《电力网络的数学模型及求解方法ppt课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电力网络的数学模型及求解方法ppt课件.pptx（36页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、2023/1/9,高等电力系统分析,大连理工大学电气工程学院王海霞,第1章 电力网络的数学模型及求解方法,1.1 基础知识1.2 节点导纳矩阵1.3 电力网络方程求解方法1.4 节点阻抗矩阵,1.1 基础知识,从电气角度看，任何复杂的电力网络原则上均可以首先做出它的等值电路，然后用交流电路理论进行分析计算。,电力网络，是指由输电线路、电力变压器、并（串）联电容器等静止元件所构成的总体。,电力网络通常是由相应的节点导纳矩阵或节点阻抗矩阵来描述。,电力网络的导纳矩阵具有良好的稀疏特性，可以用来高效处理电力网络方程，是现代电力系统分析中广泛应用的数学模型；节点阻抗矩阵的概念在处理电力网络故障时有广泛
2、应用。,分析交流电路的方法主要有节点电压法、回路电流法,根据基尔霍夫电流定律，可列出各节点的电流方程,节点电压方程,按节点电压整理后，可写出,节点电压方程,节点电压方程,矩阵形式,自导纳,互导纳,节点电流列向量,节点电压列向量,关联矩阵,支路,节点,关联矩阵是描述电力网络连接情况的矩阵。,关联矩阵中只有0、1、-1三种元素，不包含各支路的具体参数。,由节点关联矩阵可以惟一地确定网络的接线图。,由关联矩阵形成节点方程,代入上式得,将支路基本方程式代入上式得,对照节点电压方程得,根据基尔霍夫电流定律,支路基本方程式,另有,支路电流列向量,支路电压降列向量,支路导纳所组成的对角矩阵,变压器等值电路,
3、根据理想变压器的电流、电压关系有,解得,j,1:K,i,1.2 节点导纳矩阵,如果在节点i 加一单位电压，而把其余节点全部接地，即,Y第i 列元素的物理意义,反映了电力网络的参数及接线情况，是对电力网络电气特性的一种数学抽象,则由节点方程式可知,自导纳，数值上等于节点i 加单位电压，其他节点都接地时，节点i 向电力网络注入的电流。,互导纳，数值上等于节点i 加单位电压，其他节点都接地时，节点j 向电力网络注入的电流。,以之前的简单电力网络说明节点导纳阵各元素的具体意义,Y的特点：对称性、稀疏性、可逆性,节点导纳阵的形成,1）节点导纳阵的阶数等于电力网络的节点数；2）对角元素，即各节点的自导纳，
4、等于与相应节点直接相连的所有支路的支路导纳之和；3）非对角元素，即互导纳，等于相应两节点间支路的支路导纳的负值；4）变压器支路应先处理为型等值电路。,节点导纳阵的修改,现代电力系统分析中，往往需要研究不同接线方式情况下的运行状态，如某条输电线路或某台变压器的投入或切除，对某些元件的参数进行修改等。由于改变一条支路的状态或参数只影响该支路两端节点的自导纳及其互导纳，因此只需在原导纳阵的基础上进行修改即可得到所要求的导纳阵。,节点导纳阵的修改,1）在原有网络节点i 引出一条新的支路，同时增加一个新的节点j,3）在原有网络节点i 和节点j 间切除一条支路,2）在原有网络节点i 和节点j 间增加一条支
5、路,由于增加一个新的节点，节点导纳阵相应增加一阶；其对角元素为，非零的非对角元素为原有网络节点i的自导纳变为,节点导纳阵阶数不变；与节点i、j有关的元素修正为,节点导纳阵阶数不变；与节点i、j有关的元素修正为,4）原有网络节点i 和节点j 间支路参数发生改变,相当于切除一条原参数的支路，再增加一条新参数的支路,节点导纳阵的修改,5）以上增加或切除的支路是按照只有阻抗的线路来处理的，如果增加或切除的支路是变压器，有关导纳矩阵元素的修改为,非零的非对角元素为节点i的自导纳改变量为节点j的自导纳改变量为,例,注意：参数为阻抗！,1.3 电力网络方程求解方法,线性方程组高斯消去法,高斯消去法求解线性方
6、程组由消去运算（前代运算）和回代运算两部分组成。通常采用“消去运算按列进行，回代运算按行进行”的方式。,消去第一列,首先把增广矩阵的第一行规格化为,式中：,然后消去第一列对角线以下各元素，,结果使第2n行其他元素化为,这时增广矩阵变为,接着消去第二列,首先把增广矩阵的第二行规格化为,式中：,然后消去第二列对角线以下各元素，,结果使第3n行其他元素化为,这时增广矩阵变为,一般地，在消去第k列时要做以下的运算：,经过对增广矩阵的n次消去运算，使对角线以下的元素全部化为0，得,回代运算自下而上运行。首先由第n个方程可知,然后将其代入第n-1个方程，得,回代的一般公式,因子表和三角分解,实际计算中，可
7、能对方程组需要多次求解，每次仅改变其常数项，而系数矩阵是不变的。为了提高计算速度，可以利用因子表求解。,因子表可以理解为高斯消去法解线性方程组的过程中对常数项全部运算的一种记录表格。回代运算由对系数矩阵进行消去运算后得到的上三角矩阵元素确定；消去过程中规格化运算和消去运算所需要的运算因子逐行放在下三角部分，形成如下因子表。,因子表和三角分解,除了可用高斯消去法求出，因子表还可用三角分解的方法求出。,三角分解递推公式：,稀疏技术,电力网络特点决定了电网计算中的矩阵及矢量是稀疏的。对mn阶矩阵A的稀疏度定义：对节点导纳矩阵，如果每个节点的出线度是，则对N维导纳阵的稀疏度为,所谓稀疏技术就是充分利用
8、电力网络方程组的稀疏特性，尽量减少不必要的计算以提高求解的效率。,非零元素数,稀疏技术,主要内容为针对稀疏矩阵及稀疏矢量，进行排零存储及排零计算。,1、稀疏存储（压缩存储）,a)散居格式VA存储A中非零元素aij的值IA存储A中非零元素aij的行指标iJA存储A中非零元素aij的列指标j优点：非零元在数组中的位置可任意排列，修改灵活。缺点：其存储顺序无一定规律，检索起来不方便。,VA,IA,JA,稀疏技术,b)按行（列）存储格式（以按行为例）VA按行存储矩阵中非零元素aijJA按行存储矩阵中非零元素的列号IA记录矩阵中每行第一个非零元素在VA中的位置,VA,IA,JA,稀疏技术,c)链表存储格
9、式（以按行存储为例）在按行存储格式中的三个数组外还需要增加下列数组：LINK每行下一个非零元素在VA中的位置，每行最后一个非零元素之后，该值置为0。NA每行非零元素的个数。,VA,IA,JA,LINK,NA,因子表,稀疏技术,如系数矩阵为，其因子表形成过程中的运算,在利用因子表对常数向量求解时，零元素对应的运算可以省略。,当线性方程组的稀疏特性得到充分利用时，不仅在形成因子表过程中减少了计算量，更重要的是减少了求解方程组时前代和回代的计算量。因子表中有多少零元素，就减少多少乘加的运算量。,2、排零计算,稀疏向量法,解节点电压方程时，稀疏向量可以指独立向量I，或者指待求向量V中我们感兴趣的几个元
10、素。,如果向量I是稀疏的，则在消去过程中只用节点导纳阵的下三角阵L中某几列元素，称之为快速消去过程（FF）。如果只需求向量V的几个元素，则在回代过程中只用节点导纳阵的上三角阵U中某几行元素，称之为快速回代过程（FB）。,用稀疏向量法时，消去过程必须按列进行，回代过程必须按行进行。,稀疏向量法,稀疏向量法的关键在于找出FF和FB所需要的L及U的有效子集（稀疏向量的前代回代路径）。FF的有效列子集与L和I的稀疏结构有关，FB的有效行子集与U和V的稀疏结构有关。,因子化路径进行FF时用到的L的列数顺序表，对FF而言采用前向顺序，对FB而言采用逆向顺序。当向量I中只有一个非零元素时，称为单元素向量，设
11、其点号为k。用下列算法求因子化路径：（1）令k为路径中第一个点号。（2）寻找L阵的k列中（或U阵的k 行中）最小的非零元素的点号，将此点号置入k，并列入路径中。（3）如果kn，结束，否则转到（2）。一般稀疏向量为单元素向量之和，其路径为各单元素向量路径的并集。,例1-6：求图示网络的因子化路径,因子表结构图,因子化路径：k=1时：1271213 1415k=5时：511131415k=6时：691012131415当稀疏向量为非单元素向量时，如当k=1 及k=5时：12712511131415,全部因子化路径图,如果希望求得当已知b5时（其它为0）的x1则有：按以下因子化路径进行消去：5111
12、31415按以下因子化路径进行回代：15141312721以上求解只涉及5列下三角元素和7行上三角元素，计算效率明显提高。应用稀疏向量法时，上述因子化路径预先求出。,下三角阵,导纳矩阵,节点编号,节点编号优化,节点导纳阵是稀疏矩阵，对其进行三角分解得到的三角阵一般也是稀疏矩阵。通常，二者非零元素的分布是不同的，因为消去过程或分解过程中会产生新的非零元素，即注入元素。,注入元素的多少与消去的顺序或节点编号有关。,节点编号优化,所谓节点编号的优化，就是要寻求一种使注入元素数目最少的节点编号方式。目前，节点编号优化的方法很多，大致可分为以下3类：,1、静态地按最少出线支路数编号,又称为静态优化法。以
13、原始网络统计各节点的出线支路数，按出线支路数由少到多的节点顺序编号。这种方法非常简单，适用于接线方式比较简单的网络。,2、动态地按最少出线支路数编号,又称为半动态优化法。在每消去一个节点后，立即修正尚未编号节点的出线支路数，然后选出线支路数最少的一个节点进行编号。,3、动态地按最增加出线最少编号,又称为动态优化法。按消去节点后增加出线数最少的原则编号。这种方法比较严格，工作量大。,1.4 节点阻抗矩阵,如果在节点i 注入单位电流，而把其余节点全部开路，即,Z第i 列元素的物理意义,则由节点方程式可知,自阻抗，数值上等于节点i 注入单位电流，其他节点都在开路状态时，节点i 的电压。也可看做其他节
14、点都开路时，从节点i向整个网络看进去的对地等值阻抗。,互阻抗，数值上等于节点i 注入单位电流，其他节点都在开路状态时，节点j 的电压。,如果令,则节点电压方程变为,由于在一个电力网络中各节点之间总是相互有电磁联系（包括间接的联系）的，因此当从某个节点向网络注入单位电流，而其他节点开路时，所有节点电压都不应为零。所以节点阻抗矩阵是一个满矩阵，没有零元素。,形成电力网络的节点阻抗矩阵要比节点导纳矩阵复杂，两种常用的方法：节点导纳阵求逆、支路追加法。,支路追加法在计算上比较直观，同时也容易实现网络接线变更时对节点阻抗矩阵的修正。,首先应从一个接地支路开始，形成一阶矩阵。然后追加一条支路，若追加支路时出现新节点称之为追加“树支”，若不出现新节点称之为追加“链支”。当追加完电力网络全部支路以后，就形成了节点阻抗矩阵。,最终形成的节点阻抗矩阵与支路追加的次序无关。但是，支路追加的顺序对形成阻抗矩阵的运算量有很大的影响。,小结,介绍了节点导纳矩阵，是对电力网络电气特性的一种数学抽象，节点导纳矩阵的概念、形成与修改；介绍了了高斯消去法求解线性方程组，其中因节点导纳矩阵的稀疏特性，又有了各种技术，包括稀疏技术、稀疏向量法、节点编号优化等；简要介绍了节点阻抗矩阵的概念及其求解方法。,
