点，不
9、得共线,小结 平面任意力系平衡方程的三种形式,一般式,二矩式,两个取矩点连线，不得与投影轴垂直,三矩式,三个取矩点，不得共线,2、平面平行力系的平衡方程,两点连线不得与各力平行,各力不得与投影轴垂直,平面平行力系的方程为两个，有两种形式,例4-3（例21）,已知：,AC=CB=l,F=10kN;,求：,铰链A和DC杆受力.,（用平面任意力系方法求解）,解：,取AB梁，画受力图.,解得,F,例4-4,已知：,尺寸如图；,求：,轴承A、B处的约束力.,解：,取起重机，画受力图.,解得,例4-5,已知：,求：,支座A、B处的约束力.,解：取AB梁，画受力图.,解得,解得,解得,例4-6,已知：,求：
10、,固定端A处约束力.,解：,取T型刚架，画受力图.,其中,解得,解得,解得,例4-7 已知：P=20kN,m=16kNm,q=20kN/m,a=0.8m 求：A、B的支反力。,解：研究AB梁,解得：,当：独立方程数目未知数数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）,4-3 物体系的平衡静定和超静定问题,例,二、物体系统的平衡问题,外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。,物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫。,物系平衡的特点：,分清内力和外力。在受力图上不考虑内力。,物系中每个单体也是平衡的。每个单
11、体可列3个平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体）,灵活选取平衡对象和列平衡方程。尽量减少方程中的未知量。,例4-8.组合梁ABC的支承与受力情况如图所示.已知 P=30kN,Q=20kN,=45o.求支座A和C的约束反力.,解：:取整体为研究对象画受力图.,Xi=0,XA-20 cos45o=0,XA=14.14 kN,Yi=0,YA-30-20 sin45o+RC=0(1),RC,XA,YA,mA,mA(Fi)=0,mA-230-620sin45o+8RC=0(2),取BC杆为研究对象画受力图.,XB,YB,RC,mB(Fi)=0,-220sin45o+4RC=0,RC=7.
12、07 kN(3),把(3)式分别代入(1)和(2)式得:,YA=37.07 kN,mA=31.72 kN.m,例4-9.三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示.已知P=20kN,均布荷载q=4kN/m.求铰链支座A和B的约束反力.,解：取整体为研究对象画受力图.,XA,YA,XB,YB,mA(Fi)=0,-4 3 1.5-20 3+4 YB=0,YB=19.5 kN,Yi=0,YA-20+19.5=0,YA=0.5 kN,Xi=0,43+XA+XB=0(1),取BC为研究对象画受力图.,XC,YC,mC(Fi)=0,-120+219.5+3 XB=0,XB=-6.33 kN(2),把(2)式代入
13、(1)式得:,XA=-5.67 kN,例4-10,求:,力偶矩M 的大小，轴承O处的约束力，连杆AB受力，冲头给导轨的侧压力.,解:,取冲头B,画受力图.,解得,解得,取轮,画受力图.,解得,解得,解得,例4-11,已知:,F=20kN,q=10kN/m,L=1m;,求:,A,B处的约束力.,解:,取CD梁,画受力图.,解得 FB=45.77kN,解得,解得,解得,取整体,画受力图.,例4-12,已知:P2=2P1，P=20P1，r,R=2r,求:物C 匀速上升时，作用于小轮上的力偶矩M；轴承A，B处的约束力.,齿轮的压力角,解:,取塔轮及重物C,画受力图.,由,取小轮，画受力图.,例4-13
14、,已知:P=60kN,P1=20kN,P2=10kN,风载F=10kN,尺寸如图;,求:A,B处的约束力.,解:,取整体,画受力图.,取吊车梁,画受力图.,取右边刚架,画受力图.,例4-14,已知：a,b,P,各杆重不计，C,E处光滑；,求证：,AB杆始终受压，且大小为P.,解：,取整体，画受力图.,得,取销钉A，画受力图,得,取ADC杆，画受力图.,取BC，画受力图.,得,得,解得,4-4 平面简单桁架的内力计算,桁架：一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。节点：桁架中杆件的铰链接头。,工程中的桁架结构,工程中的桁架结构,工程中的桁架结构,工程中的桁架结构,1、各
15、杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；,2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；,3、载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；,4、各杆件自重不计或平均分布在节点上。,桁架中每根杆件均为二力杆,关于平面桁架的几点假设：,理想桁架,工程中常见的桁架模型,总杆数,总节点数,在基本三角形框架，每增加一个节点，增加两根杆。其节点数与杆数之间有如下关系,平面复杂（超静定）桁架,平面简单（静定）桁架,非桁架（机构）,节点法与截面法,1、节点法：取节点为研究对象，用平面汇交力系平衡方程求解。,2、截面法：适当地选取一截面，假想把桁架截开，考虑其中任一部分的平衡，应用平面力系平衡方程，求被截杆件的内力。,例4-15,
16、已知:P=10kN,尺寸如图；,求:,桁架各杆件受力.,解:,取整体，画受力图.,(拉),(压),取节点A，画受力图.,取节点C，画受力图.,(压),(拉),取节点D,画受力图.,(拉),例4-16,已知:,各杆长度均为1m;,求:,1,2,3杆受力.,解:,取整体,求支座约束力.,用截面法,取桁架左边部分.,(压),(拉),(拉),习题课,已知：,AB=4m；,求：,（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；,（2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。,解：,取起重机，画受力图.,满载时，,为不安全状况,解得 P3min=75kN,例4-17,P3=180kN时,FB=870
17、kN,FA=210kN,空载时，,为不安全状况,4P3max-2P1=0,解得 F3max=350kN,求:,力偶矩M 的大小，轴承O处的约束力，连杆AB受力，冲头给导轨的侧压力.,解:,取冲头B,画受力图.,取轮,画受力图.,如图所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R=2r=l,=45。试求：A，E支座的约束力及BD杆所受的力。,例 题 19,例题,平面任意力系,1.选取整体研究对象，受力分析如图所示。,列平衡方程,解平衡方程,解：,例 题 19,例题,平面任意力系,2.选取DEC研究对象，受力分析如图所示。,列平衡方程,解平衡方程,例 题 19
18、,例题,平面任意力系,例 4-20,已知：,尺寸如图；,求：BC杆受力及铰链A受力.,解:取AB 梁，画受力图.,又可否列下面的方程？,（2）,可否列下面的方程?,例 4-21,已知：P=10kN,a,杆、轮重不计；,求：,A,C支座处约束力.,解：,取整体，受力图能否这样画？,取整体，画受力图.,解得,解得,取BDC 杆（不带着轮）,取ABE（带着轮）,取ABE杆（不带着轮）,取BDC杆（带着轮）,解得,例4-22,已知：P,a,各杆重不计；,求：B 铰处约束力.,解：,取整体，画受力图,解得,取DEF杆，画受力图,对ADB杆受力图,得,例4-23,已知：q,a,M,P作用于销钉B上；,求：
19、,固定端A处的约束力和销钉B对BC杆、AB杆的作用力.,解：,取CD杆，画受力图.,得,解得,取BC杆（不含销钉B)，画受力图.,取销钉B，画受力图.,解得,则,取AB杆（不含销钉B），画受力图.,解得,解得,解得,例4-24,已知：,荷载与尺寸如图；,求：,每根杆所受力.,解：,取整体，画受力图.,得,得,求各杆内力,取节点A,取节点C,取节点D,取节点E,求：,，杆所受力.,解：,求支座约束力,从1，2，3杆处截取左边部分,例4-25,已知：P1,P2,P3,尺寸如图.,取节点D,若再求,杆受力,由直角曲杆ABC、DE，直杆CD及滑轮组成的结构如图所示，AB杆上作用有水平均布载荷q。不计各构件的重量，在D处作用一铅垂力F，在滑轮上悬吊一重为P的重物，滑轮的半径r=a，且P=2F，CO=OD。求支座E及固定端A的约束力。,
