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1、4.1 矩阵的特征值与特征向量,矩阵的特征值特征值与特征向量的性质,第四章 矩阵的特征值,说明,一、矩阵的特征值,说明,说明,求矩阵A的特征值及特征向量问题就转化为求解多项式方程以及齐次线性方程组的通解问题.,解,例,解,得基础解系为,例 证明：若 是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则,证明,例 证明：若 是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则,证明,例 设矩阵 A 为对合矩阵(即 A2=I),且 A 的特征值都是 1,证明:A=I.,由于 A 的特征值都是 1,这说明-1 不是 A 的特征值,例,试证,证：必要性,如果 A 是奇异矩阵，则|A|0。于是,即0是 A 的一个特征值,充
2、分性：,设 A 有一个特征值为0，对应的特征向量为 x.,由特征值的定义有：,齐次线性方程组有非零解，由此可知|A|0，即A为奇异矩阵.,亦可叙述为：,证明,即A与其转置矩阵具有相同的特征多项式，因此必有相同的特征值.,二、特征值与特征向量的性质,证明:,则,类推之，有,定理3：,把上列各式合写成矩阵形式，得,注意,.属于不同特征值的特征向量是线性无关的,.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量,.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值,说明,.在复数范围内，n阶方阵A一定有n个特征根，其中可能有重根和复根.,.定理4表明，全部特征根的和与A的主对角线元素的和相等；全部特征根的乘积等于|A|.,当det A=0时,A至少有一个零特征值.,3.当det A0时,A的特征值全为非零数,
